第04章-测量装置的基本特性

机械工程测试技术

第四章第一节、线性系统及特性第二节、一阶系统特性及响应第四节、测试仪器不失真条件第三节、二阶系统特性及响应

第四章测量仪器动特性及误差

第五节、测试装置动特性参数测试方法1第四章测量仪器动特性及误差

测试是具有实验性质的测量。可以理解为测量和试验的结合，是从客观事物中取得有关信息的过程。在这一过程中，借助于测试装置，通过科学、合理的实验方法和数学处理的方法，求得所要研究的对象的有关信息。本章主要讨论测试装置的特性及其与输入输出的关系。

2第一节线性系统及特性我们在前面已经介绍了典型的测试装置的构成。在这里，测试装置是一个广义的概念，有时是指由众多环节组成的复杂的测试装置，有时是指测试装置中的各组成环节，在此不加以细分。一、线性系统特性任一测试系统的输入、输出与系统的关系可用下图表示系统

h(t)H(s)输入输出x(t)X(s)Y(s)y(t)

测试内容输入x(t)

、输出y(t)可测（已知），则通过输入、输出估计系统的传输特性h(t)；

系统特性h(t)已知，输出y(t)可测，估计系统的输入x(t)

输入x(t)及系统特性h(t)已知，估计系统的输出y(t)

。

理想的测试装置应该是具有单值的、确定的输入——输出关系。其中以输入——输出关系为线性最佳。事实上，大多数测试装置都无法在较大工作范围内均呈线性。而只能在一定的范围内，一定的误差范围内满足这项要求。所以必须了解系统的特性，以便能正确选择仪器。例：用地磅测量体重；用米尺测量头发丝直径；用加速度计直接（不加积分器）测量位移等都是不正确的。测试系统及其主要性质

1、测试系统

测试系统指由相关器件、仪器和测试装置有机组合而成的具有获取某种信息之功能的整体；测试装置是指测试过程中所必需的功能单元；测试装置与测试系统的概念常常同等看待，不加以区分。

在测试工作中，常把研究对象和测试装置作为一个系统进行考察，因为测试装置会对被测对象产生反作用，从而影响输出。因此只有首先知道测试装置的特性，才能从测试结果中正确评价所研究对象的特性。

如果所研究的对象就是测试装置本身，此时即是它的定度（标定）问题。理想的测试装置：输入、输出存在单值确定的对应关系，其中线性关系为最佳。2、线性系统及其主要性质

时不变（定常）线性系统

nm如果ai(i=0,1,…,n)、bj(j=0,1,…,m)均为常数，则该方程为常系数微分方程，所描述的系统为时不变线性系统，也称为线性定常系统。时不变线性系统输出与输入加入的时间无关。nm由于非线性系统理论还不成熟，所以很多系统虽然具有非线性，但是如果非线性不是很严重的话，常做为线性系统来处理。对于时不变线性系统，它的主要性质有如下几个方面：叠加性：若x1(t)y1(t)，x2(t)y2(t)，则：[x1(t)x2(t)][y1(t)y2(t)]比例性：若x(t)y(t)，为常数，则：x(t)

y(t)叠加性和比例性可统一表示为：

[x1(t)

x2(t)][y1(t)

y2(t)]

微分特性：若x(t)y(t)，则：dx(t)/dtdy(t)/dt

积分特性：若系统的初始状态为0，则：

频率保持特性：若系统输入为简谐信号，则其稳态输出也为同频简谐信号。即：

若，则设

为已知频率，则根据线性系统的比例特性和微分特性，有由线性系统的叠加原理

设输入信号为单一频率的简谐信号，即则有

相应的输出也应为

即于是输出y(t)的唯一的可能解只能是

若系统输入是简谐信号，而输出却包含其它频率成分，则可以断定这些成分是由外界干扰、系统内部噪声、非线性环节或是输入太大使系统进入非线性区域所引起。

设备故障诊断中，我们只能检测到故障信号，而输入（故障）未知，这时利用频率保持特性就可以知道输入（故障）的频率成分，若能消除该频率成分，即消除了故障。频率保持性的应用第二节测试装置的动态特性

定常线性系统在时域用微分方程式来表达，非常麻烦，使用起来也不便。本节讲解测试系统动态特性的三种描述方法，一是传递函数，一个是频率响应函数，另外一个是脉冲响应函数，三者既相互联系又各有其特点。一、动态特性的数学描述

h(t)H(s)H(jω)输入输出x(t)X(s)X(jω)Y(s)Y(jω)y(t)

1、传递函数

传递函数的概念时不变线性系统的微分方程为：设初始条件为零，对上式两边做拉氏变换：（nm）定义：零初始条件下，定常线性系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。由上述变换可得系统传递函数为：（nm）

②

H(s)只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构无关。即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特性的不同物理系统。③实际物理系统中，输入与输出间的量纲变换关系在传递函数中通过系数ai(i=0,1,…,n)和bj(j=0,1,…,m)来反映。ai和bj的量纲由具体物理系统决定。④

H(s)的分母取决于系统的结构，分子则和系统与外界之间的关系，如输入（激励）点的位置、输入方式、被测量及测点布置情况有关。①

H(s)与输入x(t)及系统的初始状态无关。如果x(t)给定，则系统输出的特性完全由H(s)决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。传递函数的特点：频率响应函数的概念设定常线性系统的输入为谐波信号：式中，pi为系统特征根，B0，Bi为常数。则：对于稳定的系统，其稳态响应分量为：其中，

2、频率响应函数即：因此，系统稳态输出与输入之比：

H()为的函数，反映了测试系统在各个频率正弦信号激励下的稳态响应特性，称之为频率响应函数。实验：频率特性为复数，可以表示为：其中，

H()的模A()反映了定常线性系统在正弦信号激励下，其稳态输出信号与输入信号的幅值比，称为系统的幅频特性；

H()的幅角()反映了稳态输出信号与输入信号的相位差，称为系统的相频特性。幅频特性与相频特性统称系统的频率特性。因此，所谓频率特性即系统在正弦信号激励下，其稳态输出对输入的幅值比及相位差随激励频率变化的特性。此外，将H()的实部P()称为系统的实频特性，虚部Q()称为系统的虚频特性。频率响应函数的求法实验确定频率响应函数（系统初始条件全为0）依次用不同频率i的正弦信号激励被测系统，同时测量激励和系统稳态输出的幅值Xi、Yi和相位差i。则：

令传递函数中的求取；

根据系统的频率求取；

※傅里叶变换注意：系统频率特性适用于任何复杂的输入信号。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。

幅、相频率特性的图象描述

常用这四种曲线幅频特性及相频特性曲线

幅频特性曲线：A()—相频特性曲线：()—对数幅频特性曲线：20logA()(dB)—log

对数相频特性曲线：()—log图Bode图（对数频率特性图）程序：num=[11];den=[13520];w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w);gridon传递函数（开环）：分贝的来历：来自于电信技术，表示信号功率的衰减程度。若两个信号功率分别为N1和N2Decibel——分贝当lg(N1/N2)=1，则称N2比N1差1B(贝)，即N2是N1的10倍。因为B的单位太大，故常用dB(分贝)，1B=10dB，即，若N1和N21满足等式10lg(N1/N2)=1，则称N2比N1差1dB(即N2是N1的1.26倍)。后来，其他技术领域也采用dB为单位，并将其原来的意义推广：当两数值p1和p2满足等式20lg(p2/p1)=1，实质是：因为若p1和p2表示电流、电压、速度等时，则与功率成正比，则称p1

比p2差1dB。推广到控制学科领域，任何一个数N都可用分贝值n表示，定义为实频特性及虚频特性曲线

实频特性曲线：P()—虚频特性曲线：Q()—

Nyquist图（奈奎斯特图、极坐标图）Q()

—P()3、脉冲响应函数

若系统输入x(t)=

(t)，则X(s)=1，相应输出为：

h(t)

称为系统的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数是对系统动态响应特性的一种时域描述。当初始条件为0时，给测试系统施加一单位脉冲信号，如果测试系统是稳定的，则经过一段时间后，系统将渐渐恢复到原来的平衡位置。4、环节的串联与并联

串联

两个环节相串联多个环节相串联频率响应函数：幅频特性：

相频特性：注意上式条件：当串联联接的环节间无能量交换。并联++两个环节相并联多个环节相并联+++...频率响应函数为：并联时：其中，高阶系统的分解一阶极点二阶极点

上式表明，任何的高阶系统都可以看成若干个一阶环节和二阶环节的串联或并联。因此必须深刻理解一阶系统和二阶系统的传输性质，它是高阶系统分析的基础。一阶系统具有一阶特性的测量装置有很多，如直流放大器、RC低通滤波器、液柱温度计、无质量的弹簧——阻尼机械测量装置。例：简单的RC低通滤波装置。第二节一阶特性及响应两边做拉氏变换：时间常数例：液柱温度计。温度计的输入信号就是被测温度——温度计的输入信号就是测温度计示值——由热力学关系可以列写下列微分方程：两边做拉氏变换：时间常数例：右图所示的m-K-C(弹簧-质量-阻尼系统)。当质量块的质量小至忽略不计时。两边做拉氏变换：时间常数静态增益受力分析m忽略S传递函数：

频率特性：

实频特性：

虚频特性：

上面所讲的三个例子都是典型的一阶系统的实例。所有一阶系统都具有相同的特性。（做归一化处理）幅频特性

相频特性

幅频特性：

相频特性：1参考：对数幅频特性：

对数相频特性：幅频特性：

相频特性：由上两式可知系统的对数幅频特性与对数相频特性分别为：低频渐近线为：0dB高频渐近线为：-20dB/dec其Bode图见下页。0.1-40-20020L()(dB)1/()()一阶系统的Bode图-20dB/dec-90º-4511010.11/11010一阶系统的脉冲响应函数h(t)1/0t脉冲响应函数：斜率实频特性：

虚频特性：

一阶系统的奈氏图0ReIm

=0

=45

=1/1/21Nyquist

曲线可以证明它是一个半圆圆心：（）半径：

一阶系统的特点

当激励频率远小于1/时（约<），A()1（误差不超过2%），输出、输入幅值几乎相等；当

>>1时，H()

，即：一阶系统适用于测量缓变或低频被测量。

此时，系统相当于一个积分器。其中A()几乎与激励频率成反比，相位滞后近90。0.1-40-20020L()(dB)1/()()一阶系统的Bode图-20dB/dec-90º-4511010.11/110100.21时间常数决定了一阶系统适用的频率范围，在

=1/处，A()=0.707(-3dB)，相角滞后45。此时的常称为系统的截止（转折）频率。一阶系统Bode图可用渐近折线近似描述：在

<1/段，为L()=0的水平线；

在

>1/段，为-20dB/dec斜率的直线。

近似折线与实际曲线的最大误差在转折频率1/处，为

-3dB。一阶系统的幅值误差：受力分析m第三节二阶系统特性及响应例：弹簧-质量-阻尼器（m、k、c)组成的机械位移系统。解：质量块m其进行受力分析。m——质量块质量；

k——弹簧刚度；

c——阻尼系数；即：对上式两边做拉氏变换：令：则解：根据基尔霍夫定律，有：系统的微分方程为：例：RC网络。对上式两边做拉氏变换：LCRi(t)R

、L

、C串联电路传递函数：

频率特性：其中，n为系统固有频率，z为系统阻尼比。

幅频特性：相频特性：脉冲响应函数(欠阻尼)：二阶系统的波德图0.1110-40-30-20-1001020z=0.05z

=0.1z

=0.2z

=0.3z

=0.5渐近线L()(dB)/n-18000.1110-90()()/nz

=0.7z

=1.0z

=0.05z

=0.1z

=0.2z

=0.3z

=0.5z

=0.7z

=1.0二阶系统（0<<1）的奈氏图ReIm

=

=01z=0.80z=0.6z

=0.4

=n

12z二阶系统的脉冲响应函数二阶系统的特点

<<n时，H()1，

>>n时，H()0。

n和ζ的大小影响二阶系统的动态特性，且在通常使用的频率范围中，n的影响最为重要。

=n时，A()=，()

=

90，且在

=n附近，系统发生共振。可利用此特性测量系统本身的参数。

<0.5n时，二阶系统Bode图可用0dB线近似；

>2n时，可用斜率为-40dB/dec的直线近似；而

=(0.5~2)n时，因共振，近似线误差较大，在

n处误差最大（误差大小与有关）。二阶系统的波德图0.1110-40-30-20-1001020z=0.05z

=0.1z

=0.2z

=0.3z

=0.5渐近线L()(dB)/n-18000.1110-90()()/nz

=0.7z

=1.0z

=0.05z

=0.1z

=0.2z

=0.3z

=0.5z

=0.7z

=1.0二阶系统的误差修正曲线

<<n时，

()很小，且和频率近似成正比增加；

>>n时，

()-180。

靠近n时，

()变化剧烈，且

越小，变化越剧烈。

二阶系统是振荡环节，对测试系统而言，为了减少频率特性不理想所引起的误差，一般取

(0.6~0.8)n，ζ

=0.65~0.7。此时，

()与

/n近似成线性关系，系统响应速度较快且误差较小。最佳阻尼比：ζ

=0.707

工程实际中一般要求ζ

=0.4~0.8二阶系统的幅值误差：第四节测试装置对任意输入的响应

系统对任意输入的响应任何输入信号x(t)都可用众多相邻接的、持续时间为的矩形波信号来逼近。若足够小（比测量系统任意时间常数，任意振荡周期都小），则该矩形波信号可以视为强度为x()的脉冲信号，所有脉冲的和记为：系统的响应y(t)即为这些脉冲依次作用的结果。若系统脉冲响应函数h(t)已知，则在上述一系列脉冲作用下，系统在

t时刻的响应可表示为：

式中，K=t，t<k时，h(t-k)=0。当0时，若t<0时，x(t)=0，则：

上式表明，从时域看，系统的输出为输入与系统脉冲响应函数之卷积。

※※※但实际计算系统输出时，由于卷积计算量巨大，通常利用拉氏变换或傅氏变换将其转变到复数域或频域进行运算。即：

系统对单位阶跃输入的响应单位阶跃信号一阶系统的单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应的特点

y(t)指数增大，且无振荡；

y()=1，无稳态误差。

y()=0.632，即经过时间，系统响应达到其稳态输出的63.2%

11t02t3t4t5ty(t)t斜率=1/t0.632A63.2%B86.5%95%98.2%99.3%99.8%6t一阶系统单位阶跃响应曲线时间常数反映系统响应的快慢。工程中，当响应曲线达到并保持在稳态值的95%〜98%时，认为系统响应过程基本结束，从而一阶系统的过渡过程时间为3〜4。显然，对于测试系统而言，越小越好。

一阶系统的时间常数越小越好。其中：二阶系统单位阶跃响应的特点①y()=1，稳态误差为0。二阶系统的单位阶跃响应系统的有阻尼固有频率z=0.2z

=0.4z

=0.6z

=0.85101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpy(t)欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线tz

=1

振幅衰减的快慢由z和n决定，振荡幅值随z减小而加大，z

=

0时，系统振幅超调量为

100%，且持续不断作等幅振荡，达不到稳态。②二阶系统（0<z<1）瞬态输出分量为振幅等于：的阻尼正弦振荡，阻尼振荡频率：③z一定时，固有频率n越高，系统响应越快。④z

>1时，系统退化为两个一阶系统的串联，此时输出无振荡，但需较长时间才能到达稳态。z

=0.6~0.8时，系统可以以较短时间（大约(5~7)/n）进入偏离稳态不到2%~5%的范围内，且系统超调量小于

10%。因此，二阶测试系统的阻尼比通常选择为：z

=0.6~0.8。z

=

0.707为最佳阻尼比。第五节测试仪器不失真条件

不失真测试的条件

信号不失真测试指系统的响应y(t)的波形和输入x(t)的波形完全相似，从而保留原信号的特征和全部信息。即：其中，A0、t0为常数。上式表明，若输入与输出间仅幅值不同和存在时间滞后，则表明系统实现了不失真测试。所说的不失真测试指输出信号“再现”了原来的输入信号，但二者有两个方面的不同：幅值放大（或缩小）了A0倍；时间上延迟了t0波形不失真复现系统初态为0时，对上式进行傅氏变换，可得不失真测试装置的频率响应函数为：因此不失真测试系统应具备两个条件：幅频特性A()在x(t)的频谱范围内为常数；

相频特性()与成线性关系，为一经过原点的直线。即不失真测试系统的频率特性图

A(),

()A0A()=A0

()=-t0-

c

c0实现不失真测试的条件不失真测试系统的频率特性图A(f),

(f)A0A(f)=A0f

(f)=-2pft0-fcf

c0实现不失真测试的条件

注意：

上述不失真测试条件只适用于一般的测试目的。对于用于反馈控制系统中的测试装置，时间滞后可能造成系统不稳定，因根据具体要求，尽量减少时间滞后。实际测量中，绝对的不失真测试是不可能实现的，只能把失真的程度控制在允许范围内。

两个概念：

幅值失真：A()不等于常数时引起的失真。

相位失真：()与间的非线性引起的失真。

实际的测试装置，即使在某一频段内工作，也难以完全理想地实现不失真测试，而只能将波形失真限制在一定的误差范围内。0.1-40-20020L()(dB)1/()()一阶系统的Bode图-20dB/dec-90º-4511010.11/110100.21一阶系统的时间常数t越小越好。不失真测试的频率上限fmax是由误差要求决定的。二阶系统的波德图0.1110-40-30-20-1001020z=0.05z

=0.1z

=0.2z

=0.3z

=0.5渐近线L()(dB)/n-18000.1110-90()()/nz

=0.7z

=1.0z

=0.05z

=0.1z

=0.2z

=0.3z

=0.5z

=0.7z

=1.0①w<0.3wn，A(w)较为平直，j(w)近于直线，基本满足不失真测试条件，幅值误差小；②w<2.5~3wn，A(w)较小，但关系基本保持在-180°，可将测试信号反相----反相器(幅值输出小要加以放大)；0.3wn<w<2.5wn

，A(w)

与j(w)受z的影响大，做动态特性参数测试。z=0.6~

0.8时，可以获得较为合适的综合特性，在幅值误差g

≤5%时，不失真测试的频段为0~0.58wn

一般对于单频率成分的信号，只要其幅值处于系统的线性区，输出信号无所谓失真问题；对于含有多种频率成分的信号，既存在幅值失真，也存在相位失真。信号中不同频率成分通过测试装置后的输出思考：一阶装置允许fmax=1000Hz正弦波：f≤fmax方波：f≤0.1fmax★10倍频三角波：f≤0.2fmax★5倍频一般的非正弦波：f≤0.1~

0.2fmax4A

4A34A50A()03050方波幅值谱4A

24A92

4A252003050

A2三角波幅频谱★减少失真的措施根据测试信号的频带选择合适的测试装置；信号预处理，如消除处于测试系统共振区的噪声；一阶系统：时间常数越小，响应越快，近于满足不失真测试条件的通频带越宽。二阶系统

<0.3n段，()较小，且与近似线性；A()变化不超过10%，用于测试时，波形失真很小；

>(2.5~3)n段，()接近180，且随变化很小，若在实际测试电路或在数据处理中减去固定的相位差；或对测试信号反相，则相位失真很小，但此时A()过小，输出幅值衰减太大；注意：幅值失真与相位失真的影响应权衡考虑，如在振动测试中，有时仅关心振动的频率成分及其强度，则可以允许有相位失真。而如若需要测量特定波形的延迟时间，则需要满足相位不失真条件。甚至，在某些测试情形下，可能并不关心幅值失真问题，如两个输入信号间相位差的测量。原则上构成一个测试系统的每个环节都应当基本满足不失真测试条件。

=(0.3~2.5)n段，装置频率特性受影响很大。分析表明：

当

=0.6~0.8时，可以获得较为合适的综合特性。当z

=0.7时，在=(0~0.58)n的频段内，A()变化小于5%，而()也接近直线，产生的相位失真也很小。第六节测试装置的动态特性的测定

作输入-输出特性曲线

将标准量在满量程范围内均匀地等分成n个输入点，按正反行程进行相同的m次测量（一次测量包括一个正行程和一个反行程），得到2m条输入、输出特性曲线。测试系统静态特性测定标定是一种特殊的测试，通过选择经过校准的标准静态量作为系统输入，求出其输入、输出特性曲线。标准输入量的误差应当是所要求测试结果误差的1/3～1/5或更小。要使测量装置精确可靠,不仅测量装置的定度应当精确，而且应当定期校准。定度和校准就其实验内容来说，就是对测量装置本身特性参数测量。求重复性误差求作正反行程的平均输入-输出曲线求回程误差求作定度曲线求作拟合直线，计算线性度和灵敏度xyA0一、频率响应法

频率特性的测试：正弦激励法通常对测试装置施加峰峰值为20%

量程左右的正弦信号，其频率自足够低的频率开始，以增量方式逐点增加到较高频率，直到输出量减少到初始输出幅值的一半止，即可得A(f)

。测试装置动态特性的测试方法

频率特性：

幅频特性：

相频特性：

直接根据：也可以应用(f)来求t一阶装置时间常数的确定或二阶装置参数z

、n的确定根据相频特性估计

上式表明，在

=n处，()的斜率直接反映系统阻尼比的大小。即可以根据()=90确定固有频率

n，再根据该点斜率确定阻尼比z

，但相角测量较困难，故较少采用该方法。

可以不讲解这种方法，应用较少根据幅频特性估计

方法一

对于欠阻尼二阶系统，谐振频率：

令

1

=(1-z)n、

2

=(1+z)n，则：当z甚小时，

r

n，即：这样，在幅频特性曲线峰值的

处作一水平线，其与幅频特性曲线的交点a、b将分别对应频率1、

2。从而：即：x0A()1n2ab12z条件：这种方法仅适用于阻尼很小的情况。

1

=(1-z)n

2

=(1+z)n

方法二

利用再根据x0A