平面向量的应用【新教材】2022年人教A版高中数学必修讲义

平面向量的应用学习目标平面向量的应用学习目标1、了解并利用正余弦定理理解三角形2、掌握平面几何中的向量方法探索新知3、理解三角形的实际应用探索新知余弦定理、正弦定理

1、余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即；

,

余弦定理得推论；

cosA=，cosB=,cosC=

2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；

二、正弦定理的变形：

1.

2.

三、正、余弦定理的综合运用

三角形的面积公式三角形面积的公式S=S=SS概念辨析概念辨析思考思考11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3（1）求角A的大小；（2）若BC边上的中线AD=2，求△ABC【答案】（1）解：依题意有3a∴3sinAsinB=(1-cosA)sinB，解得sinA=32，cosA（2）解：|AD|=|AB+AC2|=2|AB∴(|AB||AC|)max=16故△ABC面积的最大值为S【考点】函数的最值及其几何意义，三角函数中的恒等变换应用，正弦定理【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可求cosA的值，结合A的范围可求出A的值即可．

（2）由题意可得|AB+AC|=4，两边平方，利用基本不等式可求出思考思考22.在圆内接四边形ABCD中，BC=4,∠B=2∠D,∠ACB=【答案】解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，可得∠B+∠D又因为∠B=2∠D，所以在△ABC中，因为∠ACB=π12由正弦定理得ACsinB=BCsin∠BAC在△ACD中，由余弦定理得AC即24=AD当且仅当AD=CD时，取等号，即AD所以SΔACD=即△ACD面积的最大值为6【考点】正弦定理，余弦定理【解析】由圆内接四边形的性质可得

∠B=2π3,∠D=π3，在△ABC中，利用正弦定理得AC=26思考3思考33.在△ABC中，cosB(（1）求B；（2）若c=2a，△ABC的面积为233，求【答案】（1）解：由cosB(3a-bsin∴3acosB=bsin∴3acos由正弦定理，得3sinAcosB=sin∴3cosB=sinB，即tanB∴B=（2）解：由c=2a,△ABC的面积为233，得S△ABC=12由余弦定理b2=a2+c2-2ac∴△ABC的周长为a【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理思考4【解析】（1）由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，可得tanB的值，结合0＜B＜π，可得B的值．

（2）由题意利用三角形的面积公式可求a的值，进而可求c的值，由余弦定理可求b的值，即可求解△ABC思考44.在①33csinB=a-问题：△ABC的内角A,B,C的对边分别为（1）求B；（2）若D为AC的中点，BD=2，求△ABC【答案】（1）解：选择条件①：∵33c∴由正弦定理得，33又在△ABC中，sin∴3又∵C∈(0,∴sin∴33sinB=又∵B∈(0,∴B选择条件②：∵bsin∴由正弦定理得，sinB又∵C∈(0,∴sin∴sinB即sinB∴12即tanB又∵B∈(0,∴B（2）解：有题意知2BD∴4|BD|2=(又∵a2∴ac⩽163（当且仅当由三角形面积公式可知S△∴△ABC的面积的最大值为4【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理，三角形中的几何计算【解析】（1）在①33csinB=a-bcosC，②bsinC=ccos(B-π6)这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到横线上并作答。选择条件①，利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而结合三角形中角C的取值范围和同角三角函数的基本关系式，进而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值；选择条件②，利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而结合同角三角函数的基本关系式，进而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。1.在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，且(sinA+sinB)2+cosA.

1314

B.

1114

C.

122.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC⋅BPA.

18

B.

24

C.

36

D.

483.如图，在△ABC中，∠BAC=2π3，点D在线段BC上，AD⊥AC，BDCD=14，则A.

714

B.

2114

C.

774.若复数z=2-i1+i，复数z在复平面对应的点为Z，则向量OZ(O为原点)的模A.

2

B.

2

C.

102

D.

参考答案1.【答案】B【解析】∵(sinA+sinB)2+cos由正弦定理得a2+又因为a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，即a+由{a2+b2-cosB=2.【答案】C【解析】骑行过程中，ABCDE相对不动，只有P点绕D点作圆周运动．如图，以AD为x轴，E由题意A(-4,0)，B(-