向量数量积的概念课时作业

课时作业向量数量积的概念(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知向量|a|＝1，|b|＝2，a，b的夹角为θ，若tanθ＝eq\r(3)，则a·b的值为()A．1 B．2C．3 D．－12.已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，则下列结论正确的是()A．a⊥b B．a∥bC．|a＋b|＝3 D．|a－b|＝33.若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是()A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<14．如图，已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积中最大的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))D．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))5．已知单位向量a，b满足|a－b|＝|a＋2b|，则a，b夹角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)6．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则下列结论错误的是()A．eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝2C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝2 D．|eq\o(AB,\s\up8(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|二、填空题7．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b上投影的数量为______．8．已知点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up8(→))|＝5，则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))的值是________．9．已知正方形ABCD的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(AD,\s\up8(→))上的投影的数量为________，eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为________．三、解答题10．已知|a|＝2，b2＝3，若(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为150°，分别求a·b.[等级过关练]1.已知a是非零向量，e是单位向量，则下列表示正确的是()A．a·e＝|a| B．a·e<|a|C．a·e≤|a| D．|a·e|<|a|2.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝－8，则△ABC的形状是()A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形3.己知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上的动点．则eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))的值为________．4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E则eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(EC,\s\up8(→))＝________________________.5．已知△ABC的面积为S满足eq\r(,3)≤2S≤3，且eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝3，eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))的夹角为θ.求eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))夹角的取值范围．答案与解析一、选择题1.已知向量|a|＝1，|b|＝2，a，b的夹角为θ，若tanθ＝eq\r(3)，则a·b的值为()A．1 B．2C．3 D．－1A[因为向量|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝θ，tanθ＝eq\r(3)，θ∈[0,π]，则θ＝60°，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1.]2.已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，则下列结论正确的是()A．a⊥b B．a∥bC．|a＋b|＝3 D．|a－b|＝3B[已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，则|b|＝1，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0,π]，所以〈a，b〉＝0，所以a＝3b，a∥b，|a＋b|＝4，|a－b|＝2，故选B．]3.若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是()A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1C[因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cos180°＝－1.综上所述，得e1·e2＝±1.]4．如图，已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积中最大的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))D．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))A[法一：设正六边形的边长为2，则AC＝2eq\r(3)，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos30°＝6，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AD,\s\up8(→))|cos60°＝4，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AE,\s\up8(→))|cos90°＝0，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AF,\s\up8(→))|cos120°＝－2.法二：显然，向量eq\o(AC,\s\up8(→))在eq\o(AB,\s\up8(→))上投影的数量最大，所以eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))最大．]5．已知单位向量a，b满足|a－b|＝|a＋2b|，则a，b夹角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)C[∵a，b是单位向量，且|a－b|＝|a＋2b|，∴(a－b)2＝(a＋2b)2，∴a2－2a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b∴1－2a·b＋1＝1＋4a·b＋4，∴a·b＝－eq\f(1,2)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，又0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝eq\f(2π,3).故选C．]6．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则下列结论错误的是()A．eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝2C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝2 D．|eq\o(AB,\s\up8(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|C[在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则eq\f(1,2)AC2＝1，得AC＝eq\r(2)，得AB＝2，所以eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，选项A正确；eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos45°＝2，选项B正确；eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(BC,\s\up8(→))|cos135°＝－2，选项C不正确；向量eq\o(BA,\s\up8(→))在eq\o(BC,\s\up8(→))上投影的数量为|eq\o(BC,\s\up8(→))|，即|eq\o(AB,\s\up8(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|，选项D正确，故选C．]二、填空题7．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b上投影的数量为______．3[因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|)＝3.]8．已知点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up8(→))|＝5，则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))的值是________．－25[∵|eq\o(CA,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up8(→))|2，∴B＝90°，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0.∵cosC＝eq\f(4,5)，cosA＝eq\f(3,5)，∴eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|·|eq\o(CA,\s\up8(→))|cos(180°－C)＝4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－16.eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝|eq\o(CA,\s\up8(→))|·|eq\o(AB,\s\up8(→))|cos(180°－A)＝5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－9.∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝－25.]9．已知正方形ABCD的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(AD,\s\up8(→))上的投影的数量为________，eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为________．0－eq\r(2)[法一：因为正方形ABCD的边长为2，eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→))，则向量Aeq\o(B,\s\up8(→))在Aeq\o(D,\s\up8(→))上的投影的数量为|Aeq\o(B,\s\up8(→))|cos90°＝0，Aeq\o(B,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为|Aeq\o(B,\s\up8(→))|cos135°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－eq\r(2).法二：如图，正方形ABCD的边长为2，eq\o(AB,\s\up8(→))⊥Aeq\o(D,\s\up8(→))，则向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(AD,\s\up8(→))上的投影的数量为0，eq\o(AB,\s\up8(→))在Aeq\o(C,\s\up8(→))上的投影的数量为eq\r(2)，所以eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为－eq\r(2).]三、解答题10．已知|a|＝2，b2＝3，若(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为150°，分别求a·b.[解]因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝eq\r(3).(1)当a∥b时，a·b＝|a||b|cos0°＝2×eq\r(3)×1＝2eq\r(3)或a·b＝|a||b|cos180°＝2×eq\r(3)×(－1)＝－2eq\r(3).(2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cos90°＝2×eq\r(3)×0＝0.(3)当a与b的夹角为150°时，a·b＝|a||b|cos150°＝2×eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－3.[等级过关练]1.已知a是非零向量，e是单位向量，则下列表示正确的是()A．a·e＝|a| B．a·e<|a|C．a·e≤|a| D．|a·e|<|a|C[因为a是非零向量，e是单位向量，则a·e＝|a||e|cos〈a，b〉＝|a|cos〈a，b〉≤|a|，|a·e|≤|a|，故选C．]2.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝－8，则△ABC的形状是()A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形B[依题意，得eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝eq\f(1,2)，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]3.己知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上的动点．则eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))的值为________．－a2[如图，因为向量eq\o(DE,\s\up8(→))在eq\o(DA,\s\up8(→))上投影的数量为a，即|eq\o(DE,\s\up8(→))|cos∠ADE＝a，所以eq\o(DE,\s\up8(→))在eq\o(BC,\s\up8(→))上投影的数量为－a，所以eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝|eq\o(BC,\s\up8(→))||eq\o(DE,\s\up8(→))|cos〈eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))〉＝－a|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝－a2.]4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E则eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(EC,\s\up8(→))＝________________________.eq\f(144,25)[建立平面直角坐标系，如图所示．矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,3)．直线BD的方程为y＝eq\f(3,4)x.由AE⊥BD，则直线AE的方程为y－3＝－eq\f(4,3)x，即y＝－eq\f(4,3)x＋3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,4)x,y＝－\f(4,3)x＋3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(36,25),y＝\f(27,25)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25)，\f(27,25)))所以eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25)，－\f(48,25)))，eq\o(EC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,25)，－\f(27,25)))，所以eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(EC,\s\up8(→))＝eq\f(36,25)×eq\f(64,25)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(48,25)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,2