油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考第四周试题

吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考第四周试题吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考第四周试题PAGE6PAGE28吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考第四周试题吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考(第四周)试题注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，则的模为（)A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】因为，所以的模为,故选D．2．设集合,集合，则（)A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域是，即，的值域是，即，则，故选B．3．“”是“"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由对数函数的性质可得“”的充要条件是“”，当时，则是成立的,例如：，此时也成立,所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．4．数列是等差数列，且，，那么（)A． B． C．5 D．【答案】B【解析】令，得；令，得，所以数列的公差为，所以，解得，故选B．5．若，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以,所以,因为，所以，所以,所以,两边平方得,，所以,故选C．6．设，，且，则(）A．有最小值为4 B．有最小值为C．有最小值为 D．无最小值【答案】B【解析】,，且，，解得．，当且仅当，时取等号．有最小值，故选B．7．已知O是的外心,,，若，且，则的面积为(）A． B．18 C．24 D．【答案】D【解析】取的中点为,连接，因为O是的外心，所以，由于，则，因为，所以,即,得，即，，则，故选D．8．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，．若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设,则，∴,是偶函数．当时，，∴在上是增函数，∵，∴，即，∴，即，故选A．二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知函数．则下面结论正确的是（）A．是奇函数 B．在上为增函数C．若，则 D．若，则【答案】BCD【解析】函数的定义域为,由，得是偶函数,故A不正确;当时，，，,所以在上为增函数,故B正确；因为是偶函数,所以，又，所以,故C正确；由可得，且在上为增函数，所以，解得，故D正确，故选BCD．10．已知函数部分自变量､函数值如下表所示，下列结论正确的是（）A．函数解析式为B．函数图象的一条对称轴为C．是函数图象的一个对称中心D．函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位所得的函数为奇函数【答案】BCD【解析】由表格的第1、2列可得：，，由表格的第4、5列可得：，∴，∴，故A错误;令,∵,∴是函数图象的一条对称轴，即为的一条对称轴，故B正确；∵，∴是函数图象的一个对称中心，∴是函数图象的一个对称中心，故C正确；∵函数的图象向左平移个单位,再向下平移2个单位所得的函数为,∴为奇函数，故D正确,故选BCD．11．如图，在矩形中,为BC的中点,将沿直线AM翻折成，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．存在某个位置，使得B．CN的长是定值C．若AB=BM，则D．若,当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是【答案】BD【解析】对于A：如图1,取中点,连接交与，则，，如果，可得到，又，且三线，,共面共点，不可能,则A错误；对于B:如图1，可得由（定值)，（定值），（定值），由余弦定理可得,所以是定值，则B正确；对于C:如图2,取中点，连接，，由题意得面，即可得，从而，由题意不成立，可得C错误；对于D：当平面平面时，三棱锥的体积最大,由题意得中点就是三棱锥的外接球的球心，球半径为1，表面积是，则D正确，故选BD． 12．下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】构造函数，则，当时，,则单调递增；当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值．A选项，，由可得，故A正确;B选项，，由,可得，故B错误;由可推导出，即,即,则，即,所以，故C正确；D选项，因为，所以，所以，故D错误，故选AC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，，若与共线，则实数的值为_____．【答案】2【解析】根据题意，向量，,若与共线,则有，解得，故答案为2．14．已知等比数列满足，，则________．【答案】【解析】由等比数列的性质可得，于是，解得．又,所以．15．已知二面角的大小为120°,且，,．若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______．【答案】【解析】设，则，设和的外心分别为、，则分别为的中点，过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点，则为三棱锥的外心,连接，则为三棱锥外接球的半径．取的中点，连接、、,如图所示，由题意可知,，,，且,，为二面角的平面角，即，连接，平面，平面，,，四点共圆,且该圆的直径为．在中，由余弦定理知，，的外接圆直径，,当时，取得最小值,为,此时该球的表面积取得最小值，为，故答案为．16．已知对任意x，都有,则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】根据题意可知，,由，可得恒成立,令，则，现证明恒成立，设，，当时，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故时,函数取得最小值，，所以，即恒成立，，所以，即，所以实数的取值范围是，故答案为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在中，角的对边分别为，，,．求的面积．【答案】见解析．【解析】若选①:由正弦定理得，即,所以，因为，所以．又，，，所以，所以．若选②：由正弦定理得．因为，所以，，化简得，即,因为，所以．又因为,所以，即,所以．若选③:由正弦定理得,因为，所以，所以,又因为，所以，因为，，所以，，，所以．又，，，所以，所以．18．（12分）已知．(1）若的解集为，求关于x的不等式的解集；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）；(2）见解析．【解析】（1）由题意得，解得．故原不等式等价于，即，解得或,所以不等式的解集为．(2)当时,原不等式可化为，解集为；当时，原不等式可化为,解集为；当时，原不等式可化为,当,即时，解集为；当,即时，解集为;当,即时,解集为．19．（12分）记等差数列的前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的通项公式，将数列中与的相同项去掉,剩下的项依次构成新数列，设数列的前n项和为，求．【答案】（1）；（2)．【解析】（1）依题意,，解得，又，故，，所以．(2）令数列的前n项和为，数列的前n项和为,由（1）可知，，，，…，，，所以，，，故．20．（12分）如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，，且,E,F分别是，的中点．（1）若D是的中点，求证:平面AEF；（2)线段AE（包括端点)上是否存在点M,使直线与平面AEF所成的角为？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点M与点A重合．【解析】（1）连接，，因为D，E分别是,的中点，故，平面,平面，所以平面．因为E，F分别是,的中点,所以，证平面，平面,所以平面,又,平面，平面AEF,所以平面平面，又平面，所以平面AEF，（2)题意得AB，AC,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，,．因为，．设平面AEF的法向量为，由，得，令,得，，所以平面AEF的一个法向量为．设，又,所以．若直线与平面AEF所成角为，则，解得或，即当点M与点A重合，或时，直线与平面AEF所成的角为．21．（12分)已知函数是偶函数．（1）求k的值;（2)设,若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】(1）；（2）．【解析】（1）由函数是偶函数可知：，∴，，即对一切恒成立,∴．（2）函数与的图象有且只有一个公共点,即方程有且只有一个实根．化简得:方程有且只有一个实根．令，则方程有且只有一个正根，当时，,不合题意；当且,解得或．若,,不合题意；若，满足．当且时,即或且,故，综上，实数a的取值范围是．