函数与方程正式版

..§9.函数与方程..一、知识要点1.零点的概念〔1定义使函数的实数的值叫的零点.〔2几何意义及代数意义的零点曲线与轴的交点的横坐标方程的实根.2.零点的性质〔1函数的图象穿过零点时,函数值变号；〔2相邻两零点之间的函数值同号.3.零点存在性的判断〔零点定理〔1在区间上的连续函数满足,则至少存在一个实数,使得,即在上至少存在一个零点.若在上严格单调,则在上存在唯一实数,使得.4.求方程的实根〔或判断实根个数的方法〔1代数法：解方程；〔2数形结合法：求曲线与轴的交点；〔3辅助函数法：求曲线与的交点个数,转化为求函数的零点个数.5.用"二分法"求零点的近似值〔1给定区间及精确度,验证；〔2求区间的中点,计算；〔3验证与的符号：①若,则为零点；②若,则零点,令；③若,则零点,令；④判断是否成立,若成立,则任取中的一个数为零点,否则,重复②至④的步骤.二、考点演练题型一：确定零点所在的区间1.设函数与的图象的交点为,则所在的区间是〔A.B.C.D.2.已知函数,当时,函数的零点,则________.题型二：确定区间上零点的个数3.若函数的两个极值点为,且,则关于的方程的不同实根个数为________.4.已知定义在R上的偶函数满足,且当时,,则方程的实数解的个数为________.题型三：利用零点确定参数的值或取值范围5.设方程的根为,方程的根为,则的值为______.6.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是________.7.设是定义在R上的偶函数,对于,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有7个不同的实数根,则的取值范围是________.题型四：零点的综合应用8.设函数.〔1设,证明：在区间内存在唯一零点；〔2设,若对于,有,求的取值范围；〔3在〔1的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.9.设函数是自然对数的底数,.〔1求的单调区间及最大值；〔2讨论关于的方程根的个数...§9.函数与方程..一、知识要点1.零点的概念〔1定义使函数的实数的值叫的零点.〔2几何意义及代数意义的零点曲线与轴的交点的横坐标方程的实根.2.零点的性质〔1函数的图象穿过零点时,函数值变号；〔2相邻两零点之间的函数值同号.3.零点存在性的判断〔零点定理〔1在区间上的连续函数满足,则至少存在一个实数,使得,即在上至少存在一个零点.若在上严格单调,则在上存在唯一实数,使得.4.求方程的实根〔或判断实根个数的方法〔1代数法：解方程；〔2数形结合法：求曲线与轴的交点；〔3辅助函数法：求曲线与的交点个数,转化为求函数的零点个数.5.用"二分法"求零点的近似值〔1给定区间及精确度,验证；〔2求区间的中点,计算；〔3验证与的符号：①若,则为零点；②若,则零点,令；③若,则零点,令；④判断是否成立,若成立,则任取中的一个数为零点,否则,重复②至④的步骤.二、考点演练题型一：确定零点所在的区间1.设函数与的图象的交点为,则所在的区间是〔A.B.C.D.[解析]令.则；；.所以,所以所在的区间是.选B.2.已知函数,当时,函数的零点,则________.[解析]令,则,,所以的零点,则.题型二：确定区间上零点的个数3.若函数的两个极值点为,且,则关于的方程的不同实根个数为________.[解析],因为是的两个极值点,所以是的两根,于是方程的解为.不妨令,因为,所以同图象知有两解,只有一解,所以共有3个实数解.4.已知定义在R上的偶函数满足,且当时,,则方程的实数解的个数为________.[解析]方程的实数解的个数即为函数与的图象的交点个数.由已知得是周期为2的周期函数,其图象如图所示,当时,,所以共有9个交点,即方程有9个实数解.题型三：利用零点确定参数的值或取值范围5.设方程的根为,方程的根为,则的值为______.[解析]即为与的图象的交点M的横坐标；即与的图象的交点N的横坐标.因为与的图象关于直线对称,直线也关于对称,所以两个交点关于对称,于是与的交点P即为MN的中点,所以.6.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是________.[解析]在上存在点,其关于轴的对称点在的图象上,所以,即.等价于函数在存在零点.因为,所以在递增,当时,,要使在存在零点,只需,即,所以.7.设是定义在R上的偶函数,对于,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有7个不同的实数根,则的取值范围是________.[解析]方程在有7个实数根,即为与的图象有7个交点,由已知得是周期为2的周期函数,由图象得,解之得.········题型四：零点的综合应用8.设函数.〔1设,证明：在区间内存在唯一零点；〔2设,若对于,有,求的取值范围；〔3在〔1的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.[解析]〔1当时,..又因为当时,,,.〔2当时,.对任意上的最大值与最小值之差.据此分类讨论如下：.........综上得.〔3证法一：设是在内的唯一零点..则.又由〔1知在上递增,所以.所以数列是递增数列.9.设函数是自然对数的底数,.〔1求的单调区间及最大值；〔2讨论关于的方程根的个数.[解析]〔1.令,则.当时,,单调递增；当时,,单调递减.于是函数的单调递增区间是,单调递减区间是.最大值为.〔2令,.①当时.,则,则.因为,所以,因此在<1,＋∞>上单调递增.②当时.,则.则.因为,,所以.又,所以,即,因此g<x>在<