高中数学异面直线夹角自编

浅谈异面直线所成的角

/

则∠DB

E

就是异面直线DB

与BC

则∠DB

E

就是异面直线DB

与BC

DE交AB于

，∠DBE=

∴∠DB

E=

式法。一、几何法：平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的常用的方法之一。

ABCD—AB

，AA=4

B与

BC所成角的大小。直接平移：常见的利用其中一个直线

a

和另一个直线

b

上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a

的平行线。解法一：如图④，过

B

点作

交

CB

的延长线于

E

点。

。∠C

B

E=135°，C

E=3

，∠C

BE=

，∴∠C

BE=∠C

B

E=135°，C

E=3

，∠C

BE=

，∴∠C

BE=

。

则∠C

BE

就是异面直线

DB

与

BC

所成的角，连结

Ceq

\o\ac(△,1)E，在 B

C

E

中，

/

课堂思考：

j

Cj

B

A

B

C B2.在长方体

AB

B

=45,=60,

.

中位线平移法角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图①连结

B

交

BC于

，过

点作

∥DB，则∠BOE

为所求的异面直线

DB与

BC

EB

B

，BC=5，

，∴∠BOE=

∴∠BOE=

解法二：如图②，连

DB、AC

交于

O

点，过

O

点作

OE∥DB

，过

E

点作

EF

/

∥C

B，则∠OEF

或其补角就是两异面直线所成的角，过

O

点作

OM∥DC，连结MF、OF。则

OF=

，∠OEF=

，∴异面直线

BD

与

BC

所成的角为

。或其补角就是异面直线 DB

与

BC

所成的角。在△

ADF

中

DF=

，

∠或其补角就是异面直线 DB

与

BC

所成的角。在△

ADF

中

DF=

，

∠

ABC

D

中过点

O

作

EF∥BC

交

C

于

DOF=

，∴∠DOF=

。 课堂练习1．在正四面体

BBC

所成的角，连BC

所成的角，连

C

D

，则△C

D

C

为

∠C

BD

，C补形法分析：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：

如图⑥，以四边形 ABCD

为上底补接一个高为 4

的长方体ABCD-A

B

C

D

，连结

D

B，则

DB

BD

或其补角就是异面直线DB

与

/

∴异面直线

DB与

BC所成的角是

。

之一。常有向量几何法和向量代数法两种。解法一：如图⑦，连结

DB、DC

，设异面直线

DB

与

BC

所成的角为

，

，而

=

(

)=

+

+=

〈

，

〉

C

〈

，

〉+ ∵ BB

∴

〈

∴

〈

，

〉=〈

，

〉=∠D

DB

∠DDB=

/

〈

，

〉=180°－∠DB

C 〈

，

〉=180°－∠DB

C

∵∠DBC=

∴〈

，

〉=－∠DBC

=7 ∴

=

，

解法二：如图⑧，建立如图所示的空间直角坐标系，则

设

和

的夹角为

， 则

=

∴异面直线

与

所成的角为

。 课堂练习：

C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），

/

•

•

•

•

•

/

PO、PB，垂足为

在直角△AOP

在直角△AOP

在直角△ABP

在直角△ABC

PB

C

CB

BA

A

C

CC

B

CC

, .

讲解习题：例1

1

1

1

1

1

1

1例2

BC=45°，∠B

1

1

1

1

1

1

1

1例3

的中点，N

1

1

1

/

3）（1992

例4

ABCD－A

=c，AB=a，AD=b，且

1

1

1

1

1

1作业：

的中心，E，F

1 1 1 1

的距离；（2）异面直线

1

1

ABCD－A

1 1 1 1 1 1 1 1度数；（2）A

所成的角的度数；（3）AB

1

11

1

1

1

1

EF

AB

EF

BC

/

BE.CF

EGBG

BEG

BE.

BEG

.:

==2=1

EF

E

GF

A

B

E

F

E

F

E

GF

eq

\o\ac(△,B)GF

GF

GF

F

(

(

(

•GF

•

•

FG

E

F

MN

DE

Eeq

\o\ac(△,∠)

DE

DE

MN

_________ MF

M

N

N图

E图

EEDED

AE

BGED ED

/

图

BEA

A

ABBCDE

BGAE

AE

AE

.B

A

_____AE

eq

\o\ac(△,Rt)

EF

.

DE

/

DE

. eq

\o\ac(△,A)

=

=DE=

,=

=

DE

.

b,

.

..解:

由已知得

b

,

,

,

,