《单调性与最大（小）值》例题解析3

《单调性与最大(小)值》例题解析研习点1.增函数与减函数1.增函数与减函数的概念（重点）一般地,设函数的定义域为:增函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数(increasingfunction).如右图所示.减函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数(decreasingfunction).如右图所示.从增函数的定义可以看出,函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（如右图），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数.函数单调性的定义要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语.另外,在某个区间上的两个自变量与其对应的函数值对增函数而言是“荣辱与共”的，而对于减函数而言,“此消彼长”的.单调性的定义的等价形式：设，那么（1）在是增函数；在是减函数；（2）在是减函数.2．单调性与单调区间（难点）若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.在理解函数的单调性与单调区间时就注意以下几个方面:⑴函数的单调区间是其定义域的子集；增函数、减函数、单调函数是对整个定义域而言.有的函数不是单调函数，但在某个区间上可以有单调性.因此说函数的单调性是对某个区间而言的，是一个局部概念.⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如右图中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“<或>,”改为“或,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵:是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.思考：函数单调区间与函数的单调性是同一个概念吗?“某个函数在区间D上单调”与“区间D是函数的单调区间”这两句话,你认为一样吗?【辨析·比较】单调区间的书写要求由于函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点得的单调性是没有意义的,书写函数的单调区间时,区间的端点的开或闭是没有严格的规定的.事实上,若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为在区间上是增（减）函数.例如在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.事实上，若取，有，这是不符合减函数的定义的.典例1.给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.【研析】通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理,图（1）中f(x)的单调区间有,(－1,0),,.其中在和上是减函数,在

(－1,0)和上是增函数.图（2）中g(x)的单调区间有和,其中在和上都是减函数.以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？3．单调性的判断与证明（难点）用定义法判断或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的方法步骤：(1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；(2)作差f(x1)－f(x2)；(3)变形（通常是因式分解和配方）；(4)定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；(5)下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.【梳理·总结】判断函数的单调性常用的结论（1）函数与的单调性相反；（2）当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；（3）函数与函数（为常数）的单调性相同；（4）当（为常数）时，与的单调性相同；当（为常数）时，与的单调性相反；（5）函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；（6）若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；（7）设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数，而是减函数.典例2.讨论函数的单调性.【研析】定义域{x|1≤x≤1}在[1,1]上任取x1,x2且x1<x2则,从而==∵∴另外，恒有∴若1≤x1<x2≤0则x1+x2<0则<若x1<x2≤1则x1+x2>0则>∴在[1，0]上f(x)为增函数，在[0，1]上为减函数.4.复合函数的单调性①关于复合函数的单调性.如果函数在区间上定义,若为增函数,为增函数,则为增函数;若为增函数,为减函数,则为减函数;若为减函数,为减函数,则为增函数;若为减函数,为增函数,则为减函数.②关于分段函数的单调性.若函数,在区间上是增函数,在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件:【梳理·总结】从图象上看出函数的单调性利用图像判断函数的单调性时，如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是上升的，那么就说函数在这一区间上是增函数，这个区间就是它的单调递增区间.如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是下降的，那么就说函数在这一区间上是减函数，这个区间就是它的单调递减区间.典例3.已知若试确定的单调区间和单调性【研析】该题考察了复合函数的单调性.要记住“同向增、异向减”的规则.函数的定义域为R，分解基本函数为和.显然在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的.且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为.研习点2.函数的最大值与最小值最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.注意：eq\o\ac(○,1)函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；eq\o\ac(○,2)函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）.【探究·发现】判断函数的最大（小）值的方法eq\o\ac(○,1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；eq\o\ac(○,2)利用图象求函数的最大（小）值;eq\o\ac(○,3)利用函数单调性的判断函数的最大（小）值:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在