2020年全国高中数学联赛加试参考答案及评分标准(A卷)_第1页
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文档简介

222020年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）

参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次.一.（本题满分4U分）如图，在等腰屮，AB=BC,/为内心，M为8/的屮点，P为边ACk一点，满足AP=3PC,/V延长线上一点〃满足M〃丄PH,0为△昇的外接圆上劣弧/IB的中点.证明：BHLQH.证明：取MC的屮点N.由AP=3PC，可知P为NC的中点.易知共线，^INC=90°.rh/为MBC的内心，可知C7经过点Q,且ZQ!B=4BC+OCB=AABl+AACQ=ZABl+ZABQ=乙QBI,又M为的中点，所以QM丄进而QM\\CN.10分考虑△//M0与'HIB.由于M/7丄/W,故Z.HMQ=90°-AHMI=AHIB.HMNP又乙IHM=ZZVP=90。，故^=——,于是HIN1HMNP\NC\MQMQ所以s△〃/〃,得ZHQM=AHB1•30分从而HMB.Q四点共圆.于是有ZBHQ=/BMQ=90°,即BH丄QH•40分二（本题满分40分）给定整数n>3.设^"，…，如咖妇…‘俎是4〃个非负实数，满足a{+勺HF=b{+6：HFb2„>0,且对任意i=l,2,・・・，2n，有叩心'®+b屮（这里$卄i=州，。2”十2=。2，$”十1=勺）•求坷+。2+…+“2"的最小值•解：记S=d]4-d24卜Q2n=by+b?4卜b2n•v不失一般性，设T=ax+a3da2n_!<—.当巾=3时，因为尸一3•刀畋-1=亍（坷一©）2+（码一他）2+4—4]）2>0,故结合条件可知TOC\o"1-5"\h\zc-233冷之尸23•刀也叽》•工（乩+俎）=3S・4k=\k=\又S>0,所以5>12.当=2（1</<6）时，S取到最小值12.10分当77>4时，一方面有y?6/2*-l6,2t4-l—刀（方21+妇）=s・k=\k=l另一方面，若〃为偶数，则n卩2工叫-#2"1S（q+他+••・+知-3）仗3+0+…+%-J5〒，其中第一个不等式是因为（⑷+鸟+…+吆丿仏+為+…+知-）展开后每一项均非负，且包含如Mz（lSkSn）这些项，第二个不等式利用了基本不等式.20分若幷为奇数，不妨设a,<a3,则”n—1^2如一1%十1S叶^a2n-\a3A=1*=1丿严S（e+他+…+42—）（偽+如“2”-3）5才从而总有S<^2a2ic_xa2k+l<—<—.又S>0，所以5>16.30分当al=a2=dy=a4=4.ai=0（5</<2n）9勺=0,為=1

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