油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考第二周试题理

吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考第二周试题理吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考第二周试题理PAGE2PAGE29吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考第二周试题理吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考（第二周)试题理注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用列举法表示集合，则下列表示正确的是（)A． B． C． D．【答案】B【解析】解方程组,得，所以，故选B．2．已知,则的值为（）A．1 B． C． D．81【答案】C【解析】由,令，可得,故选C．3．设复数:,其中为虚数单位,则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选A．4．已知，则下列不等式一定成立的是（)A． B．C． D．【答案】B【解析】若，时，，则A不正确；因为为增函数，，所以，则B正确；因为为减函数，由可得,所以C不正确；当，时,，所以D正确，故选B．5．已知则,，则（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】，,所以,故,故选C．6．据《孙子算经》中记载,中国古代诸侯的等级从低到高分为:男、子、伯、侯、公，共五级．若给有巨大贡献的3人进行封爵,假设每种封爵的可能性相等，则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，每个人被封爵都有5种情况，因此对3人封爵，共有种，3人中恰好有两人被封同一等级共有种情况,则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为，故选D．7．P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线的方程为，，分别是双曲线的左､右焦点,若,则（）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】A【解析】不妨设，因为双曲线的一条渐近线的方程为,所以，即，所以双曲线的方程为，所以点,所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得点的纵坐标为，所以，,故选A．8．已知一组鞋码与身高的数据（x表示鞋码,y（cm）表示身高)，其中．x4041424344y172175mn183若用此数据由最小二乘法计算得到回归直线，则实数（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，，，将代入回归直线可得,故选B．9．在中，内角A，B,C所对的边分别为a，b，c．若，，则(）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】由,利用正弦定理得，利用,则，即,得，,，,故选A．10．2020年5月5日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是一定流速的风流经桥面时，产生了卡门涡街现象．卡门涡街是流体力学中重要的现象，在自然界中常可遇到，在工业生产中也有很多成功的应用．比如在工业中广泛使用的卡门涡街流量计，就是利用卡门涡街现象制造的一种流量计．在流体中设置旋涡发生体（也称阻流体)，从旋涡发生体两侧交替地产生有规则的旋涡,这种旋涡称为卡门涡街．设旋涡的发生频率为f（单位：赫兹)，旋涡发生体两侧平均流速为(单位:米/秒),漩涡发生体的迎面宽度为d(单位：米)，表体通径为D(单位:米),旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为m,根据卡门涡街原理，满足关系式：,其中:称为斯特罗哈尔数．对于直径为d（即漩涡发生体的迎面宽度）的圆柱,，．设，当时，在近似计算中可规定．已知某圆柱形漩涡发生体的直径为0．01米,表体通径为10米，在平均流速为20米/秒的风速下，发生的频率为420赫兹，则（)A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设可得，，，，此时，故，而,，所以,,故选C．11．已知函数,则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，，由，当时,;当时,，则在上单调递减，在上单调递增，由二次函数的性质可知,在上单调递减,在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，又,所以为偶函数．由可知，，即，解得，故选D．12．如图，在棱长为1的正方体中，点M是线段上的动点，下列四个结论:①存在点M，使得平面；②存在点M，使得的体积为；③存在点M，使得平面交正方体的截面为等腰梯形；④若,过点M作正方体的外接球的截面，则截面的面积最小值为．则上述结论正确的是（）A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②【答案】B【解析】对于①，连接,，如图,由正方体的几何特征可得平面平面，令平面,则平面，所以存在点M，使得平面，故①正确；对于②，，所以不存在点M，使的体积为,故②错误；对于③，因为平面，所以平面交平面的交线与平行，由正方体的几何特征可得存在点M，使截面为等腰梯形，故③正确；对于④,当且仅当M为截面圆的圆心时,截面圆的面积最小,由正方体的几何特征可得该正方体的外接球球心为的中点，且半径为，所以最小截面的半径，此时截面面积为，故④错误,故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量,的夹角为，,则________．【答案】【解析】因为向量,的夹角为，，所以，所以，所以，故答案为．14．已知圆锥的母线长为，且母线与底面所成角为，则圆锥的体积为_______．【答案】【解析】因为圆锥的母线长为，母线与底面所成角为，所以圆锥的底面半径及高满足，所以圆锥的体积，故答案为．15．已知，B分别是椭圆的左焦点和上顶点，点O为坐标原点．过点垂直于x轴的直线交椭圆C在第一象限的交点为P，且，则椭圆C的离心率为_________．【答案】【解析】由题意得：，，把点代入椭圆方程得，，点坐标为，，，，，得,即，两边同除以得，解得，故答案为．16．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒,经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，,则函数的解析式为_______________，当时，函数的最大值是________．【答案】,4【解析】，，则,又，所以，当，,所以，时，取得最大值为．故答案为;4．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分)已知数列的前n项和，其中．（1)求数列的通项公式;（2）若为等比数列的前三项，求数列的通项公式．【答案】（1）;(2)．【解析】（1）当时,，当时，,所以数列的通项公式为．(2)由题意可得，，，因为为等比数列，所以，解得或0（舍），所以等比数列的前3项为4,8，16，所以的公比，所以数列的通项公式为．18．（12分）如图，直三棱柱中，,，、分别为、的中点．(1)证明：平面；（2）若直线与所成的角为，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析;（2）．【解析】（1)取中点,连接、，，为的中点，，在直三棱柱中，平面，平面，，，平面．、分别为、中点，,，为中点，，,，，四边形为平行四边形,，所以平面．（2）设，，为异面直线、所成的角，，，以为坐标原点，以、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系,则，，，，，,，，，,设平面的法向量为,由，可得,令，则，，所以，平面的一个法向量；设平面的法向量为，由,可得,令，则，,所以，平面的法向量为,设二面角的大小为，,所以．19．（12分)新型冠状病毒肺炎（简称新冠肺炎）是由严重急性呼吸系统综合症冠状病毒2感染后引起的一种急性呼吸道传染病，临床表现为发热､乏力､咳嗽和呼吸困难等,严重的可导致肺炎甚至危及生命．在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，新冠肺炎疫情得到了控制．我国科研人员也在积极研究新冠肺炎的疫苗,在研究中利用小白鼠进行科学试验，为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现呼吸困难症状(记为H症状）的情况,决定对小白鼠进行接种试验，该试验的要求为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期;③试验共进行3个周期．已知每只小白鼠接种后当天出现H症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现H症状与上次接种无关．（1）若某只小白鼠出现H症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次H症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验．设一只小白鼠参加的接种周期为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2)分布列见解析，数学期望为．【解析】(1)已知每只小白鼠接种后当天出现H症状的概率均为，且每次试验间相互独立,所以一只小白鼠第一天接种后当天出现H症状的概率为,第二天接种后当天出现H症状的概率为，第三天接种后当天出现H症状的概率为，所以一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为．（2)设事件A为“一个周期内出现2次或3次H症状”，则，随机变量X可能的取值为1，2，3，则，，,所以X的分布列为X123P所以随机变量X的数学期望为．20．(12分)已知抛物线的焦点为F，B，C为抛物线C上两个不同的动点，(B，C异于原点），当B,C，F三点共线时，直线BC的斜率为1,．（1）求抛物线T的标准方程；（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N,若，求BC中点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1)设直线BC的方程为，则,设，,则，所以抛物线T的标准方程为．（2）令，，，则,，则，直线BC的方程为，令直线BC与y轴交于点H，则,所以，，所以或0（舍），令BC中点为，则,所以中点轨迹方程．21．（12分）已知函数．（1)求曲线在处的切线方程,并证明：；（2)当时，方程有两个不同的实数根,证明：．【答案】(1），证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）,所以，，即切线方程．下证:，令，因为，显然在单调递增，，所以易得在递减，递增，所以，所以．（2）,则为方程的两根，不妨设,显然在时单调递增，由，，所以存在，使，当,，递减；，，递增，由（1）得，，所以，∴，要证：，需证：,即证:，因为：,所以，即证：，即：，令，,,显然在单调递增，且,因为在单调递增，所以，即不等式成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为．(1）求曲线与极轴所在直线围成图形的面积；（2)设曲线与曲线交于，两点，求．【答案】(1)；（2）．【解析】（1）由于的极坐标方程为