自动控制理论-chapt

第四章

根轨迹分析法

本科生专业课程主讲：张英杰

授课内容第一节根轨迹的基本概念第二节绘制根轨迹的基本方法第三节广义根轨迹第四节系统性能的根轨迹法分析第四章根轨迹分析法第一节根轨迹的基本概念一、根轨迹二、根轨迹方程第四章根轨迹分析法

当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究S平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。第一节根轨迹的基本概念一、根轨迹设系统的结构如图-KrS(S+2)R(s)C(s)系统的闭环传递函数闭环特征方程式特征方程的根

改变Kr值，求得相应的闭环特征根值:S2+2S+Kr

C(s)R(s)=Kr

S2+2S+Kr=0S1.2=-1±

1-Kr

Kr

0-12

∞

S1

S20-2

1-1-1+j-1-j-1+j∞

-1-j∞

Kr变化时,闭环特征根在S平面上的轨迹:-1

S2σjω0-1-21

S1

Kr

∞↑

Kr

∞↑从根轨迹可知:（1）位于左半平面上的特征根为稳定极点；位于虚轴上的根为临界极点。

位于右半平面上的根为不稳定极点；（2）0<Kr<1时，系统有两个不相等的实数根，呈过阻尼状态。（3）当Kr=1时，系统有个相等的实数根，呈临界阻尼状态。（4）1<Kr<∞时，特征根为两个复数根，系统呈欠阻尼状态。1、稳定性当K从0→∞时，根轨迹在s平面左半平面，故系统稳定。3、稳态性能系统为I型系统K为静态速度误差系数（若给定系统的稳态误差要求，可以确定闭环极点位置的容许范围）2、动态性能1）0<K<1两个不同的实极点，过阻尼系统。2）K=1两个相同的实极点，临界阻尼系统。3）K>1一对共轭复根，欠阻尼系统。j0-2-1K=0K=0K=K=K=1根轨迹与系统性能第一节根轨迹的基本概念

闭环特征方程的根的位置与系统的性能是密切相关的，当系统的某个参数发生变化时，特征方程的根在平面上的位置以及系统的性能将随之而变.*根轨迹法的基本思路:*根轨迹的定义:第一节根轨迹的基本概念

系统的一个或多个参数由零变到无穷大时，闭环特征方程的根在S平面上移动的轨迹。*根轨迹法的分析手段:

利用根轨迹法来分析和设计系统，首先必须绘制出系统的根轨迹图，而采用求解方程根的方法来绘制高阶系统的根轨迹图显然是难以实现的，必须找到一种方便、有效的作图方法。作图方法的依据就是根轨迹方程。第一节根轨迹的基本概念二、根轨迹方程设系统的结构如图系统的闭环传递函数为开环传递函数的一般表达式为H(s)-C(s)R(s)G(s)C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)Krj=1n(s-zi)(s-pj)G(s)H(s)=i=1m根轨迹增益开环传递函数零点开环传递函数极点系统的闭环特征方程式为即1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1根轨迹方程为Krj=1n(s-zi)(s-pj)=-1i=1m

可见，满足开环传递函数等于-1的S即为闭环特征方程式的根。

根轨迹方程又可分解为下述幅值方程和相角方程，即幅值方程Krj=1n(s-zi)(s-pj)=1i=1m或Kr1j=1n(s-zi)(s-pj)=i=1m相角方程K=(0,1,2…)m∑nj=1(s-zi)∑i=1(s-pi)=±(2k+1)π

根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较方便地近似绘制出根轨迹曲线。三、闭环零极点与开环零极点的关系G(s)H(s)R(s)C(s)_闭环传递函数：前向通路根轨迹增益反馈通路根轨迹增益第一节根轨迹的基本概念由此