利用导数研究函数的极值同步训练B【新教材】2022年人教A版高中数学选择性必修（含解析）

利用导数研究函数的极值专项训练B一．选择题（共8小题）1．已知为常数，函数有两个极值点，，则下列结论正确的是A． B． C． D．2．函数的极大值与极小值分别为A．极小值为0，极大值为 B．极大值为，无极小值 C．极小值为，极大值为0 D．极小值为，无极大值3．已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极值点A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．已知函数在处的极小值为6，则数对为A． B． C． D．或5．设，下列命题中正确的是________．A．是极大值，（3）是极大值． B．是极小值，（3）是极小值． C．是极大值，（3）是极小值． D．是极小值，（3）是极大值．6．已知为函数的极小值点，则A． B．3 C． D．97．已知实数，，若，，且，则的最小值为A． B． C． D．8．“”是“函数在上有极值”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二．多选题（共4小题）9．已知函数定义域为，，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示．024512021下列关于函数的结论正确的有A．函数的极大值点有2个 B．函数在上，是减函数 C．若，时，的最大值是2，则的最大值为4 D．当时，函数有4个零点10．已知函数，下列说法正确的有A． B．只有一个零点 C．有两个零点 D．有一个极大值点11．已知函数，则A．是奇函数 B． C．在单调递增 D．在上存在一个极值点12．已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是A． B． C． D．三．填空题（共4小题）13．设函数在处取得极小值，则．14．若是函数的极值点，则的极大值为．15．函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列4个结论：①；②；③（1）；④函数在区间上是增函数，其中，正确结论的序号是．16．已知函数，则它的极小值为；若函数，对于任意的，，总存在，，使得，则实数的取值范围是．四．解答题（共6小题）17．已知函数只有一个零点．求函数的解析式；若函数在区间，上有极值点，求取值范围是否存在两个不等正数，，当，时，函数的值域也是，，若存在，求出所有这样的正数，，若不存在，请说明理由．18．设为实数，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）求在上的极大值与极小值．19．已知函数（其中，．（1）当时，若函数在，上单调递减，求的取值范围；（2）当，时，①求函数的极值；②设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．20．已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的极值．21．已知函数，，且与的图象有一条斜率为1的公切线为自然对数的底数）．（1）求；（2）设函数，证明：当时，有且仅有2个零点．22．已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若对任意的，，都有，求实数的取值范围．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：，因为有两个极值点，，则有两个零点，，令，，则要使函数，的图象有两个不同的交点，易知直线恒过定点，，在同一直角坐标系中作出函数，的图象，如图，当直线与函数相切时，设切点为，，则，所以，．素以当且仅当时，函数，的图象有两个不同的交点，所以若要使函数由两个极值点，则，故，错误；当时，由图象可得当，时，，函数单调递减，且，所以，故正确，错误．故选：．2．【解答】解：的定义域是，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（1），无极小值，故选：．3．【解答】解：如图，不妨设导函数的零点分别为，，，．由导函数的图象可知：当时，，为增函数，当，时，，为减函数，当，时，，为增函数，当，时，，为增函数，当，时，，为减函数，由此可知，函数在开区间内有两个极大值，一个极小值；故选：．4．【解答】解：由，得，在处的极小值为6，（1）且（1），且，，或，，经检验当，时，在处取不到极小值6，，，数对为．故选：．5．【解答】解：，或时，，单调递增，，，单调递减，所以为极大值，（3）为极小值，故选：．6．【解答】解：，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极小值．故选：．7．【解答】解：，，且，，．．则，令，，解得．当时，；当时，．当时，取得极小值即最小值，．故选：．8．【解答】解：由，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故函数存在唯一的极值点，若函数在上有极值，则，即，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：由导数的正负性可知，原函数在单增，单减，所以正确；函数在单增，单减，由图象可得极大值点由两个，所以正确；当，，最大值是2，而最大值不是4，，，（2），（4），（5），结合单调性，有4个零点．所以正确；不正确；故选：．10．【解答】解：函数的定义域为，令，解得；令，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，无极小值，故选项正确；因为，当，，所以函数在区间上存在唯一零点，故选项错误，选项正确；根据函数的单调性可知，故选项错误．故选：．11．【解答】解：对于选项：函数，令，，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的定义域为，又，所以不是奇函数，故错误；对于选项：因为，所以，，所以，当时，，此时，所以不存在等于1的情况，所以，故正确；对于选项，当时，，，，所以在单调递增，故正确；对于选项，令，，令，因为单调递减，所以，故在，上单调递减，所以，所以，故在，上单调递减，所以，，所以存在，使得，即，所以在上单调递增，，上单调递减，所以在，上存在一个极值点，故正确．故选：．12．【解答】解：，在上单调递增，是函数的极值点，，且，又，时，，根据零点判定定理可知，，又，，结合二次函数的性质可知，时，，．故选：．三．填空题（共4小题）13．【解答】解：，即时，单调，不合题意，时，，在，递减，在，递增，结合题意，解得：，或（舍，或时，开口向下，有极大值，不合题意，综上：，故答案为：．14．【解答】解：函数可得是函数的极值点可得：，即，解得，可得，函数的极值点为：，，当或时，；当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，于是当时，函数取得极大值：．故答案为：．15．【解答】解：结合图象，在递增，在递减，在，递增，④错误，，在与处取得极值，则，是方程的根，显然，①正确，，②错误，而，故，故（1），③错误，故答案为：①．16．【解答】解：（1）由，得，，，的变化如下表：00极小值；（2），，，，使得，即，当时，单调递增，，，即；当时，单调递减，（2），故，即；当时，，不符合题意，舍．综上：；故答案为：；．四．解答题（共6小题）17．【解答】解：函数只有一个零点．方程有两个相等的根3，即，，解得：．，；若函数在区间，上有极值点，则在区间，上有变号零点，即在区间，上有变号零点，在区间，上恒成立，故在区间，上为减函数，故（2），解得：；函数，，令，则，令，则，或，故函数在，递增，在上递减，又当时，函数值为0，若存在两个不等正数，，当，时，函数的值域也是，，则，是的两个大于3的根，解得：，，，故不存在正数，满足条件．18．【解答】解：（1）当时，，，令，解得，或，当时，即，或时，函数为增函数，当时，即，函数为减函数，在，上单调递增，在上单调递减；（2），令，解得或，①当时，恒成立，单调递增，函数无极值，②当时，当时，即，或时，函数为增函数，当时，即，函数为减函数，当时，函数有极大值，极大值为，当时，函数有极小值，极大值为（a），③当时，当时，即，或时，函数为增函数，当时，即，函数为减函数，当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为（a）．19．【解答】解：（1）时，的导函数，由题意知对任意有，即，，即；（2）时，的导函数，①当时，有；，函数在单调递增，单调递减，函数在取得极大值，没有极小值．当时，有；，函数在单调递减，单调递增，函数在取得极小值，没有极大值．综上可知：当时，函数在取得极大值，没有极小值；当时，函数在取得极小值，没有极大值，②设切点为，则曲线在点处的切线方程为，当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在，当时，令，得切线在轴上的截距为：当时，，当时，，当切线在轴上的截距范围是．20．【解答】解：（1）（1），所以切点为，又，（1），所以切线方程为：，即．（2）函数的定义域为，得，当时，，递减；时，，递增．所以函数在处取得极小值（1），无极大值．21．【解答】（1），可得，，在处的切线方程为，即．，，，在处的切线方程为，即，故，可得．（2）证明：由（1）可得，，令，则，△，时，有两根，且，，得：，在上，；在，上，，此时，．又时，，时，．故在和，