基本立体图形多面体【新教材】人教A版高中数学必修同步练习（Word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册基本立体图形第1课时多面体同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________一．选择题下列几何体中，顶点总数最多的是(    )A.三棱柱 B.四面体 C.六棱锥 D.四棱柱某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案) (    )

A. B. C. D.如图，若长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中存在三个面的面积分别是2，3，6，则该长方体中BA.14B.27

C.28D.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是A.4B.8

C.12D.16如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，截面与棱AD，AA1，AB的交点分别是E，F，G，则截面△EFG

(

)A.一定是等边三角形

B.一定是钝角三角形

C.一定是锐角三角形

D.一定是直角三角形

某人用如图所示的纸片，沿折痕折起后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形为灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①②③处的字样依次可能为(    )A.快、新、乐 B.乐、新、快 C.新、乐、快 D.乐、快、新正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为(    )A.22a B.12a C.下列关于棱台的说法，正确的个数为(    )

①所有的侧棱交于一点

②只有两个面互相平行

③上下两个底面全等

④所有的侧面不存在两个面互相平行A.1 B.2 C.3 D.4如图所示，在三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(    )A.三棱锥B.四棱锥

C.三棱柱D.四棱柱下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(    )A. B.

C. D.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(    )

A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台(多选题)下列说法正确的是(    )棱锥的各侧面都是三角形

B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥

C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面

D.棱锥的各侧棱长相等二．填空题底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为

．下列几何体中是棱台的有_______(填序号)．把多面体的任何一个面伸展为平面，如果其他各面都在这个平面的同侧，那么这样的多面体叫作凸多面体．凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系如下表：凸多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569长方体6812五棱柱71015三棱锥446四棱锥558猜想一般结论：凸多面体中，面数F、顶点数V、棱数E之间的关系为_____________．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是_______.(把你认为正确的序号都填上)(1)三角形；(2)长方形；(3)正方形；(4)正六边形．在棱长都相等的三棱锥中，已知相对两棱中点的连线长为2，则这个三棱锥的棱长等于

．如图所示的是一个三棱台ABC-A1B(1)如果过点A1把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是__________(2)如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________(答案不唯一)．三．解答题根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体;(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形;(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．

如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．

如图，试从正方体ABCD-A1B(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．

答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】

本题主要考查多面体的结构，属于基础题．

根据多面体的结构特点分析每个选项即可．

【解答】

解：A三棱柱：6个顶点；

B四面体：4个顶点；

C六棱锥：7个顶点；

D四棱柱：8个顶点，

故顶点数最多的是四棱柱，

故选D．

2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查空间几何体的展开图，属于基础题．

根据正方体的表面展开图的特征分析求解即可．【解答】解：根据正方体的表面展开图的特征分析可知，只有A项中相对面的图案相同．

故选A．

3.【答案】A【解析】【分析】

本题主要考查了简单多面体结构特征，属于基础题．

先设出长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为a，b，c，然后利用ab=2，ac=3，bc=6，

再求出a、b、c即可．

【解答】

解：设长方体ABCD-A1B1C1D1从一个顶点出发的三条棱的长分别为a，b，c，

且ab=2，ac=3，bc=6，

则a=1，b=2，c=3，

所以长方体ABCD-A1B1C【解析】【分析】本题考查了新定义，考查了棱柱的结构特征，考查线面垂直的运用，属于中档题．

根据新定义和正六棱柱的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，

当A1ABB1为底面矩形，有D1-A1ABB1、D-A1ABB1、E1-A1ABB1、E-A1ABB1，4个满足题意，

当A1AFF1为底面矩形，有D1-A1AFF1、D-A1AFF1

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

由已知得∠EGF<90°，∠EFG<90°，∠GEF<90°，从而截面△EFG是锐角三角形．

【解答】

解：用小刀切一块长方体橡皮的一个角，

在棱AD、AA1、AB上的截点分别是E、F、G，

设AE=x，AG=y，AF=z，

则EG2=x2+y2，FG2=y2+z2，EF2=x2+z2，

【解析】【分析】本题主要考查了空间几何体的翻折问题，属于基础题．

根据图形翻折前后平行性、结合性不变知四个侧面顺序与翻折前一样，得到与“年”相邻的是“新”或“快”③一定是“乐”即可作答．

【解答】解：根据四棱锥图形正好看到“新年快乐”的字样，

可知顺序为 ②年 ① ③或 ①年 ② ③，

即 ①、 ②、 ③处可以依次写上快、新、乐或新、快、乐．

故选A．

7.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何体的棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.建立空间直角坐标系，利用向量法能求出这个几何体的棱长．

【解答】

解：如图，建立空间直角坐标系，

∵正方体的棱长为a，

∴E(a2,a2,a)，F(a2,a2,0)，M(a2,a，a2)，

N(0,a2,a2)，P(a2【解析】解：由棱台的定义可知：

①所有的侧棱交于一点，正确；

②只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；

③上下两个底面全等，不正确；

④所有的侧面不存在两个面互相平行，正确；

故选：C．

利用棱台的定义与性质判断选项的正误即可．

本题考查棱台的结构特征，棱台的定义，是基本知识的考查．

9.【答案】B【解析】【分析】

本题考查三棱台截面分割问题，属于基础题．

根据题意，结合图形进行判断即可．

【解答】

解：由题意，剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'．

故选B．

10.【答案】D【解析】【分析】

本题考查棱柱的结构特征，属于基础题．

由棱柱的结构特征可以确定展开图特征，依据此判断即可．

【解答】

解：由图知，上下底面为长方形，则侧面要有四个，故排除A，B，C，选择D．

故选D．

11.【答案】B【解析】【分析】本题考查棱柱、棱锥、棱台的判断，属于基础题．

结合棱柱、棱锥、棱台的定义可对①②③④一一判断．

【解答】解：结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B项错误．

12.【答案】AC【解析】【分析】

本题考查棱锥的定义及其结构特征，属于基础题．

由棱锥的定义及结构特征出发结合各选项逐一分析容易得到结论．

【解答】

解：棱锥的定义：有一个多边形面，其余各面都是有公共顶点的三角形面，由这样的面围成的封闭几何体叫棱锥．

A，棱锥的各侧面都是三角形.故A正确;

B，有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，这个几何体就不是棱锥.故B错误;

C，四面体就是由四个面所围成的封闭几何体，任意一个面都是三角形，所以四面体时三棱锥，它的任何一个面都可以做这个三棱锥的地面.故C正确;

D，棱锥的侧棱长可以相等，，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共顶点.故D错误．

所以选AC．

13.【答案】6【解析】【分析】本题考查棱锥中的计算，为基础题．

根据正棱锥的结构特征即可求解．【解答】解：侧面是等腰直角三角形，

则侧棱长为6×22=32，

设顶点在底面的射影为O，

则O到底面顶点的距离为6×32×23

14.【答案】④

【解析】【分析】

考查对于简单组合体的基本概念了解；

【解答】

解：①、③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．

②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．

④符合棱台的定义，正确．

故答案是④．

15.【答案】F+V-E=2【解析】【分析】本题考查归纳推理，属基础题．

由三棱柱，长方体，五棱柱，三棱锥，四棱得F+V-E=2，通过归纳可得，凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系表．【解答】

由题知，在三棱柱中，F=5，V=6，E=9，则F+V-E=2；在长方体中，F=6，V=8，E=12，则F+V-E=2；

在五棱柱中，F=7，V=10，E=15，则F+V-E=2；

在三棱锥中，F=4，V=4，E=6，则F+V-E=2；

在四棱锥中，F=5，V=5，E=8，则F+V-E=2．

通过观察可得，凸多面体中，面数F、顶点数V、棱数E之间的关系为F+V-E=2．

故答案为F+V-E=2．

16.【答案】(2)(3)(4)【解析】解：∵正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．

于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为长方形或矩形，如图(1)，所以(2)正确；

过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图(2)；

过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图(3)，所以(4)正确；

正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图(4)，所以(3)正确．

故答案为：(2)(3)(4)

由已知中一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，水面总是过正方体的中心，分别讨论水面过一条棱，过对角线上的两个顶点，过六条棱的中点，水面与底面平行等情况，即可得到答案．

本题考查的知识点是棱柱的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．

17.【答案】2【解析】【分析】本题考查正四面体的结构特征及其运算，属于中档题．

如图，解三角形ABF即可．

【解答】解：设三棱锥A-BCD的棱长均为2a(a>0)，分别取AB，CD的中点E，F，

连接AF，BF，EF，如图所示，则EF=2．∵△ACD是边长为2a的等边三角形，

F为CD的中点，∴AF⊥CD，∴AF=AC2-CF2=3a，同理可得∴EF=AF2-AE2=2a=2，∴a=1，∴三棱锥A-BCD的棱长为2．

18.【解析】【分析】

本题考查多面体，棱锥，棱台的定义及即结构特征，几何体中的截面问题.属于基础题．

(1)如图一示连结A1B,B1B,C1B，用平面A1BC和平面A1BC1去截三棱台ABC-A1B1C1即可截成三个三棱锥．

(2)用平行于三棱台的底面的平面去截三棱台，即可得到结果．

【解答】

解：(1)如图一示：连结A1B,B1B,C1B，分别用平面A1BC和平面A1BC1去截三棱台ABC-A1B1

(2)这是一个六棱锥．

(3)这是一个三棱台．【解析】本题考查的是锥体，柱体，台体的基本性质，难度一般

结合锥体，柱体，台体的结构特征可以得出答案．

20.【答案】解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平