数学归纳法同步练习（含解析）

人教A版2019选修二4.4数学归纳法一、单选题1.观察下列式子:1+122<32，A.

nn+1

B.

2n−1n+1

C.

2n+1n+12.用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从n=k到n=k+1等式左边需增添的项是（

）A.

2k+2

B.

[2(k+1)+1]C.

[(2k+2)+(2k+3)]D.

[(k+1)+1][2(k+1)+1]3.用数学归纳法证明“5n−2n(n∈N∗A.

5(5k−2k)+3×2k

4.对于不等式n2+n<n+1 (n∈N∗)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：

（1）当n=1时，12∴当n=k+1时，不等式成立，则上述证法（

）A.

过程全部正确

B.

n=1验得不正确

C.

归纳假设不正确

D.

从n=k到n=k+1的推理不正确5.用数学归纳法证明1+2+3+4+⋯+(2n−1)+2n=2n2+n(n∈N∗A.

2k+1

B.

2k+2

C.

(2k+1)+(2k+2)

D.

16.用数学归纳法证明：1n+1+1n+2+…+1n+nA.

12k+1

B.

12k+2

C.

12k+17.用数学归纳法证明等式1+a+a2+⋯+A.

1

B.

1+a

C.

1+a+a2

8.已知不等式1+122<32，1+1A.

95

B.

115

C.

119.用数学归纳法证明1+1A.

1+12<2

B.

1+12+10.用数学归纳法证明：“(n+1)(n+2)⋯(n+n)=2n×1×3×5×⋯×(2n−1)(n∈N∗A.

2k+1

B.

2k+1k+1

C.

2k+3k+1

11.用数学归纳法证明等式，1+2+3+...+2n=n(2n+1)时，由n=k到A.

2k+1

B.

2k+2

C.

(2k+1)+(2k+2)

D.

(k+1)+(k+2)+12.用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)⋯(n+n)=2n×1×3×⋯×(2n−1)(n∈N∗A.

增乘一个因式(2k+1)

B.

增乘两个因式(2k+1)和(2k+2)

C.

增乘一个因式2(2k+1)

D.

增乘(2k+1)同时除以(k+1)二、填空题13.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有________小圆圈.14.用数学归纳法证明1+2+22+⋯+25n−1 (n∈15.若数列{an}满足a1=16.已知f(n)=1n+1+三、解答题17.用数学归纳法证明：1+2+3+⋯+(n+3)=(n+3)(n+4)18.观察下列等式：1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49．．．．．．按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第n(n∈N（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n(n∈N19.已知数列{an}的前n项和Sn，满足（1）求a1、a2、（2）猜想{a20.已知数列{an}，{bn}，其中{an}（1）求数列{an}（2）设cn=a21.设数列{an}满足a1=3，an（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．22.n2(n≥5)个正数排成n行n列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数(a已知a12=1，a14（1）设bn=a（2）设Sn=a11+（3）设Tn=a

答案解析部分一、单选题1.【答案】C解：由已知式子可知所猜测分式的分母为n+1，分子第n+1个正奇数，即2n+1，∴1+1故答案为：C.2.【答案】C解：当n=k时，左边=1+2+3+⋯+(2k+1)，共2k+1个连续自然数相加，当n=k+1时，左边=1+2+3+⋯+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)，所以从n=k到n=k+1，等式左边需增添的项是[(2k+2)+(2k+3)]。故答案为：C.3.【答案】A解：解：假设当n=k(k∈N即5k则当n=k+1时，5=5×5=5×5=5(5=5(5故答案为：A.4.【答案】D解：在n=k+1时，没有应用n=k时的假设，即从n=k到n=k+1的推理不正确.故答案为：D.5.【答案】C解：等号左边加的项是[1+2+3+4+⋯+2k+(2k+1)+(2k+2)]−(1+2+3+4+⋯+2k),=(2k+1)+(2k+2),故答案为：C6.【答案】D解：当n=k时，左端为1k+1+1k+2+…+1k+k，当n=k+1故答案为：D.7.【答案】C解：用数学归纳法证明：1+a+a在验证n=1时，令n=1代入左边的代数式，得到左边=1+a+a故答案为：C8.【答案】C解：前三个不等式右边依次是32,53,74，可归纳为：第n故答案为：C．9.【答案】C解：因为用数学归纳法证明1+1所以第一步先验证，当n=2时，不等式1+1故答案为：C10.【答案】D解：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+k)，当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)⋅⋅⋅(k+1+k−1)(k+1+k)(k+1+k+1)，所以由n=k到n=k+1时，等式左边应该增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1故答案为：D11.【答案】C解：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n=k到n=k+1时，等式左边增加了[1+2+3+⋯+2k+(2k+1)+2(k+1)]−(1+2+3+⋯+2k)=(2k+1)+(2k+2)，

故答案为：C.

12.【答案】C解：当n=k时，则有(k+1)(k+2)⋯(k+k)=2当n=k+1时，则有(k+2)(k+3)⋯(2k+2)=2∵2k+1×1×3×⋯×(2k+1)2k×1×3×⋯×(2k−1)=2(2k+1)故答案为：C.二、填空题13.【答案】n2-n+1解：观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…，故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.故答案为：n2-n+114.【答案】5解：当n=k时，原式为：1+2+2当n=k+1时，原式为1+2+2比较后可知多了25k故答案为：515.【答案】13解：解：∵a1=2∴an+1∴a2−a1=∴a3−a2=依次代入有，a4=20∴猜想an下面用数学归纳法证明当n=1,2时，显然成立；假设当n=k(k≥3)时，令ak则当n=k+1时，由an+1−a∴ak+1即[a∴ak+1=(k+1)(k+2)∴ak=13k(k+1)，n∈故答案为：1316.【答案】12k+1解：∵f(n)=1∴f(k)=f(k+1)==1k+2故答案为1三、解答题17.【答案】证明：①当n=1时，左边=10，右边=10，左边=右边②假设n=k(k∈N即1+2+3+⋯+(k+3)=(k+3)(k+4)那么当n=k+1时，可得1+2+3+⋯+(k+3)+(k+4)=(k+3)(k+4)即等式成立.综合①②可得等式成立18.【答案】（1）解：第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92．第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2，n∈N∗

（2）证明：①当②假设n=k时，命题成立，即k+(k+1)+(k+2)+⋯+(3k−2)=(2k−1)则当n=k+1时，(k+1)+[(k+1)+1]+[(k+1)+2]+⋯+[3(k+1)−2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+⋯+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+⋯+(3k−2)+(3k−1)+3k+(3k+1)−k=(2k−1)即n=k+1时等式成立．根据①和②，可知对任意n∈N19.【答案】（1）解：对任意的n∈N∗，Sn当n=1时，a1=S1=a1当n=2时，S2=a1+a2当n=3时，S3=a1+a2+a3=a下面用数学归纳法加以证明：①当n=1时，由（1）知a1②假设当n=k(k∈N∗)当n=k+1时，ak+1所以ak+12+2所以ak+1=k+2综上可知，猜想对一切n∈N20.【答案】（1）解：当n=1，时，a1已知a1=b1=1，b2=3因此nbbn+1累加得bnn−b1=2c1=2法二：因为n=1时，c1=0<21−1下面用数学归纳法证明n≥3时不等式c1①当n=3时，c1②假设n=k(k≥3,k∈N∗)那么n=k+1时，c1要证2k只要证1k只要证(k+1)(k+2)+k只要证k>2，显然成立,所以，当n=k+1时，不等式c1根据（1）（2）不等式对任意n≥3，n∈N所以对任意n∈N∗，不等式21.【答案】（1）解：由题意可得a2=3a由数列{an}的前三项可猜想数列{证明如下：当n=1时，a1假设n=k时，ak那么n=k+1时，ak+1则对任意的n∈N∗，都有（2）解：由（1