数列的极限知识点方法技巧及例题（拓展文本）

数列的极限知识点、方法技巧及例题一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列以为极限记作．（注：a不一定是｛an｝中的项）2几个重要极限：（1）（2）（C是常数）（3）（4）3.数列极限的运算法则:如果那么4．无穷等比数列的各项和（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做（2）二、方法与技巧（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）（3）求数列极限最后往往转化为或型的极限.（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以或.②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.③利用已知数列极限（如等）.④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.⑤∞－∞,,0－0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例1求下列式子的极限：①；②；③；④;⑤（－n）；⑥（++…+）例2的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件例3数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且=3,求的值为求（a>0);已知,求实数a,b的值;已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求a1的取值范围例7已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求的值．例题解析答案例1分析：①的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比；③的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①；②；③点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（5）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）==（2）（－n）===（3）原式===（1+）=1点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（5n2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误例2B例3数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且=3,求的值为解：由=3d1=3d2，∴==点评：化归思想例4求（a>0);解：=点评：注意分类讨论例5已知,求实数a,b的值;解：=1，∴a=1,b=─1例6已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求a1的取值范围解:（－qn）=,∴qn一定存在∴0＜|q|＜1或q=1当q=1时，－1=,∴a1=3当0＜|q|＜1时，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q∴0＜|2a1－1|＜1∴0＜a1＜1且a1≠综上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3例7已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的