随机过程复习提纲

第一章小结条件分布函数（连续型）条件分布律（离散型）条件概率密度n维随机变量常用结论设相互独立，为任意实数。※※数字特征——条件期望离散型连续型若X与Y相互独立，则全期望公式离散型数字特征——条件期望连续型全期望公式特征函数定义对一切随机变量，其特征函数都存在！

常见分布的特征函数1.两点分布((0-1)分布)2.二项分布B(n,p)3.泊松分布4.均匀分布5.指数分布6.标准正态分布特征函数的基本性质特征函数分布函数第二章小结随机过程{X(t)，t∈T}：样本函数、样本曲线一维分布函数X(t)是一个随机变量X(t)的概率密度函数一维概率密度函数X(t)的分布律一维概率分布（一维分布律）：二维分布函数例3：若该过程中任意两时刻的随机变量相互独立，试求两时刻X(t)的二维分布函数。解X(1/2),X(1)的联合分布律欲求联合分布函数综上随机过程的数字特征与特征函数（1）均值函数（2）均方值函数（3）方差函数（4）自相关函数（5）自协方差函数（6）一维特征函数数字特征之间的关系二维随机过程的数字特征：互相关函数：互协方差函数：随机过程不相关：复随机过程的数字特征——类似求X(t)的数字特征。(P80)例6解随机过程的概率结构分类1、二阶矩过程2、独立随机过程3、独立增量过程4、平稳增量过程（齐次随机过程）过程X(t)具有平稳增量。注：若X(t)为平稳增量过程，则对任意T中的时刻s和t，有X(t+τ)-X(t)与X(s+τ)-X(s)同分布。5、正态过程则称X(t)为正态随机过程。其中6、维纳(Wiener)过程则称随机过程{X(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程，或布朗运动。当σ＝1时称为标准维纳过程。微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动布朗运动的数学模型第四章小结随机质点流

强度N(t)——[0,t)内到达的随机质点个数τn——第n个随机质点的到达时间Tn

——第n-1个与第n个质点时间间隔{N(t),t≥0}泊松过程21[例4]

设顾客依泊松过程到达某商店，平均每小时到达4人。已知商店上午9：00开门，试求：至9：30仅到一位顾客而11：30时总计已到达5位顾客的概率。22解人/小时，以9:00为时间起点。设N(t)为[0,t)内到达的顾客数，则N(t)为泊松过程。则称是一由与复合而成的复合泊松过程。[定义1]

设是一强度为的泊松过程，是独立同分布随机变量序列，且与相互独立。若令注：一般认为当t=0时，有Y(0)=0。24复合泊松过程独立增量、平稳增量非齐次泊松过程是计数过程、独立增量过程则在时间间隔内出现k个质点的概率为第六章小结马尔可夫过程

独立过程和具有常数初值的独立增量过程是马氏过程（二项过程、泊松过程、非齐次泊松过程、复合泊松过程、维纳过程均是马氏过程！）马尔可夫链马氏性马氏性一步转移概率齐次马尔可夫链一步转移概率一步转移概率矩阵行和为1会判断和说明一随机过程是否齐次马氏链；会写一步转移概率矩阵和画出概率转移图！n步转移概率C-K方程：矩阵形式对齐次马氏链：初始分布绝对分布X(0)的分布X(n)的分布计算式：有限维分布（齐次马氏链）29设齐次马氏链的状态空间为，若对于所有的状态

，存在不依赖于的常数,为其转移概率在时的极限，即其相应的转移概率矩阵有则称此马氏链具有遍历性,并称为状态的稳态概率，也称为极限分布.齐次马氏链的遍历性

齐次马氏链的平稳分布平稳方程若不满足遍历性定义，则非遍历！

齐次马氏链即使不具有遍历性，也可能存在平稳分布；且平稳分布可能不唯一！满足定理条件时，平稳分布即为极限分布。第三章小结均方极限定义与验证（1）若，则；

（2）若，

，则；（3）若，

，则对任意常数和，有；（4）若数列满足，是随机变量，则；

均方极限性质——除具有唯一性外，还具有均方连续、均方导数、均方积分概念均方导数、均方积分的简单性质33均方导数与自（互）相关函数关系第五章小结严平稳过程定义及数字特征特点

设为复（或实）随机过程，若满足（1）（2）（3）宽平稳过程定义与验证则称该过程为宽平稳过程。严平稳性即是