对数函数的图象和性质同步练习（含答案）

对数函数的图象和性质课时1对数函数的图象和性质1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)logax>0的解集为{x|x>1}．(×)(2)log23>log32.(√)(3)y＝log2x的值域为[0，＋∞)．(×)(4)指数函数y＝log2(x－1)的图象恒过定点(1,0)．(×)题型1对数函数的图象问题2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，且a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(D)A．a>1，c>1 B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<c<1解析：由题意可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位长度得到的，结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.故选D.3．函数y＝|lg(x＋1)|的图象是(A)解析：因为y＝|lg(x＋1)|≥0，且当x＝0时，y＝0，所以选A.4．函数y＝ln(1－x)的图象大致为(C)解析：由函数的解析式可得函数的定义域为(－∞，1)，且函数在定义域上单调递减．故选C.5．任意幂函数都过定点A(m，n)，则函数f(x)＝n＋loga(x－m)(a>0且a≠1)经过的定点是__(2,1)__．解析：因为任意幂函数都过定点(1,1)，所以m＝1，n＝1，则函数f(x)＝1＋loga(x－1)，令x－1＝1得x＝2，此时f(2)＝1＋loga1＝1，即函数f(x)经过的定点是(2,1)．题型2比较值的大小6．设a＝log4π，b＝logeq\f(1,4)π，c＝π4，则a，b，c的大小关系是(D)A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b解析：因为log42<log4π<log44，所以eq\f(1,2)<a<1；因为logeq\f(1,4)π＝－log4π<0，所以b<0；因为π4>π0＝1，所以c>1.故c>a>b.7．已知a＝log35，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,9)，则它们的大小关系是(C)A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a解析：因为log33<log35<log39，所以1<a<2.又b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,9)>logeq\f(1,2)eq\f(1,8)＝3，所以c>a>b.8．若>>0，则(D)A．0<m<n<1 B．1<m<nC．1<n<m D．0<n<m<1解析：因为>>0，所以0<m<1,0<n<1，所以lgm<0，lgn<0，即lgm·lgn>0.由换底公式将>>0化为eq\f(lg,lgm)>eq\f(lg,lgn)，不等式两边同时乘lgm·lgn，可得lgn·lg>lgm·lg.因为lg<0，所以不等式两边同时除以lg，可得lgn<lgm，由对数单调性可得n<m.综上可知m，n的关系为0<n<m<1.题型3与对数函数有关的值域与最值问题9．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[－2,2]上的值不大于2，则函数g(a)＝log2a的值域是(A)\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：由于f(x)是指数函数，当a>1时，f(x)在[－2,2]上递增，f(2)＝a2≤2，解得1<a≤eq\r(2)；当0<a<1时，f(x)在[－2,2]上递减，f(－2)＝a－2≤2，解得eq\f(\r(2),2)≤a<1.所以a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\r(2))).因为y＝log2x在(0，＋∞)上递增，所以函数g(a)＝log2a的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(\r(2),2)，log21))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(log21，log2\r(2)))，即eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).10．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq\f(1,2)，则实数a＝__4__.解析：因为a>1，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函数．所以f(x)在[a,2a]上的最大值为f(2a)，最小值为f(a)．所以f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝eq\f(1,2)，即loga2＝eq\f(1,2).所以a＝4.11．设函数f(x)＝log3(ax＋b)，且f(1)＝0，f(2)＝1.(1)求a，b的值；(2)当x∈[2,14]时，求f(x)的值域．解：(1)由f(1)＝0，f(2)＝1可得，f(1)＝log3(a＋b)＝0，f(2)＝log3(2a＋b)＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,2a＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1.,))(2)由(1)可得，函数f(x)＝log3(2x－1)．令g(x)＝2x－1，则函数g(x)为单调递增函数，又由函数f(x)＝log3x为单调递增函数，可得函数f(x)＝log3(2x－1)在x∈[2,14]上单调递增，所以当x＝2时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(2)＝log33＝1；当x＝14时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(14)＝log327＝3.所以函数f(x)的值域为[1,3]．易错点1忽略分段函数的定义域分界点致错12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x－1，x≤1，,logax，x>1，))若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(C)A．(1,2) B．(2,3)C．(2,3] D．(2，＋∞)解析：因为f(x)在R上单调递增，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>0，,a>1，,a－2×1－1≤loga1，))解得2<a≤3.故选C.[误区警示]分段函数在R上的单调性问题要注意每段都具有相同的单调性，同时还要注意在定义域的分界点处函数值的大小．易错点2忽略了对底数的讨论致错13．已知a>0且a≠1，则满足logaeq\f(3,5)<1的a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))∪(1，＋∞).解析：因为logaeq\f(3,5)<1，所以logaeq\f(3,5)<logaa.当0<a<1时，a<eq\f(3,5)，所以0<a<eq\f(3,5).当a>1时，a>eq\f(3,5)，所以a>1.综上，a的取值范围是a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))∪(1，＋∞)．[误区警示]对数函数的底数影响函数的单调性，所以与单调性有关的问题要注意对底数的讨论．(限时30分钟)一、选择题1．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为(B)A．－log23 B．－log32C．eq\f(1,9) D．eq\r(3)解析：由题意可知f(x)＝log3x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq\f(1,2)＝－log32.2．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(B)A．0<a<b<1 B．0<b<a<1C．a>b>1 D．b>a>1解析：作直线y＝1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.3．函数f(x)＝loga(x－1)＋2的图象恒过定点(A)A．(2,2) B．(2,1)C．(3,2) D．(2,0)解析：函数y＝logax恒过点(1,0)，即a在它的范围内不论取什么值，x＝1，y＝0恒成立．类似令x－1＝1，即x＝2，则f(2)＝2，所以恒过定点(2,2)．4．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(B)解析：由lga＋lgb＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝eq\f(1,b)，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．5．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a]上的最大值是最小值的2倍，则a等于(D)\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．2解析：因为2＞1，所以f(x)＝log2x是增函数．所以2f(a)＝f(2a)，即2log2a＝log22a，所以a2＝2a，所以a＝2.6．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(A)解析：由题意，若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，函数y＝(a－1)x2－x图象开口向下，且对称轴x＝eq\f(1,2a－1)在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，函数y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴x＝eq\f(1,2a－1)在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足．故选A.二、填空题7．a＝，b＝logeq\r(2)，c＝logeq\r(3)eq\r(5)，则a，b，c的大小关系为__b<a<c__.解析：因为0＜，logeq\r(2)<logeq\r(2)1＝0，logeq\r(3)eq\r(5)>logeq\r(3)eq\r(3)＝1，所以b＜0＜a＜1＜c，即b<a<c.8．函数y＝loga(2x－3)＋eq\f(\r(2),2)过定点(m，n)，则函数y＝lognx的反函数是y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x.解析：令2x－3＝1得x＝2，此时y＝eq\f(\r(2),2)，所以函数y＝loga(2x－3)＋eq\f(\r(2),2)过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，所以n＝eq\f(\r(2),2)，则函数y＝lognx的反函数是y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x.9．已知函数f(x)＝5－log3x，x∈(3,27]，则f(x)的值域为__[2,4)__．解析：因为3<x≤27，所以1<log3x≤3，所以－3≤－log3x<－1，则2≤5－log3x<4.即f(x)的值域为[2,4)．三、解答题10．画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域及值域．(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|logeq\f(1,3)x|.解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图1.其定义域为(2，＋∞)，值域为R.图1图2(2)y＝|logeq\f(1,3)x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,3)x，0<x≤1，,log3x，x>1，))其图象如图2.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)．11．已知函数y＝(log2x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4x－\f(1,2)))，2≤x≤8.(1)令t＝log2x，求y关于t的解析式，并写出t的范围；(2)求该函数的值域．解：(1)y＝eq\f(1,2)(t－2)(t－1)＝eq\f(