第一章 质点运动学

大学物理学主讲：物电学院

余华军1第一篇力学(Mechanics)2第1章质点运动学(8)(Kinematicsofparticle)内容提要描述质点运动的物理量相对运动3§1-1矢量一.矢量的表示法aAa=|a|a

ax、ay、az分别是矢量a在坐标轴x、y、z上的投影(分量)。

i、j、k分别是沿x、y、z轴正方向的单位矢量(恒矢量)。xaxayazyzoa图1-1A=|A|4二.矢量的加、减法aba+b三角形法aba-bab+=？多边形法aca+b+cbbac=?-ab=？5三.标量积(点积、数量积、内积)6四.矢量积(向量积、叉积、外积)

积C的方向垂直于矢量a和b组成的平面，bacc指向由右手螺旋法则确定。7

1.矢量函数的微商与标量函数的微商不同：

矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函数A(t)的微商limt0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有当t0时，A的极限方向，才是的方向。特别是,当A的大小不变而只是方向改变时,就时刻保持与A垂直。8

3.

在直角坐标系中,考虑到是常量,有由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函数，所以就是普通函数的微商。9运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动的描述是相对的。一.运动的绝对性和相对性§1-2参考系、质点10在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考系。为了对物体的运动作定量描述，还需要在参考系中取定一个固定的坐标系。坐标系是参考系的代表和抽象。二.参考系坐标系常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系、球坐标系和自然坐标系。m三.理想模型质点

在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的物体质点。11§1-3位置矢量运动方程轨道方程

一.位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量

i、j、k单位矢量。r=xi+yj+zk(1-1)图1-1oxyzP(x,y,z)xyzABCr

位置矢量，简称位矢或矢径。由图1-1可知,

从坐标原点o指向P点的有向线段op=r12位置矢量r的大小(即质点P到原点o的距离)为式中,,取小于180°的值。

方向余弦:cos=x/r,cos=y/r,cos=z/rcos2+cos2+cos2=1图1-1oxyzP(x,y,z)xyzABCr13它们都叫做质点的运动方程。

三.轨道方程质点所经的空间各点联成的曲线的方程，称为轨道方程。运动方程

例：x=6cos2t

y=6sin2t消去时间t得：x2+y2=62这就是轨道方程。二.运动方程(1-4)(1-3)14§1-4位移速度如图1-2所示,质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时刻t+t在B点。

(1)位移是位置矢量r

在时间t内的增量:一.位移和路程从起点A到终点B的有向线段AB=r,称为质点在时间t内的位移。而A到B的路径长度S,称为路程。Azyox图1-2BCSr(t)r(t+t)r15在x轴方向的位移为注意：坐标的增量x=x2-x1是位移，而不是路程!

在直角坐标系中，若t1、t2时刻的位矢分别为r1和r2,则这段时间内的位移为16

位移代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向线段AB,

它的大小是|r,即割线AB的长度。位移=AC路程=AB+BC

AB只有当t→0时,才有

|Δr|

S

。(2)位移和路程是两个不同的概念。rAzyox图1-2BCSr(t)r(t+t)BAC

路程表示路径长度，是标量，它的大小是曲线弧AB的长度S

。在一般情况下,S和并不相等。17单位时间内的路程平均速率。

定义:

单位时间内的位移平均速度。二.速度、速率rAzyox图1-2BCSr(t)r(t+t)18如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，

即使在直线运动中，如质点经时间t从A点到B点又折回C点,显然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率为则平均速度为BAC19(1-9)质点的(瞬时)速率:limt0=(1-12)

质点的(瞬时)速度:

limt0这表明,质点在t时刻的速度等于位置矢量r对时间的一阶导数;而速率等于路程S对时间的一阶导数。20

=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0=limt0(B)(C)limt0=(1-12)(1-9)limt0(2)=r大小的导数+r方向的导数。21速度的大小：(1-11)(3)在直角坐标系中,

(1-10)22

为了描述速度随时间的变化情况，我们定义：质点的平均加速度则在时间t内质点速度的增量为§1-5加速度一.加速度如图1-3所示,

设时刻t质点位于A点，速度为(t),经时间t运动到B点，速度为(t+t),图1-3OxyzA.B.23

质点的(瞬时)加速度定义为

(1)在直角坐标系中,加速度的表示式是limDt0(1-17)这就是说,质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于速度矢量对时间的一阶导数,或等于矢径r对时间的二阶导数。(1-19)24(1-20)(2)加速度a的大小:

而加速度a在三个坐标轴上的分量分别为(1-19)25

在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。在国际单位制中,加速度的单位为米/秒2(m·s-2)。加速度a的方向是：当t→0时,速度增量的极限方向。应该注意到,的方向和它的极限方向一般不同于速度的方向,因而加速度a的方向与同一时刻速度的方向一般不相一致。aaa26例：由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明,任何一个曲线运动都可以分解为沿x,y,z三个方向的直线运动,每个方向上的运动是相互独立的,整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的叠加,这就是运动的叠加原理。27

以上内容的学习要点是：认真学习用微积分来处理物理问题的方法。r=xi+yj+zk求导积分§1-6运动学的两类问题28

例题1-1

一质点沿x轴运动,运动方程为x=t3–9t2

+15t+1(SI),求:(1)质点首先向哪个方向运动?哪些时刻质点调头了？

(2)质点在0~2s内的位移和路程。

可得：t=1,5s;又由于1,5s前后速度改变了方向(正负号），所以t=1,5s调头了。因t=0时速度

=+15m/s,所以质点首先向x轴正方向运动。

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0调头的必要条件是速度为零，即解（1）质点做直线运动时，调头的条件是什么？29

x=x(2)-x(0)=3-1=2m考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为

s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m

(2)质点在0~2s内的位移可表示为质点作什么样的运动？例题1-2质点的位置矢量：解

x=3+2t2,y=2t2-1，y=x-4直线质点作匀加速直线运动。x=t3–9t2

+15t+130

解

(1)由矢径的表达式可知,

x=Rcost，y=Rsint从以上两式中消去t,得到粒子的轨道方程：

x2+y2=R2这是一个以原点o为中心,半径为R的圆。

例题1-3

已知某一粒子在oxy平面内运动,其矢径为:r=Rcosti+Rsintj，其中R、为正值常量。

(1)试分析该粒子的运动情况;(2)时间t=/2/内的位移和路程。

由于t=0时,x=R,y=0,而t>0+时,x>0,y>0,由此判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。

31其大小为

显然粒子的速度和加速度的大小均为常量。a的方向-r，即沿着半径指向圆心。综上所述可知，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。粒子在任一时刻t的速度、加速度为32(2)在时间t=/2/内的位移为

注意到为角速度，在时间t=/2/内粒子刚好运动半个圆周，故路程:

S=R。

33

例题1-4

质点在xoy平面内运动，x=2t,y=19-2t2(SI);求：(1)质点在t=1s、t=2s时刻的位置,以及这1s内的位移和平均速度；(2)第1s末的速度和加速度；(3)轨道方程；(4)何时质点离原点最近?(5)第1s内的路程。平均速度：位移：当t=1s时，解

(1)位矢：当t=2s时，34代入t=1s,得：加速度：

(2)速度：a=4(m/s2)35

(3)轨道方程：由此方程可解得，t=0,3s(略去t=-3s);代入t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可见t=3s时最近。r有极值的必要条件是：

(4)何时质点离原点最近?x=2t,y=19-2t2这是一条抛物线36(5)第1s内的路程:10=1.34m37

例题1-5

在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速率收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。

解对矢径未知的问题,须先建立坐标系,找出矢径,再求导。hx图1-4roxy38

解2:船的速度:hx图1-4r39解

取伞兵开始下落时的位置为坐标原点,向下为x轴的正方向。

例题1-6

一伞兵由空中竖直降落,其初速度为零,而加速度和速度的关系是:a=A-B,式中A、B为常量;求伞兵的速度和运动方程。40完成积分就得运动方程:41可认为任一时刻质点都在一个圆上运动，这个圆称为曲率圆，如图1-5所示。二.向心加速度和切向加速度设质点沿曲线C运动。图1-5p1C.

加速度，反映速度大小和方向的变化率。

能否将a分为两部分：一部分反映大小变化，另一部分反映方向的变化？答案是肯定的。

用自然坐标系,et

轨道切向的单位矢量,en轨道法向并指向曲率中心的单位矢量。于是速度可写为

42而加速度设质点时刻t在p1点,经时间t到达p2点，如图1-6所示。=当t0时，也趋于零,et的极限方向为的方向，所以;so图1-6p1Cp243因ds=d(为曲率半径),于是得:(1-21)so图1-6p1Cp244大小：方向：沿半径指向圆心。大小：方向：沿轨道切线方向。作用：描述速度方向的变化。作用：描述速度大小的变化。加速度小结：名称：向心(法向)加速度。名称：切向加速度。45总加速度的大小:

以上内容的学习要点是：掌握切向加速度和向心加速度表达的物理内容和计算公式。a与速度的夹角是:(1-22)a

t图1-7a

n46由an=|at|得:解得解(1)由公式：

例题1-7

质点沿半径为R的圆周运动，路程与时间的关系是：

(b,c为常数,且b2>Rc);求:(1)何时an=at

？

(2)何时加速度的大小等于c?

(2)由=a+nata2247

例题1-8

求斜抛体在任一时刻的法向加速度an、切向加速度at和轨道曲率半径(设初速为o，仰角为)。

解设坐标x、y沿水平和竖直两个方向，如图示。总加速度(重力加速度)g是已知的;所以an、at

只是重力加速度g沿轨道法向和切向的分量,由图可得：图gaxy3-10uouxuuyqanatq48

讨论：(1)在轨道的最高点，显然=0，y=0,故该点：an=g,at=0图gaxy3-10uouxuuyqanatq49(2)

解法之二图gaxy3-10uo50=3t,完成积分得:

3t2=3,

求出t=1s

例题1-9

一质点由静止开始沿半径r=3m的圆周运动，切向加速度at=3m/s;求：(1)第1s末加速度的大小；(2)经多少时间加速度a与速度成45?这段时间内的路程是多少？

解(1)由有又

(2)加速度a与速度成45，意味着a与an

和at都成45,即表示：an=at，于是有=a+nata2251

设作半径为R的圆周运动,如图1-9所示。

质点在任一时刻t的(瞬时)角加速度为三.圆周运动的角量和线量的关系我们定义：质点在任一时刻t的(瞬时)角速度为角称为角坐标(角位置)。

角能完全确定质点在圆上的位置,yxoA图1-9R52

线量和角量之间的联系:(1-22a)

由图1-10还可以得出,质点的线速度等于角速度与质点位矢r的矢量积:

我们定义:角速度矢量的方向垂直于质点的运动平面,其指向由右手螺旋定则确定,如图1-10所示。图1-10角速度矢量53

圆周运动与直线运动的比较：表1-1直线运动圆周运动坐标x角坐标q速度角速度加速度角加速度若a=恒量，则若=恒量,则54

例题1-10

一半径R=1m的飞轮，角坐标=2+12t-t3(SI),求：(1)飞轮边缘上一点在第1s末的法向加速度和切向加速度；(2)经多少时间、转几圈飞轮将停止转动？

an=R2=(12-3t2)2,

at=R=-6t代入t=1s,an=812,at=-6(SI)(2)停止转动条件：=12-3t2=0,求出：t=2s。

t=2s,2=18，解(1)

t=0,0=2,所以转过角度：=2-0=16=8圈。55

解

例题1-11

质点沿半径为R的圆周运动，速率=A+Bt

(A、B为正的常量)。t=0质点从圆上某点出发，求：该质点在圆上运动一周又回到出发点时它的切向加速度，法向加速度和总加速度的大小是多少？由于=B/R为常量，于是可用:因=A+Bt=R,所以t=0时,o=A/R,求出时间t。=2,56o=A/R,解得=257另解解得58§1-7相对运动

假定：参考系S和S之间，只有相对平移而无相对转动,且各对应坐标轴始终保持平行。对空间P点,有rps=rps+

rssyxyoSSzz图1-11O’rpsrps.

prssps=ps+ssaps=aps+ass(1-25)(1-26)(

1-23)59式(1-25)称为速度合成定理。它表示：质点P对S系的速度等于质点P对S系的速度与S系对S系的速度的矢量和。

注意：(1).式(1-23)—(1-26)是矢量关系式。

(2).双下标先后顺序交换意味着改变一个符号,即：ps=-spps=ps+ssaps=aps+ass(1-25)(1-26)ps=p

+sss人对水=人+水对船