工程图学基础 第3章 立体的投影

第3章立体的投影第一节平面立体

表面由平面围成的立体称为平面立体，常见的主要有棱柱和棱锥。

绘制平面立体的投影，可归纳为绘制其所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。

作图时可见的棱线投影画成粗实线，不可见的棱线投影画成虚线。

一、棱柱

1.棱柱的投影

棱柱由若干个侧棱面和两个互相平行的多边形底面围成。作棱柱投影图时，一般先画出反映棱柱顶面和底面实形的多边形，再根据投影规律作出其余两面投影。如图为正五棱柱及其的投影图。32.棱柱表面上取点

在棱柱表面取点，就是已知棱柱表面上点的某一个投影，求其余两面投影。其与平面上取点作图方法相同，但要判别该点投影的可见性。【例1】如图所示，已知五棱柱表面上M点和N点的正面投影，求作它们的水平和侧面投影。分析：由M和N点正面投影m′和n′的位置及可见性，可判断M点在棱面AA0BB0上，N点在棱面DD0EE0上。4作图：作图过程如图所示。1）由m′和n′位于的这两个棱面的水平投影有积聚性，按照投影规律直接作出m和n。2）由n′在棱面DD0E0E的侧面投影有积聚性，按照投影规律直接作出n″。3）由m′、m作出m″。

注意：在棱柱表面取点，利用棱柱投影积聚性和投影规律作图。

二、棱锥1.棱锥的投影作投影图时，先画底面的投影，再画锥顶的投影，最后将锥顶同底面各点的同面投影连接即可。2.棱锥表面上的点棱锥表面取点，原理和方法与平面上取点相同。即在棱锥表面取点，先要过该点在棱锥表面取一条直线，先做直线的投影，然后求点的投影。【例2】如图所示，已知三棱锥表面上K点的正面投影，求K点的水平和侧面投影。

分析：由于K的正面投影可见，可判断K点位于SAB棱面上；因为SAB为一般位置平面，则利用在点所在的平面内作辅助线的方法，作出它的其余两投影。即在SAB棱面上过K点取一条直线。作图：1）在△SAB内，过k′点作辅助线SⅠ的正面投影s′1′。2）Ⅰ在底线AB上，作直线SⅠ的水平投影s1，由k′作投影连线，在s1上交k点。3）作出SⅠ的侧面投影s″1"，由k作投影连线，在s″1″上交k″点。如果过k′在SAB面上作a′b′的平行线2′4′，求k和k″点，则作图更简便。第二节曲面立体

表面全由曲面围成，或由平面与曲面围成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体主要是回转体，包括圆柱、圆锥、圆球和圆环等。在画曲面立体曲面部分的投影时，应画出其在投影方向上的最大轮廓线（也称为转向轮廓线）的投影。此外，对于回转体，还必须用细点画线画出回转轴的投影和圆的中心线。圆柱圆锥圆球圆环一、圆柱圆柱体是由圆柱面和两个端面（圆平面）所围成的。圆柱面可以看成由直线AA0绕与它平行的轴线OO0旋转而成。直线AA0称为母线，圆柱面上任意一条平行于轴线OO0的直线，称为圆柱面的素线。1.圆柱的投影如图，当圆柱的轴线为铅垂线时，其水平投影为圆，正面投影和侧面投影均为矩形。圆柱面的水平投影积聚成一个圆；圆柱的上底面和下底面是水平面，它们的水平投影重合，反映实形圆，上底面的水平投影可见，下底面的水平投影不可见。正面投影矩形上下两条边分别是圆柱上、下圆平面在正面投影上积聚的两条直线；左右两条边分别是圆柱面正面投影的转向轮廓线AA0和CC0的正面投影，也是圆柱表面最左、最右素线。同理，圆柱侧面投影矩形的上下两条边分别是圆柱上、下圆平面在侧面投影上积聚的两条直线；

前后两条边分别是圆柱面侧面投影的转向轮廓线BB0和DD0的侧面投影，也是圆柱表面最前、最后素线。2.圆柱面上取点轴线垂直于投影面的圆柱，圆柱面的投影具有积聚性，因此，在圆柱表面取点，可利用积聚性直接求解。

【例3】求圆柱面上点的水平和侧面投影。分析：由M和N点的正面投影m′和n′的位置及可见性可知，M点位于前半柱面上，N点位于正面投影转向轮廓上。作图：1）由m′和n′作水平投影连线，求出m和n。2）由m′和n′作侧面的投影连线，由m、n按宽相等和前后对应，作出m″、n″。由于M点在左半圆柱面上，N点在右半圆柱面上，则m″可见，n″不可见。二、圆锥圆锥体是由圆锥面和底圆平面所围成的立体。圆锥面可看成由直母线绕与它相交的轴线旋转而成。因此，圆锥面上的素线是通过锥顶的直线，母线上任意一点的运动轨迹是一个与轴线垂直的纬圆。（1）圆锥的投影当圆锥的轴线为铅垂线时，其水平投影为圆，正面投影和侧面投影均为等腰三角形。由于圆锥面上所有素线都倾斜于水平面，因此，其水平投影圆没有积聚性。圆锥面的水平投影是该圆内区域。圆锥的底面是水平面，它的水平投影反映为实形圆，圆锥面的水平投影可见，底面的水平投影不可见。正面投影等腰三角形的底边是圆锥底面在正面投影上积聚性直线；左右两条边是圆锥面正面投影的转向轮廓线SA和SB的正面投影，SA和SB也是圆锥面最左、最右素线，它们的其余两投影与轴线或中心重合。同理，圆锥侧面投影等腰三角形的边是圆锥底面在侧面投影上积聚性直线；前后两条边是圆锥面侧面投影的转向轮廓线SC和SD的侧面投影，SC和SD也是圆锥面最前、最后素线，它们的其余两投影与轴线或中心重合。在水平投影中，圆的两条中心线交点即为轴线的水平投影，也是顶点S的水平投影。显然，圆锥面的三面投影都没有积聚性。2.圆锥面上取点在圆锥面上取点时，要借助辅助线作图。通常是取过锥顶的素线或作垂直于轴线的纬圆，即素线法和纬圆法。【例4】已知圆锥的三面投影以及圆锥面上A点的正面投影，求作它的水平投影和侧面投影。方法1：素线法1）连s′和a′，延长s′a′，交底圆正面投影b′，由b′引铅垂投影连线，在前半底圆的水平投影上交b点。2）作侧面投影b″，连s和b、s″和b″，即得素线SB的三面投影s′b′、sb和s″b″。

3）由a′分别引竖直和水平的投影连线，在sb上作出a，在s″b″上作出a″。4）由于圆锥面水平投影可见，a可见，而A点在左半圆锥面上，a″可见。方法2：纬圆法1）过

a′作直线1′2′平行于底圆的投影，即为纬圆的正面投影。2）在水平投影上作直径为12，并与底圆同心的圆，得纬圆的水平投影。3）由a′点作竖直线，在此圆周求出a。4）利用投影规律作出a″。并判断可见性。

三、圆球

圆球的表面是球面。球面可看作是圆绕其任意直径回转而形成，1.圆球的投影

圆球的三面投影均为圆，其直径与圆球的球面直径相等，但这三个圆分别是圆球面上三个方向最大轮廓圆的投影。

最大正平圆A

最大水平圆B

最大侧平圆C2.圆球面上取点

圆球的三面投影均无积聚性.

在圆球表面取点要利用球面上的辅助纬圆。在圆球表面过一点可作正平圆、水平圆和侧平圆三种纬圆，【例5】如图4-10（a）所示，已知球面上M点的正面投影，求作其水平投影和侧面投影。分析：由M点的正面投影m′的位置及可见性可知，M点位于右、前、上圆球表面上，在圆球表面过M点可作正平圆、水平圆和侧平圆三种纬圆。在作出纬圆三面投影基础上，便可求出M点的其余两面投影。作图：本题以正平纬圆为例。1）过m′作球面上的辅助正平圆的正面投影，根据正面投影上所反映的圆的直径，作出该圆的水平投影。2）由m′引铅垂投影连线，交辅助圆的水平投影于m，因M点在上半圆球上，所以m可见。3）按点的投影规律求出侧面投影m″。因M点在球面的右半部分，则其侧面投影不可见。过M在圆球表面上还可作辅助水平纬圆和侧平纬圆。第三节平面与立体相交平面与立体表面的交线，称为截交线，该平面称为截平面。当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形，称为截断面.分析：由图知，截平面与五棱柱四个棱面和上底面相交，截交线为五边形。五边形的顶点分别是两条底线、四条棱线与截平面的交点。由于截平面是正垂面，故截交线的正面投影积聚为直线段。根据A、B、C、D、E属于五棱柱的底线和棱线，可求出其侧面投影和水平投影。最后顺次连接各点，即可求得截交线。一、平面与平面立体相交

平面与平面立体相交所得的截交线是由直线段组成的封闭多边形，多边形的顶点是截平面与立体棱线（或底线）的交点，多边形的各边是截平面与立体棱面或底面的交线。【例6】求作五棱柱被平面P切割后的截交线及五棱柱被切割后的三面投影。作图：1）直接标出截平面与五棱柱棱线和上底面底线上各交点的正面投影a′、b′、c′、d′、e′和水平投影a、b、c、d、e。2）根据直线上点的投影规律，求出各点的侧面投影a″、b″、c″、d″、e″。3）依次连接五个交点的同面投影，并判断可见性，既得截交线的各投影。4）整理棱线，完成作图，如图所示。【例7】如图，求四棱锥被平面P和Q截切后的投影。分析：正垂面与4个侧面分别相交于直线段III、IIII、IIIV和IIIV。水平面与侧面分别相交于直线段VIVIII、IIIVIIV、VIIV和VVII，它们分别与四棱锥的底边平行，只要求出VI、VII、VIII点的投影，就可以求出IV、V点的投影，两截平面相交于直线段IVV。I、VIIII点位于棱线SA上，其正面投影1′和8′已知，可根据直线上点的投影特性求出其水平投影1、8和侧面投影1″、8″。同理，可求出II、

IV、III、VII点的三面投影。作图：1）直接标出两平面与四棱锥棱线的交点的正面投影1′、2′、3′、6′、7′、8′及4′、5′。2）根据直线上点的投影规律，分别求出各点的侧面投影1″、2″、3″、6″、7″、8″、4″、5″，水平投影1、2、3、6、7、8、4、5。3）顺次连接各点的同面投影，判断可见性，即得截交线的投影。4）整理棱线，完成作图，如图所示。

二、平面与回转体相交

平面与回转体表面相交，其截交线是由曲线，或曲线与直线段，或全为直线段所组成的封闭平面图形。求作平面与回转体的截交线的基本方法是求出截平面与回转体表面上若干个共有点，如确定截交线形状和范围的特殊点（最大范围点、可见与不可见的分界点等），以及间距较大特殊点的中间点，然后依次连接各点，并判断可见性，最后整理轮廓线。1.平面与圆柱相交

当截平面与圆柱面的轴线平行、垂直、倾斜时，其截交线分别是两条平行直线、圆、椭圆。[例8]如图所示，已知圆柱被正垂面斜切，求作侧面投影。分析：截平面倾斜于圆柱的轴线，截交线为椭圆。由于截平面P为正垂面，圆柱的轴线为铅垂线，因此，截交线的正面投影与截平面的正面积聚性投影重影。

水平投影与圆柱面积聚性水平投影重影。

侧面投影为椭圆。作图：

1）作特殊点。由图知，最低点A、最高点C是椭圆长轴的两端点，也是圆柱面最左、最右素线上的点。最前点B、最后点D是椭圆短轴两端点，也是圆柱面最前、最后素线上的点。它们的正面投影a′、b′、c′、d′和水平投影a、b、c、d可直接作出，然后根据投影规律作出其侧面投影a″、b″、c″、d″。2）作中间点。为准确作图，还须在特殊点之间作出适当数量的中间点。3）连线并判断可见性。依次连接各点侧面投影，并判断可见性,整理轮廓线.【例9】求作图4-17（a）所示带切口圆柱的侧面投影。

分析：切口体的上是由2个侧平面和1个水平面截切圆柱体左、右两侧而成。侧平面截切得两条平行直线段，其正面和侧面投影均为直线段，水平投影为点；

水平面截切截交线为圆弧，正面投影为直段，水平投影为圆弧。

切口体下部由两个侧平面和一个水平面截切圆柱体中间部分而成。

两侧平面截圆柱面得截交线正面和侧面投影为直线段，水平投影为点；水平面截交线正面投影为直线，水平投影为圆弧。作图：1）作圆柱上部切口的投影。由a′b′c′d′和abcd求得a″b″c″d″。水平面截切圆柱体的两个圆弧截交线平行于水平投影面，侧面投影重合为一直线c″d″，2）作圆柱体下部切槽的投影。由e′f′g′h′和efgh求得e″f″g″h″。水平截交线的侧面投影仍为一直线，侧面投影在e″h″、f″g″之间为虚线，在其两侧应为一小段实线，3）整理轮廓线。2.平面与圆锥相交

截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线的形状分别为圆、椭圆、抛物线、双曲线、三角形。【例10】如图4-18（a）所示，求圆锥被正垂面截切后的投影。分析：由图可知，截平面与圆锥轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的倾角，所以截交线为椭圆。因截平面是正垂面，其正面投影为直线，水平和侧面投影是截交线上点的投影连线。截交线上点的投影，除一部分特殊点可根据点、线的从属关系直接求出外，其余各点可用辅助圆法求出。

作图：1）求特殊点。求椭圆长轴端点A、B（截交线上的最低、最高点）和短轴端点C、D（截交线上的最前、最后点）的水平和侧面投影。2）求中间点G、H的水平和侧面投影。3）依次连接各点的同面投影，并判断可见性。4）整理轮廓线，完成作图。【例11】求作圆锥面被正平面截切后的投影。

分析：截平面与圆锥面的轴线平行，截交线是双曲线，其水平投影与截平面的水平积聚性投重影，正面投影反映实形。作图：1）作特殊点。2）作中间点。3）依次连接各点的正面投影，判断可见性，完成作图。3.平面与圆球相交平面与圆球相交，其截交线总是圆。当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影反映实形；当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚为直线，直线的长度等于截交线圆的直径；当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影为椭圆。【例12】如图，求作圆球被正垂面截切后的投影。分析：圆球被正垂面截去左上角，截交线是一个正垂圆，其正面投影积聚为直线段，水平投影为椭圆。作图：1）作特殊点A、B和C、D的水平和侧面投影。2）作中间点I、II、III、IV的水平和侧面投影。3）依次连接各点的水平投影和侧面投影，并判断可见性、整理轮廓线，完成作图。【例13】求半球被截切后的投影。

分析：该立体是在半球的上部用P和Q平面截切后形成的。截平面P为正平面，截切半球截交线为一正平圆弧。其正面投影反映圆弧，水平投影和侧面投影均积聚为直线；截平面Q为水平面，截切半球后的截交线为一水平圆弧，其水平投影反映圆弧，正面投影和侧面投影均积聚为直线。作图：1）完成正平面P的投影。2）完成水平面Q的投影。3）判断可见性、并整理轮廓线，完成作图。第四节两回转体表面相交求作两曲面立体的相贯线，可归结为求两回转体表面共有线和共有点。求相惯线上的点，先作出相贯线上的一些特殊点，然后按需要再求相贯线上的一些一般点，并判断可见性。投影有积聚性时，可利用积聚性在曲面立体表面上取点的方法作出两立体表面上的这些共有点。一般情况下，可用辅助面求这些共有点。一、表面取点法求该圆柱和另一回转体的相贯线的投影，可以看作是已知另一回转体表面上线的一个投影而求作其它投影的问题。在相贯线上取一些点，按已知曲面立体表面上点的一个投影求其它投影的方法，得到所取点的其它投影，并相连即得相贯线的投影，这种方法称为表面取点法。【例14】如图，已知两圆柱的三面投影，求作它们的相贯线。分析：两圆柱轴线垂直相交，相贯线是一条前后、左右对称的封闭空间曲线。小圆柱面水平投影积聚为圆，相贯线的水平投影重合在该圆上；大圆柱面侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影也重合在圆上，并且是在小圆柱穿进处的一段圆弧上，且左半和右半相贯线的侧面投影互相重合。于是问题就可归结为已知相贯线的水平投影和侧面投影，求作它的正面投影。作图：１）求特殊点最