三角函数的图象与性质（习题）教案

《三角函数的图象与性质习题》教学设计教学目标1．通过习题训练，加深理解和掌握三角函数的图象与性质．2．通过对三角函数的图象与性质的应用，不断地提高学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．教学重难点教学重点：三角函数的图象与性质的应用．教学难点：三角函数的图象与性质的应用．课前准备PPT课件．教学过程（一）新知探究引导语：前面我们研究了三角函数的图象与性质，接下来我们研究三角函数的综合应用．例1定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx，求f(eq\f(5π,3))的值．预设的师生活动：学生独立思考，并叫个别学生回答下列的问题．追问：如何利用已知条件来求函数值？预设答案：利用周期性与奇偶性将eq\f(5π,3)化到[0，eq\f(π,2)]内再求值．解：∵f(x)的最小正周期为π，∴f(eq\f(5π,3))＝f(eq\f(2π,3)＋π)＝f(eq\f(2π,3))＝f(π－eq\f(π,3))＝f(－eq\f(π,3))．又f(x)是偶函数．∴f(－eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)．设计意图：通过此题，应让学生掌握以下两点：第一，解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可；第二，如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其它义域内的有关性质．例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx．（1）求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；（3）求当f(x)≥eq\f(1,2)时x的取值范围．预设的师生活动：学生独立思考，并叫个别学生回答下列的问题．解：（1）∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∵当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx，∴当x∈[－eq\f(π,2)，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx．又∵当x∈[－π，－eq\f(π,2)]时，x＋π∈[0，eq\f(π,2)]，f(x)的周期为π，∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx．∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx．（2）如右图．（3）∵在[0，π]内，当f(x)＝eq\f(1,2)时，x＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，∴在[0，π]内，f(x)≥eq\f(1,2)时，x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]．又∵f(x)的周期为π，∴当f(x)≥eq\f(1,2)时，x∈[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(5π,6)]，k∈Z．设计意图：此题是一道涉及性质、图象以及利用图象解三角不等式等综合性的问题，通过此题，学会合理地利用三角函数的性质求解析式，并准确地画出函数图象，能依据图象写出不等式的解集，在此过程中，熟悉三角函数的图象与性质，逐步积累解题经验，提升学习数学的能力．例3求下列函数的值域：（1）y＝3－2cos2x，x∈R；（2）y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R．预设的师生活动：学生思考后，小组讨论并给出解题思路，若需要，教师可以进行诱导启发，然后学生回答．追问1：对于第一小题，如何借助于余弦函数的值域来求？预设答案：将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得．追问2：对于第二小题，能不能通过恒等变换将函数表达式转化为正弦型（或余弦型）函数？预设答案：不能．追问3：如何求该函数的值域？预设答案：把sinx看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．解：（1）∵－1≤cos2x≤1，∴－2≤－2cos2x≤2．∴1≤3－2cos2x≤5，即1≤y≤5．∴函数y＝3－2cos2x，x∈R的值域为[1，5]．（2）y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2．∵－1≤sinx≤1，∴函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4，0]．设计意图：通过此题，让学生对两种常见三角函数值域的求解过程进行归纳总结，其中一种是正弦型（或余弦型）函数，另一种是三角函数与二次函数的复合函数．注意第（2）小题需要结合二次函数求值域（或最值）的方法进行解决．例4设函数f(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))，则下列结论错误的是（）A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(8π,3)对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝eq\f(π,6)D．f(x)在(eq\f(π,2)，π)单调递减预设的师生活动：学生独立思考并回答问题．预设答案：对于A项，因为f(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A正确．对于B项，因为f(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))图象的对称轴为直线x＝kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(8π,3)对称，B项正确．对于C项，f(x＋π)＝cos(x＋eq\f(4π,3))．令x＋eq\f(4π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝kπ－eq\f(5,6)π，当k＝1时，x＝eq\f(π,6)，所以f(x＋π)的一个零点为x＝eq\f(π,6)，C项正确．对于D项，因为f(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))的递减区间为[2kπ－eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)，递增区间为[2kπ＋eq\f(2π,3)，2kπ＋eq\f(5π,3)](k∈Z)，所以(eq\f(π,2)，eq\f(2π,3))是减区间，[eq\f(2π,3)，π)是增区间，D项错误．设计意图：本题涉及到三角函数的几个重要性质，其中包括周期性、单调性、对称性、零点等，具体要会根据所给解析式求出这些基本的性质，并且还要知道每一种解法的依据是什么，以此加深理解三角函数的性质．（二）归纳小结问题：通过本节的习题课，你觉得在应用三角函数的图象和性质时需要注意哪些问题？还有哪些收获？预设的师生活动：小组先讨论、交流，然后选代表分享交流结果．预设答案：（1）解决这类问题时，要以三角函数图象与性质为基础，因此首先一定要熟悉并理解三角函数的图象与性质；（2）要合理地运用三角函数的图象与性质；（3）在解决问题时，要重视数形结合、转化与化归等数学思想方法的应用．设计意图：通过梳理小结，一方面使学生清楚解决问题的基础知识是三角函数的图象与性质；另一方面，在解决问题的过程中要综合应用思想方法，从而不断地提高学生分析问题、解决问题的能力．（三）布置作业1．若f(x)是以eq\f(π,2)为周期的奇函数，且f(eq\f(π,3))＝1，求f(－eq\f(5π,6))的值．2．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[eq\f(5,2)π，3π]时f(x)的解析式．3．已知函数y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|．（1）画出函数的简图；（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．4．求下列函数的值域．（1）y＝3－2sin2x；（2）y＝|sinx|＋sinx．预设答案：1．∵f(x)为以eq\f(π,2)为周期的奇函数，∴f(－eq\f(5,6)π)＝－f(eq\f(5,6)π)＝－f(eq\f(π,2)＋eq\f(π,3))＝－f(eq\f(π,3))＝－1．2．x∈[eq\f(5,2)π，3π]时，3π－x∈[0，eq\f(π,2)]，因为x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx．又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝1－sinx，x∈[eq\f(5,2)π，3π]．3．（1）y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]k∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπk∈Z．))函数图象如图所示．（2）由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．4．（1）∵－1≤sin2x≤1，∴1≤y≤5．∴y∈[1，5]．（2）当sinx≥0时，y＝2sinx≤2，这时0≤y≤2；当sinx＜0时，y＝0．∴函数的值域为y∈[0，2]．（四）单元检测设计1．设f(x)是以1为一个周期的奇函数，且当x∈(－eq\f(1,2)，0)时，f(x)＝4x－1，求f(－eq\f(31,8))的值．2．函数y＝eq\r(1－2cosx)的减区间为____________________．预设答案：∵f(x)的周期为1，f(－eq\f(31,8))＝f(－4＋eq\f(1,8))＝f(eq\f(1,8))．又当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，∴f(－eq\f(1,8))＝4×(－eq\f(1,8))－1＝－eq\f(3,2)，又∵f(x)是奇函数，∴f(－eq\f(1,8))＝－f(eq\