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文档简介
课时作业向量数量积的概念(建议用时:60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知向量|a|=1,|b|=2,a,b的夹角为θ,若tanθ=eq\r(3),则a·b的值为()A.1 B.2C.3 D.-12.已知向量|a|=3|b|=a·b=3,则下列结论正确的是()A.a⊥b B.a∥bC.|a+b|=3 D.|a-b|=33.若e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断正确的是()A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1C.e1·e2=±1 D.|e1·e2|<14.如图,已知正六边形ABCDEF,下列向量的数量积中最大的是()A.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))B.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))D.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))5.已知单位向量a,b满足|a-b|=|a+2b|,则a,b夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)6.已知等腰直角三角形ABC中,C=90°,面积为1,则下列结论错误的是()A.eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=0 B.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=2C.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=2 D.|eq\o(AB,\s\up8(→))|cosB=|eq\o(BC,\s\up8(→))|二、填空题7.已知向量a·b=15=3|b|,则向量a在b上投影的数量为______.8.已知点A,B,C满足|eq\o(AB,\s\up8(→))|=3,|eq\o(BC,\s\up8(→))|=4,|eq\o(CA,\s\up8(→))|=5,则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))+eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))的值是________.9.已知正方形ABCD的边长为2,则向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(AD,\s\up8(→))上的投影的数量为________,eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为________.三、解答题10.已知|a|=2,b2=3,若(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为150°,分别求a·b.[等级过关练]1.已知a是非零向量,e是单位向量,则下列表示正确的是()A.a·e=|a| B.a·e<|a|C.a·e≤|a| D.|a·e|<|a|2.已知在△ABC中,AB=AC=4,eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))=-8,则△ABC的形状是()A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形3.己知正方形ABCD的边长为a,点E是AB边上的动点.则eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))的值为________.4.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E则eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(EC,\s\up8(→))=________________________.5.已知△ABC的面积为S满足eq\r(,3)≤2S≤3,且eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=3,eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))的夹角为θ.求eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))夹角的取值范围.答案与解析一、选择题1.已知向量|a|=1,|b|=2,a,b的夹角为θ,若tanθ=eq\r(3),则a·b的值为()A.1 B.2C.3 D.-1A[因为向量|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=θ,tanθ=eq\r(3),θ∈[0,π],则θ=60°,所以a·b=|a||b|cos〈a,b〉=1.]2.已知向量|a|=3|b|=a·b=3,则下列结论正确的是()A.a⊥b B.a∥bC.|a+b|=3 D.|a-b|=3B[已知向量|a|=3|b|=a·b=3,则|b|=1,a·b=|a||b|cos〈a,b〉=3cos〈a,b〉=3,所以cos〈a,b〉=1,因为〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=0,所以a=3b,a∥b,|a+b|=4,|a-b|=2,故选B.]3.若e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断正确的是()A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1C.e1·e2=±1 D.|e1·e2|<1C[因为e1,e2是两个互相平行的单位向量,则当e1,e2方向相同时,e1·e2=|e1||e2|cos0°=1;当e1,e2方向相反时,e1·e2=|e1||e2|cos180°=-1.综上所述,得e1·e2=±1.]4.如图,已知正六边形ABCDEF,下列向量的数量积中最大的是()A.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))B.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))D.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))A[法一:设正六边形的边长为2,则AC=2eq\r(3),eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos30°=6,eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))=|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AD,\s\up8(→))|cos60°=4,eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))=|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AE,\s\up8(→))|cos90°=0,eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))=|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AF,\s\up8(→))|cos120°=-2.法二:显然,向量eq\o(AC,\s\up8(→))在eq\o(AB,\s\up8(→))上投影的数量最大,所以eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))最大.]5.已知单位向量a,b满足|a-b|=|a+2b|,则a,b夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)C[∵a,b是单位向量,且|a-b|=|a+2b|,∴(a-b)2=(a+2b)2,∴a2-2a·b+b2=a2+4a·b+4b∴1-2a·b+1=1+4a·b+4,∴a·b=-eq\f(1,2),∴cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a||b|)=-eq\f(1,2),又0≤〈a,b〉≤π,∴〈a,b〉=eq\f(2π,3).故选C.]6.已知等腰直角三角形ABC中,C=90°,面积为1,则下列结论错误的是()A.eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=0 B.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=2C.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=2 D.|eq\o(AB,\s\up8(→))|cosB=|eq\o(BC,\s\up8(→))|C[在等腰直角三角形ABC中,C=90°,面积为1,则eq\f(1,2)AC2=1,得AC=eq\r(2),得AB=2,所以eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=0,选项A正确;eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos45°=2,选项B正确;eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(BC,\s\up8(→))|cos135°=-2,选项C不正确;向量eq\o(BA,\s\up8(→))在eq\o(BC,\s\up8(→))上投影的数量为|eq\o(BC,\s\up8(→))|,即|eq\o(AB,\s\up8(→))|cosB=|eq\o(BC,\s\up8(→))|,选项D正确,故选C.]二、填空题7.已知向量a·b=15=3|b|,则向量a在b上投影的数量为______.3[因为a·b=15=3|b|,所以|b|=5,则向量a在b上投影的数量为|a|cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|b|)=3.]8.已知点A,B,C满足|eq\o(AB,\s\up8(→))|=3,|eq\o(BC,\s\up8(→))|=4,|eq\o(CA,\s\up8(→))|=5,则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))+eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))的值是________.-25[∵|eq\o(CA,\s\up8(→))|2=|eq\o(AB,\s\up8(→))|2+|eq\o(BC,\s\up8(→))|2,∴B=90°,∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))=0.∵cosC=eq\f(4,5),cosA=eq\f(3,5),∴eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))=|eq\o(BC,\s\up8(→))|·|eq\o(CA,\s\up8(→))|cos(180°-C)=4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,5)))=-16.eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))=|eq\o(CA,\s\up8(→))|·|eq\o(AB,\s\up8(→))|cos(180°-A)=5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,5)))=-9.∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))+eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))=-25.]9.已知正方形ABCD的边长为2,则向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(AD,\s\up8(→))上的投影的数量为________,eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为________.0-eq\r(2)[法一:因为正方形ABCD的边长为2,eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→)),则向量Aeq\o(B,\s\up8(→))在Aeq\o(D,\s\up8(→))上的投影的数量为|Aeq\o(B,\s\up8(→))|cos90°=0,Aeq\o(B,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为|Aeq\o(B,\s\up8(→))|cos135°=2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(2),2)))=-eq\r(2).法二:如图,正方形ABCD的边长为2,eq\o(AB,\s\up8(→))⊥Aeq\o(D,\s\up8(→)),则向量eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(AD,\s\up8(→))上的投影的数量为0,eq\o(AB,\s\up8(→))在Aeq\o(C,\s\up8(→))上的投影的数量为eq\r(2),所以eq\o(AB,\s\up8(→))在eq\o(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为-eq\r(2).]三、解答题10.已知|a|=2,b2=3,若(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为150°,分别求a·b.[解]因为|a|=2,b2=3,所以|b|=eq\r(3).(1)当a∥b时,a·b=|a||b|cos0°=2×eq\r(3)×1=2eq\r(3)或a·b=|a||b|cos180°=2×eq\r(3)×(-1)=-2eq\r(3).(2)当a⊥b时,a·b=|a||b|cos90°=2×eq\r(3)×0=0.(3)当a与b的夹角为150°时,a·b=|a||b|cos150°=2×eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),2)))=-3.[等级过关练]1.已知a是非零向量,e是单位向量,则下列表示正确的是()A.a·e=|a| B.a·e<|a|C.a·e≤|a| D.|a·e|<|a|C[因为a是非零向量,e是单位向量,则a·e=|a||e|cos〈a,b〉=|a|cos〈a,b〉≤|a|,|a·e|≤|a|,故选C.]2.已知在△ABC中,AB=AC=4,eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))=-8,则△ABC的形状是()A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形B[依题意,得eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=eq\f(1,2),所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形.]3.己知正方形ABCD的边长为a,点E是AB边上的动点.则eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))的值为________.-a2[如图,因为向量eq\o(DE,\s\up8(→))在eq\o(DA,\s\up8(→))上投影的数量为a,即|eq\o(DE,\s\up8(→))|cos∠ADE=a,所以eq\o(DE,\s\up8(→))在eq\o(BC,\s\up8(→))上投影的数量为-a,所以eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))=|eq\o(BC,\s\up8(→))||eq\o(DE,\s\up8(→))|cos〈eq\o(BC,\s\up8(→)),eq\o(DE,\s\up8(→))〉=-a|eq\o(BC,\s\up8(→))|=-a2.]4.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E则eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(EC,\s\up8(→))=________________________.eq\f(144,25)[建立平面直角坐标系,如图所示.矩形ABCD中,AB=3,AD=4,则A(0,3),B(0,0),C(4,0),D(4,3).直线BD的方程为y=eq\f(3,4)x.由AE⊥BD,则直线AE的方程为y-3=-eq\f(4,3)x,即y=-eq\f(4,3)x+3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=\f(3,4)x,y=-\f(4,3)x+3)),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(36,25),y=\f(27,25))),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25),\f(27,25)))所以eq\o(AE,\s\up8(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25),-\f(48,25))),eq\o(EC,\s\up8(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,25),-\f(27,25))),所以eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(EC,\s\up8(→))=eq\f(36,25)×eq\f(64,25)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(48,25)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(27,2
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