自适应天线-第二章2.1

1第二章自适应阵的反馈概念

2.1

LMS自适应阵

2.3

肖(Shor)阵

2.2阿普尔鲍姆阵

2.4

离散的LMS阵

2.5离散的阿普尔鲍姆阵2

2.1LMS自适应阵图2.1LMS自适应阵3其中:误差信号为反馈系统调节(WI1,WQ1,····WIN,WQN)使得最小.•表示期望值(均值)——LMS准则注:2.1.1选定LMS准则的依据设天线阵用于通信系统,且阵的输出包括需要信号、干扰和热噪音,即:(2.1)式中分别为需要信号,干扰信号,热噪声。假设参考信号是需要信号的复制信号:(2.2)4则:(2.3)而均方误差为:(2.4)当时,最小;

反之,若最小,则对应于阵列输出端需要信号功率固定,干扰和热噪声功率最小。2.1.2最佳加权先来确定为了得到最小

应设置的加权.对于任意一组加权,阵列输出为:(2.5)所以,误差信号为:(2.6)5均方误差为:(2.7)写成矩阵形式得到下式:(2.8)式中和分别为下列矩阵:(2.9)(2.10)6的二次函数(呈碗形曲面).那么而为2N×2N矩阵:(2.11)可以看出:是关于该碗形曲面有且只有一个极小值.得到极小值的加权矢量用表示,它可由下式确定:(2.12)7由于:(2.13)从而可得:(2.15)此时可以得到其极小值:(2.16)代入式(2.15),可以得到:(2.18)对于任意加权的均方误差可改写成更为有用的形式:(2.19)因为对称矩阵,可以由下式代替(2.20)8从上式可看出的二次型性质.整理式(2.19)的各项可以得出:(2.21)当时:当时:因为的非对角线一般不为零,碗形的主轴不与加权平行.利用以下变换可得到轴平行于碗型的主轴的坐标系统:(2.22)式中为的坐标旋转矩阵,为元列矩阵.(2.23)将式(2.22)代入式(2.21)之中得到:(2.24)9因的极值为极小值，所以特征值非负，而且为非负正定的(半正定).

则便是碗形的正规坐标。若选择使为对角阵,亦即：式中为的特征值，(2.25)10

因为曲面上的梯度是指向最陡上坡方向,且k>0,这个方程便迫使加权最陡下坡,或最陡下降方向移动.并且,这个方程使的时间变化率正比于曲面的斜率.因为二次型曲面的斜率随离开其极小点的距离而线性增加,所以当加权远离碗底时,式(2.26)使加权迅速变化,仅当加权接近碗底时变化才缓慢.2.1.3LMS算法

对于任何给定的阵元排列,曲面的形状,位置和取向与入射到阵列的信号有关.若这些信号的个数,到达角或功率电平随时间变化,则碗形曲面及相应的将在加权平面上移动.自适应阵的任务就是在于控制加权矢量使之对碗形底进行跟踪.在LMS阵中,加权是根据梯度算法进行调整的,控制方程为:(2.26)11利用求导公式可得:(2.27)可选:(2.28)这样,就有:(2.29)因为:

(2.31)所以,对于给定的

,若,很明显:将取得最小的负值.

12利用

的表达式,即式(2.7),可以得到:(2.33)所以式(2.26)式可以写为:(2.34)但是上式实现困难,因为其右边有期望运算.在实时处理器中无法得到求解。因此有必要用某种估计来代替它。最简单形式如下:(2.35)这个方程被称为威德罗等人的LMS算法.13

上式等效于图2.3所示的反馈环.因为仅是自适应阵的正交双道加权中的一个,所以每个天线单元阵元后面需要两个这样的环路,一个是同相通道,一个是正交通道,如图2.4所示.该反馈环常称为相关环,采用这个术语是由于该环内形成了和的乘积,并将乘积积分,即:

图2.3LMS反馈环图2.4一个阵元的LMS反馈(2.36)142.1.4省略E[·]的影响采用近似的影响.此时曲面为瞬时随机变化的曲面.若为平稳随机过程,则曲面不随时间变化,相应地,将在其平均值周围变化,因此阵的每个加权也变成随机过程.对于用瞬时曲面的梯度代替曲面的梯度的算法,加权绕其平均值起伏,故仅能通过选择足够小的增益k来尽可能平均掉随机变化,从而使加权的方差尽可能小.反之,若采用E[·],则可以采用任意大的k值.例:假设环路输入信号为连续信号x(t),参考信号为r(t):分析:(1)若包含E[·],则图2.5的加权满足方程:(2.37)(2.40)15图2.5单LMS环路输出信号为:(2.41)所以误差信号为:(2.42)因此:(2.43)所以,w满足右式:(2.45)16这个微分方程的解为:(2.46)(注:式中w(0)为w(t)在t=0时的初值.)(2)若省略E[·],此时,w满足下式:(2.49)采用数值求解法,对于k=A=R=1,w(0)=0和θ=0,可得到如图2.6的解的形式.17

采用E[.]形式时,加权随时间呈简单指数形式变化;

省略E[.]形式时,加权围绕着指数形式振荡,且增加时,加权逼近指数形式.18其中就称作解析信号.2.1.5复数表示法

研究一种简化自适应阵分析的方法,即复数加权的解析信号表示法.首先回顾一下希尔伯特变换的定义:而图2.7处理一个阵元的正交混合器19图2.7表示正交混合器和一对加权,这是自适应阵的一个阵元后所接的电路.采用解析信号表示法,P.273图B.5说明了如何利用解析信号表示法表示正交混合器.图B.5简化的正交混合器模型假设正交混合器是宽带的,所以:(2.51)我们可以定义复信号为:(2.52)20再定义复加权:(2.53)定义相应的解析信号为:(2.54)(2.55)(2.56)(2.57)现在讨论图2.7所示的第j阵元的输出和其希尔伯特变换:(2.58)式中:因此有:(2.60),(2.61)所以,解析信号为:(2.59)(2.62)21定义复加权矢量和复信号矢量分别为:(2.63)但是,根据和的定义可见,这恰恰就是:(2.64)对于整个阵,其解析的输出信号为:(2.65)(2.66)(2.67)所以可以得到:(2.68)222.1.6复数LMS算法所以可得:(2.69)(2.71)实数形式的LMS算法为:(2.70)利用希尔伯特变换关系:(2.72)(2.73)23可以得到:(2.74)(2.75)因此式(2.71)可以写为:(2.76)现在研究反馈方程:(2.78)经过演算和推导可以得到复数的LMS算法:(2.79)上式可用图2.8的方块图来表示:24图2.8复数的LMS环路式(2.79)可以写为下面的矢量形式:(2.80)然而,可以写为:(2.81)因此式(2.80)为:(2.82)25或:(2.83)定义协方差矩阵和参考相关矢量分别为:(2.84)(2.85)则

的微分方程变为:(2.86)------Hermite矩阵26只要是非奇异的,稳态的加权矢量便为:(2.87)为了得到瞬态解,将标准型式的加权坐标旋转,令:(2.88)式中R为N×N的酉矩阵:(2.89)

为列矢量,其元素为新加权值,即:(2.90)27将式(2.88)代入式(2.86),并左乘(‘+’表示转置共轭)得到:(2.91)若选择R使为对角线阵:

(2.92)式中为的特征值,则的微分方程相互无关.对的解为:

(2.93)因此将有下列形式:28

考虑如图2.8所示的由两个各向同性阵元组成的LMS阵.一个频率为的连续波信号以相对于侧射方向为的角度传到阵上.设阵元间距为在频率时的半波长.

经过矩阵运算,可以得到关于的较为简练的表达式:

(2.94)式中由t=0时

的初值决定.2.1.7例子图2.9二元LMS阵

①.

假设信号包含需要信号和热噪声:(2.95)(2.96)例1.29上式中和分别为需要信号和热噪音分量.②.

对于连续波的需要信号,和为:(2.97)(2.98)上式中为需要信号的幅度,为阵元1处的载波相位角,而为阵元之间的相位移.假设为均匀分布的随机变量,其概率密度为:(2.99)因为阵元间距是半波长,则有:(2.100)③.

假设热噪音功率密度为,且为零均值的随机过程,并且彼此以及和需要信号统计无关.则有:(2.101)(2.103)30⑤.

每一个阵元混合为两路信号,即同相和正交信号分别为:(2.104)④.

假设参考信号为与需要信号相关的连续波信号:(2.105)(2.106)于是,平均的输入功率为:因此,正交混合器的输入信号为:(2.107)(2.108)而输入噪声功率为:(2.109)所以每个阵元上的输入信噪比(SNR)为:(2.110)31⑥.

现在计算阵列的稳态加权,并研究阵的性能.将信号矢量写为:式中:(2.111)(2.112)(2.114)先考虑协方差矩阵,可写为:(2.115)而由(2.112)有:(2.116)32而且:(2.117)式中I为单位矩阵,所以为:(2.118)因为是统计无关的,所以:(2.119)加权矢量满足:(2.120)其稳态部分为:(2.121)根据式(2.118),为:(2.122)33(2.123)的表达式为:(2.125)式中变量是阵中每个阵元的输入信噪比.我们注意到,两个复加权和的幅度相同:(2.126)但相位相差.正是这个适当数量的相位差使得加权信号和能够实现同相相加.的逆为:34⑦.

计算方向图:为了计算方向图,假设单位幅度的信号以角传到阵,因此,该信号在阵上产生一个信号矢量:(2.127)阵的输出信号为:(2.129)该信号的幅度为:(2.130)该阵的电压方向图为:(2.131)35值得注意的是的最大值总是在方向(即时).因此,LMS加权矢量自动地操纵方向图的最大值到需要信号的方向上.下图给出了两种情况的方向图：图2.10二元自适应阵的电压方向图36⑧.下面研究输出端的信号和噪音功率.首先,实信号s(t)的平均功率为:(2.132)利用相应的解析信号

,P可表示为:(2.133)因为:(2.134)现在来看阵输出端的需要信号功率和热噪声功率.由式(2.111)可知阵的输出信号可以写作:(2.135)式中:(2.136)(2.137)37因此输出的需要信号为:(2.138)阵输出需要信号的功率为:(2.139)式中为参考信号的功率.当输入信号比很高时,输出的需要信号功率等于参考信号的功率.通常,LMS

反馈实际上并不能使输出端的需要信号与参考信号匹配.比较式(2.104)和式(2.138)可以看出:(2.141)式中:(2.142)38比值与输入SNR有关.如下图所示,输入的SNR高时,

基本上等于,但是对于较低的SNR,则小于.图2.11比值与输入SNR的关系下面研究噪声信号.输出的噪声信号为:(2.143)输出的噪声信号功率为:(2.144)39(2.145)噪音功率与有关,如图2.12所示:图2.12与输入SNR的关系而阵的输出信噪比为:(2.146)40二元自适应阵在无干扰下的特点:ⅰ.输出信噪比(SNR)为输入信噪比的2倍,且为最大输出SNR;ⅱ.参考信号幅度不影响LMS加权的最佳值;ⅲ.对于任何,阵也可得到最大输出SNR.⑨.的瞬态特性.通常,加权是从t=0

的任意初值开始,并按式(2.94)的形态经历瞬态过程.由式(2.124)有：(2.147)(2.148)式中和为的特征值,这些特征值可通过求解下式得到:41其解为:(2.149)(注意:因为热噪音项存在,和均为正,所以是正定的).(2.150)这是关于未知量和的一个方程.为了得到另一个方程,可以采用加权的微分方程:(2.151)用来表示t=0时的:(2.152)而:(2.153)合并式(2.152)和式(2.153),并消去因子k得到:(2.154)为了确定具体的加权瞬态过程,必须计算出与的初值有关的矢量常数和.在t=0时,应用式(2.147)得到:42用和分别乘以式(2.150),并与式(2.154)相加可以得到:(2.155)(2.156)将任意的

值代入这两个方程,并计算出和,即可得到.图2.13示出了一组用这种方法算出的典型的加权瞬态过程,所假设的参量为:(2.157)(2.158)另外,所用的初始条件为:(2.159)(即:正交加权的初始值为)43图2.13二元阵的加权瞬态过程可以看出,的瞬态过程中有两个指数项.对于式(2.157)所假设的数值,有:(2.160)(2.162),(2.163)相应的时间指数为:(2.161)44通常,我们发现,当信号功率大时,基本上由信号功率确定,而由噪音功率确定.所以,对于高的信噪比,两时间常数之比将为SNR的两倍.(2.164)这个比称为时间常数分散度(或特征值分散度).同前,书中22页中图2.14给出了根据图2.13的瞬态过程,对不同时刻算出的一组方向图.45例2.假设二元阵与例1相同,阵列接收到连续波的干扰信号和需要信号,令干扰信号以相对于侧射方向为的角度到达,如图2.15所示:图2.15具有需要信号和干扰的二元阵46

①.

上图所示的阵元信号为:(2.165)(2.166)

假设干扰信号和为:(2.167)(2.168)

式中为幅度,为阵元间的相位移:(2.169)参考信号仍由式(2.104)表示,它与需要信号相关,且与干扰不相关.

在例1中,输入信噪比为:(2.171)47同样,对于干扰信号来说,其输入干扰噪音比为.定义为输入干扰噪音比:=输入INR(2.172)信号矢量可写为:(2.173)式中与例1中相同.干扰信号矢量为:(2.175)式中:(2.176)最后,与例1一样有:(2.177)48现在协方差矩阵变为:(2.178)需要信号与噪音项已在例1中求得,对于干扰项,可类似推出:(2.181)因此:(2.183)

的行列式为:(2.184)而的逆为:(2.185)49参考相关矢量

:(2.187)该稳态加权为:(2.189)另外由(2.184)有:(2.190)50

②.

稳态方向图:现在计算具有这些加权的阵的方向图.以角传到阵上的单位幅度测试信号将产生下面的信号矢量:该测试信号将产生一个阵的输出信号:(2.191)其电压方向图为:图2.16示出用这种方向图计算出的一组方向图.其参数为:而输入的INR为:51图2.16带有干扰的二元阵的电压方向图可见:方向图零点深度是干扰功率(或)的函数,这种特性正是LMS阵的特点。52

③.

输出端参量:输出的需要信号为:(2.192)则输出的需要信号功率为:(2.193)与此类似,输出的干扰信号为:则输出的干扰信号功率为:(2.194)(2.195)53输出的热噪音电压为:(2.196)则输出的热噪音功率为:(2.197)最后,定义输出的需要信号与干扰加热噪音的比SINR为:(2.198)功率和SINR与的关系绘于图2.17～图2.20中.54图2.17与的关系图2.18与的关系图2.19与的关系图2.20SINR与的关系55ⅰ.首先,研究图2.18所示的与的关系.由图可以看出:随输入的干扰功率增加,先是增加,然后降低.这种现象出现的原因是:当干扰弱时,它不会对控制加权的反馈环产生任何影响;当干扰很强时,阵的自由度用于抑制干扰(增加10dB将使降低10dB)。ⅱ.输出需要信号功率随着上升而下降,因为二元阵仅有一个自由度,且用于抑制干扰.ⅲ.与几乎无关,其原因是,加进干扰时,