第6章静定结构位移计算

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第六章

静定结构的位移计算2A′第六章静定结构的位移计算§6—1结构位移的概念§6—2变形体系的虚功原理§6—3计算结构位移的虚力原理§6—4图乘法§6—5静定结构支座移动时的位移计算§6—6静定结构温度变化时的位移计算§6—7线弹性结构的互等定理

31.结构位移产生的原因

结构是由可变形的材料做成的，在外部因素作用下，结构将产生变形和位移。变形：是指结构形状的改变。位移：是指结构各处位置的移动。§6—1结构位移的概念引起结构位移的原因（1）荷载；（2）温度改变；（3）支座位移；（4）制造误差；（5）材料收缩42.结构位移的种类（1）某点的线位移（2）某截面的角位移（3）两点间的相对线位移（4）两截面间的相对角位移线位移：角位移：绝对位移相对位移§6—1结构位移的概念PABC△B△CB（（CBC△BC线位移：角位移：

一般来说，结构的位移与结构的几何尺寸相比都是极其微小的。第6章结构位移的计算结构的位移1、线位移

结构在外部因素作用下，将产生尺寸形状的改变，这种改变称为变形；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。（1）水平线位移：

H（2）铅直线位移：

V2、角位移：cC’3、“相对位移”与“绝对位移”

AppBppcC’第6章63.计算位移的目的

（1）为了校核结构的刚度。

（2）结构制造和施工的需要。

（3）为分析超静定结构打下基础。另外，结构的稳定和动力计算也以位移为基础。

结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算。起拱高度△§6—1结构位移的概念7复习功的概念§6—2变形体的虚功原理△PAB⌒P常力作的功力偶作的功PPdPPP当静力加载时，即：

P由0增加至P

Δ由0增加至Δ实功计算公式的建立位移荷载第6章9§6—2变形体的虚功原理1.外力虚功、广义力及广义位移（1）位移的双脚标符号ABP112△11P2△22△12Δkj位移发生的位置产生位移的原因位移的大小AB△122P21△22AB△112P11△2110§6—2变形体的虚功原理1.外力虚功、广义力及广义位移（2）外力的虚功ABP112△11P2△22△12AB△122P21△22AB△112P11△21实功：力在本身引起的位移上作的功。

实功是力（位移）的二次函数。虚功：力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。虚功是力（位移）的一次函数。Tkj=Pk·△kj考察力作功的过程静力加载：0→P虚位移与虚力虚功并不是不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。虚功是代数量，有正有负。11§6—2变形体的虚功原理1.外力虚功、广义力及广义位移（3）广义力及广义位移作功的两因素力：集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移

统称为广义位移（4）虚功的两种状态

力状态

位移状态AB△122P21△22AB△112P11△21122.变形体的虚功原理：

设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则外力在相应位移上所做的外力虚功T

恒等于整个变形体各个微段内力在变形上所做的内力虚功W。T=W（3—1）式(3—1）称为虚功方程，式中

TW—外力虚功

—内力虚功§3—2变形体的虚功原理13AB力状态PqMds3.内力虚功的计算RARB位移状态qNN+dNQQ+dQMM+dMdsdsdsdu⌒ds⌒⌒dvddsAB§6—2变形体的虚功原理微段ds上的内力虚功为dW=Ndu+Qdv+Md整个结构的内力虚功为14§6—2变形体的虚功原理3.

虚功原理的两种应用平面杆件结构的虚功方程为虚位移原理虚力原理151.位移计算的一般公式

设平面杆系结构由于荷载、温度变化及支座移动等因素引起位移如图。P2P1KkkK′△Kj利用虚功原理c1c2c3kkPK=1实际状态－位移状态ds虚拟状态－力状态dsK外力虚功T==内力虚功W=可得

求任一指定截面K沿任一指定方向k—k上的位移△Kj

。t1t2(3－3)

这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结果为正，所求位移△Kj与假设的PK=1同向，反之反向。这种方法又称为单位荷载法。§6—3计算结构位移的虚力原理16§6—3计算结构位移的虚力原理适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：各种广义荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。2.位移计算公式的普遍性表现4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。

满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。PPBA计算位移的有关假定3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。第6章183.虚拟状态的设置

在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。例如:A求△AH实际状态虚拟状态A1A求A1虚拟状态AA虚拟状态虚拟状态B求△AB11B求AB11广义力与广义位移§6—3计算结构位移的虚力原理

求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。第6章(g)求φAB1/lB1/lABACP=1（a）求ΔBHACP=1B（b）求ΔCVBACM=1（c）求φCAP=1B（d）求ΔABP=1AP=1B（e）求ΔABP=1(f)求φCM=1C施加单位荷载，求角位移、相对角位移第6章求φB求φC求φC求φAB-AC求φAB

求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。214、静定结构在荷载作用下的位移计算

当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP，此时没有支座位移，故式（3—3）为式中：

为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、dvP为实际状态中微段上的变形。由材料力学知

（a）dP=duP=dvP

=将以上诸式代入式（a）得（3—4）这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。§6—3计算结构位移的虚力原理22§6—3计算结构位移的虚力原理平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式注：（1）符号说明（2）正负号k--为截面形状系数1.2（3—4）23讨论1.梁和刚架2.桁架3.组合结构△KP=在实际计算时，根据结构的具体情况,式（3—4）可以简化：§6—3计算结构位移的虚力原理4.拱结构△KP=24例6-1

求图示刚架A点的竖向位移△Ay。EA、E

I为常数。ABCqLLA`实际状态虚拟状态ABC1解：1.选择虚拟状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：BC段：2.实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx3.代入公式（3—4）得△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx§6—3计算结构位移的虚力原理25§6—3计算结构位移的虚力原理例3—

求图示桁架C点的竖向位移△CP。图中杆旁数值为杆件的截面积，并设各杆E=2.1×104kN/cm2。10kN5kN10kN2m1m2m1m8cm28cm28cm28cm24cm24cm24cm2ACBDEPk=1ACBDE杆件l(cm)A(cm2)Nk(kN)NP(kN)NkNPl(kN.cm)NkNPl/A(kN.cm-1)CDCEADBEABDEAE2002242002242001002248888444-2.002.24-2.002.24-1.000.000.00-30.0022.36-30.0027.95-12.500.00-5.591200011219120001402425000.000.0015001402150017356250.000.00

例题3试求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移BV。梁的抗弯刚度EI为常数。第6章解：

（1）在B点加一单位力（右图），写出单位力作用下的弯矩表达式（2）写出单位力作用下的弯矩表达式（左图）（3）将MK、MP代入求位移公式第6章

练习题：试求图示连续梁C点的竖向位移CV和A截面的转角θA,截面抗弯模量为EI。PCBAl/2l/2答案：CBAl/2l/2M答案：(1)(2)第6章29§6—4图乘法当结构符合下述条件时：（1）杆轴为直线；（2）EI=常数；（3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形。

上述积分可以得到简化。MP图xy面积设两个弯矩图中，图为一段直线，MP图为任意形状：ABOABMPdxd=MPdxx⌒1.图乘公式:

计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算积分形心CxCyCyC=xCtg如果结构上各杆段均可图乘，则：30图乘法的注意事项

（1）必须符合上述三个前提条件；（2）竖标yC只能取自直线图形；（3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。2.简单图形的面积公式和形心位置Lh2L/3L/3Lhab（L+a)/3(L+b)/3形心形心§6—4图乘法31Lh二次抛物线顶点L/2二次抛物线Lh3L/4L/43L/85L/8121=2/3(hL)2=1/3(hL)顶点§6—4图乘法三、使用乘法时应注意的问题

1、yo必须取自直线图形MK图MP图ωPyo第6章MK图MP图ω1y12、当MK为折线图形时，必须分段计算；ω2y2第6章MK图MP图ω1y13、当杆件为变截面时亦应分段计算；ω2y2第6章4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧时，取负号。MK图MP图ωPyoωPyo第6章MK图MP图ω1y1ω2y25、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；第6章MK图MP图6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。y1y2ω1y3y4ω2abcdl第6章MK图MP图6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。acdlal第6章393.把复杂图形化为简单图形

当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。例如：MP图abcdLya=2/3×c+1/3×dyb=1/3×c+2/3×dMP图abcdyayb此时ya=2/3×c－1/3×dyb=2/3×d－1/3×cybya§6—4图乘法ab40③

当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。123y1y2y3123y1y2y3△=(1y1+2y2+3y3)EI1EI2EI3△=§6—4图乘法41

例6—2

求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。ABCDLhq解：1.作实际状态的MP图。MP图2.设置虚拟状态并作。11hhyC=h3.图乘计算（→←）∆CD=∑EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2形心§6—4图乘法42

例6—3

求图示刚架A点的竖向位移△Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP图、PPLMP图1L；2.图乘计算。△Ay=（↓）∑EIyC=EI1(2L‧L2PL(L‧4=16EIPL3)-2EI123L)PL§6—4图乘法43

例6—4

求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。

EI=常数。qABCL图11y2y3解：1.作MP图2.作图3.图乘计算y1=y2=y3=△Cy=y1MP图23§6—4图乘法解1（1）绘出荷载作用下的弯矩图（Mp图）（2）为求C点的竖向位移，在C处加一单位力，绘出（Mk1图）（Mp图）（Mk1图）

例题试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。各杆材料相同，截面抗弯模量为:第6章解2：

（1）绘出荷载作用下的弯矩图（Mp图）（2）为求C点的转角，在C处加一单位力偶，绘出（Mk2图）（Mp图）（Mk2图）

例题

试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。各杆材料相同，截面抗弯模量为:第6章46ABCDMP（kN.m）§6—4图乘法例3—

求图示刚架C截面的角位移c

；点B的水平线位移△BH;点D的竖向线位移△DV

。ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI305560解：1、作MP图2、求c

;ABCM1=11（）47§6—4图乘法ABCDMP（kN.m）3055603、求△BH;ABCP2=133（）ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI48§6—4图乘法ABCDMP（kN.m）3055604、求△DV;ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EIABCP2=11（）49§6—5静定结构温度变化时的位移计算1、静定结构发生温度变化时的反应特点静定结构没有多余约束，在温度变化时不产生反力和内力；由于材料热胀冷缩，结构将产生变形和位移。2、温度变化作用下静定结构位移计算公式

设图示结构外侧温度升高

t1，内侧温度升高t2,求K点的竖向位移△Kt

。t1t2KK`△KtKPK=1实虚（1）温度变化规律的假定沿截面高度线性变化；

材料的线胀系数为—单位长度在温度改变1℃时伸长（或缩短）值。50dxt1t2t2dxt1dxdtt1t2KK`△KtKPK=1实虚（2）微段的变形dxdx

温度改变只引起材料纤维的伸长或者缩短，因此：微段杆轴线处的伸长，杆件截面无剪应变,微段两端截面的相对角位移，hh1h2dx§6—5静定结构温度变化时的位移计算t051△Kt此时由式（3—3）可得：t1t2KK`△Ktdsdxht1t2t2dxt1dxdtKdsPK=1dx实虚△Kt§6—5静定结构温度变化时的位移计算（3）位移计算公式(3－3)

当t0、△t和截面高度h沿杆长方向为常量：52§6—5静定结构温度变化时的位移计算△Kt正负号确定：当温度改变状态的变形与虚力状态的变形方向一致 时取正号，相反时取负号。计算温度改变引起的结构位移时，不能忽略轴向变形对结构位移的影响！桁架在温度变化时的位移计算公式为△Kt=桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似式中△l为制造误差。△Ke=（3—12）53

例：3—5

图示刚架施工时温度为20℃，求冬季外侧温度为－10℃，内侧温度为0℃时A点的竖向位移△Ay。已知L=4m，=10－5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。LLt1t2实解：

外侧温度变化绘图，AA1虚1代入式（3—12），并注意正负号(判断)，L△Ay可得

t1=

－10℃－20℃=－30℃,

内侧温度变化

t2=0℃－20℃=－20℃。

t0=(t1+t2)/2=－25℃,△t=t2－t1=10℃§6—5静定结构温度变化时的位移计算54§6—6静定结构支座移动时的位移计算

对于静定结构，支座移动并不引起内力，结构材料也不产生应变。此时，静定结构支座移动时的位移是刚体位移。计算公式化简为△Kc=

例：图示三铰刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m↓水平位移△Bx=0.04m→,已知L=12m，h=8m。求A

。hL/2L/2△Bx△By实ABC解：虚拟状态如图。ABC1

由式得A=0.0075rad虚例题1

图示简支刚架内侧温度升高25ºC，外侧温度升高5ºC，各截面为矩形，h=0.5m,线膨胀系数=1.010-5,试求梁中点的竖向位移DV。+25ºC+5ºC解：作出MK、NK图后，依求位移公式计算位移：第6章MK图3/2NK图1/2例题2

三铰刚架，支座B发生如图所示的位移：a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。解：在要求位移方向上加单位力（图2），求出支座反力后依求位移公式计算位移：（图1）（图2）第6章57§6—7线弹性结构的互等定理（1）功的互等定理

第一状态N1、Q1、M1、P1、△2112P1△2112P2△12

第二状态N2、Q2、M2、P2、△12据虚功原理有

T21=W21:或T12=T21故（3—15）

第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。T12=W12:证明如下：58（2）位移互等定理12P1=12112P2=112据功的互等定理P1·12=P2·21（－影响系数）即12=21（3—16）P1=1AABBCCAM=1fCA=fc又如：

第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。⌒有§6—7线弹性结构的互等定理59（3）反力互等定理△1=1△2=1据功的互等定理r12·△1=r21·△2即r12=r21（4）反力位移互等定理