自动化技术与仪 表第一章检测技术基础 第1.3节

1.3测量误差的理论基础教学内容与要求掌握误差的概念、误差的分类、估计、评价处理方法及消除方法。11.3测量误差的理论基础测量目的：得到被测参数的真实值（真值）。测量误差：由于检测系统(仪表)不可能绝对精确，测量原理的局限、测量方法的不尽完善、环境因素和外界干扰的存在以及测量过程可能会影响被测对象的原有状态等，使得测量结果不能准确地反映被测量的真值而存在一定的偏差，即测量误差。2研究误差的目的、意义：认识和掌握误差规律正确评价检测装置和估计测量结果提高测量的准确度“约定真值”的得到：标准表法：通过准确度高一级的仪表测量计量器具法：通过准确度较高的计量器具进行测量平均值法：选取等精度测量条件下有限次测量的平均值31.3.1测量误差的分类与测量不确定度1.测量误差分类按误差本身量纲分类绝对误差相对误差实际相对误差引用相对误差4按误差出现的规律分类

系统误差随机误差粗大误差5

系统误差：在相同的条件下多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；或测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。其误差值恒定不变的则称为定值系统误差；其误差值变化的则称为变值系统误差。

变值系统误差又可分为累进性的、周期性的以及按复杂规律变化的几种。

系统误差的特点：遵循一定的规律，或测量条件一经确定，误差为一确定的量值。产生原因：通常是由为数不多的确定性原因造成的。比如，测试环境没有达到标准，测试系统安装不正确。6系统误差：夏天摆钟变慢的原因是什么？摆绳热胀冷缩，影响摆长，进而影响周期。7随机误差

在相同条件下多次重复测量同一被测量时，测量误差的大小与符号均无规律变化，这类误差称为随机误差。8存在随机误差的测量结果中，虽然单个测量值误差的出现是随机的，既不能用实验的方法消除，也不能修正，但是就误差的整体而言，多数随机误差都服从正态分布规律。次数统计长度相对测量值随机误差的特点：随机误差没有规律，不可预定，不能控制，也不能用实验的方法加以消除。9系统误差与随机误差的关系：难以严格区分。当某些系统误差太复杂，找不出规律，就只能作为随机误差处理。当某些随机误差的来源和变化规律被掌握，就可以当成系统误差去处理，将结果加以修正和预防。任何一次测量一般都同时存在两种误差。可以根据测量情况处理起主要作用的误差。当两种误差均有较大影响时，也可以按各自的不同处理方法同时加以处理。10粗大误差

在测量条件一定的情况下，测量值明显偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差、差错或粗差。产生粗大误差的一个例子：雷电干扰11产生粗大误差主要原因：读数错误，测量方法错误、测量仪器有缺陷以及测量条件的突然变化等。凡是含有粗大误差的测量数据称为坏值，应剔除不用。12按使用的工作条件分类

基本误差：仪表在规定的标准（额定）条件下所产生的误差。附加误差：当仪表的工作条件偏离标准（额定）条件所产生的误差。13按误差的特性分类(按被测量与时间的关系分类)

静态误差:在被测量不随时间变化时所测得的误差称为静态误差；动态误差:在被测量随时间变化过程中进行测量时所产生的误差称为动态误差。142.误差产生原因系统误差（仪器误差）

环境误差(影响误差)

理论误差与方法误差人员误差(人为误差)

153.测量不确定度不确定度：对测量结果分散性的描述，对测量结果误差限的估计。161.3.2误差的估计和评价处理方法

随机误差表现出单次测量的随机性与测量总体误差分布的规律性特征，因此可通过统计处理的方法对误差进行最可信估计；粗大误差是人为造成的，可以通过加强责任感避免，也可以通过某些判据发现并剔除；系统误差存在与否的检验是系统误差分析与评价的核心问题，因为系统误差的规律性决定其处理与补偿的有效性。17复习：概率、概率密度和正态分布1.概率：自然界中，某一事件或现象出现的客观可能性大小。必然事件的概率为1不可能事件的概率为0。可能出现也可能不出现的不可预测随机事件的概率介于0与1之间。概率是研究随机事件的一个统计概念，是对大量重复实验的统计结果。当在同一条件下对某个量进行多次重复测量时，粗大误差可以剔除；系统误差可以修正；随机误差可以借助于对随机数值的统计概率，求出其估计值及其可能性。182．概率密度与正态分布：150次测量836mm长度的结果误差分布表（只有随机误差）19150次测量，11个区间误差分布直方图8363429179212818831831841无限次测量，无限个区间随机误差分布连续曲线区间宽度为0该纵坐标被称为概率密度该连续曲线为随机误差正态分布曲线2．概率密度与正态分布：20—随机变量的方差，数学上通常用D表示；—随机变量的个数。正态分布高斯于1795年提出连续型正态分布随机变量x的概率密度函数表达式为：

式中——数学期望值（均值）；

—自然对数的底；

—随机变量的均方根差或称标准偏差（简称标准差）；

21从概率论可知，是决定正态分布曲线的两个特征参数。其中影响随机变量分布的集中位置，或称正态分布的位置特征参数；表征随机变量的分散程度，故称为正态分布的离散特征参数。对正态分布的影响示意图

对正态分布的影响示意图

221.3.2.1随机误差的估计与统计处理1随机误差的分布规律对某个被测参量进行等精度重复测量n次，其测量示值分别为x1，x2，…、xn，x0为真值，假定已消除系统误差，则各次测量的测量误差，即随机误差分别为随机误差的分布规律多数都服从正态分布：23

—随机误差变量，相当于高斯方程中的变量；，其中X为某个测量值，为真值；

e—自然对数的底；

即—随机误差的方差:

—随机误差的标准偏差（简称标准差或标准误差）；*该标准误差算式不实用,因为真值未知，且需n为无限次。实际测量中，实用算法如下：242.实用算法1）测量真值估计：以多次等精度测量的平均值作为真值使用：这里算术平均值是被测参量真值（或数学期望）的最佳估计值，也是实际测量中比较容易得到的真值近似值。这也被称作算术平均值原理。

25

——第i次测量值；

——测量次数，这里为一有限值；

——全部n次测量值的算术平均值，简称测量均值；

——第i次测量的残差：

s——标准偏差的估计值，亦称试验标准差、重复性标准差、样本标准差、单次测量值的标准差；2）标准差估计贝塞尔公式当n足够大时，试验标准差与标准差相接近，一般用标准差来描述试验标准差。*标准误差概念在分析正态分布的随机误差时,对曲线的特征具有重要影响,理论计算表明:指测量值与测量列全部数据算术平均值之差。26

a.介于之间的随机误差出现的概率为：

b.介于之间的随机误差出现的概率为：

c.介于之间的随机误差出现的概率为：

该结果含义:如果用算术平均值作为真值，100次测量有68次离真值的距离在1倍标准差范围之内，有95次离真值的距离在2倍标准差范围之内，有99.7次离真值的距离在3倍标准差范围之内。1000次只可能有3次超出3倍标准差范围.

27另外，当置信区间扩大到时，则有不同置信区间的概率分布示意图：28因此,标准误差说明测量结果的分散程度；标准误差越小,测量数据一致性越好,正态分布曲线越尖锐,测量精密度越高。

不同标准误差下的正态分布曲线如下:

293.随机误差的特点误差的对称性：误差的单峰性：

误差的有界性：

误差的抵偿性：出现小随机误差的机会比出现大随机误差的机会多。概率密度在横轴原点（随机误差为0）值最大。正负误差出现的机会均等。概率密度曲线对称于纵轴。误差绝对值不会超出一定范围。概率密度曲线在两侧呈接近于0的降落。测量次数无限多时，全体结果代数和为0。概率密度曲线左右面积相等。30

因此,对一台精度一定的测量仪器,在没有系统误差和粗大误差的条件下,只进行单次测量,测量结果可表示如下:

式中，K为置信系数，

K=2时，结果在该置信范围的概率为95%；

K=3时，结果在该置信范围的概率为99.7%.

是在一组n次测量中对每个单次测量结果进行评价的标准误差。

4．测量结果的正确表示31

式中，K为置信度，

K=2时，结果的置信概率为95%；

K=3时，结果的置信概率为99.7%；可以证明,算术平均值本身的标准误差为单次测量标准误差值的,即算术平均值的标准误差为:对一台精度一定的测量仪器,在没有系统误差和粗大误差的条件下,如进行n次测量,测量结果可表示如下:32工程上，通常把测量误差绝对值大于的测量值作为坏值，而予以剔除（此剔除原则称为拉伊达准则）；也就是说把测量误差作为粗大误差而予以剔除。33【举例】测量结果正确表示的应用。对某一轴径等精度测量16次，得到如下数据（单位为mm）:24.774,24.778,24.771,24.780,24.772,24.777,24.773,24.775,24.774,24.772,24.77,24.776,24.775,24.777,24.777,24.779。计算出该轴径的大小。

1.计算测量列Xj的算术平均值2.求出残余误差;求各测量值的残余误差

Vj故以上测量正确

3.计算出实验标准误差

计算出极限误差。经检查，末发现|Vj|＞3σ

，故16个测量值无粗大误差值;4.计算出算术平均值的标准差

(置信概率为99.7%)。5.轴径的大小:24.775mm34定性分析：就是对测量环境、测量条件、测量设备、测量步骤进行分析，看是否有某种外部条件或测量设备本身存在突变而瞬时破坏等精度测量条件的可能，测量操作是否有差错或等精度测量过程中是否存在其它可能引发粗大误差的因素；也可由同一操作者或另换有经验操作者再次重复进行前面的（等精度）测量，然后再将两组测量数据进行分析比较，或由不同测量仪器在同等条件下获得的结果进行对比；以分析该异常数据出现是否“异常”，进而判定该数据是否为粗大误差。1.3.2.2粗大误差判别35

定量判断：

就是以统计学原理和误差理论相关专业知识为依据，对测量数据中的异常值的“异常程度”进行定量计算，以确定该异常值是否为应剔除的坏值。

下面介绍两种工程上常用的粗大误差判断准则。

36设对被测量进行n次等精度测量,得到一组测量数据x1,x2,…,xn,可求出其算术平均值为,并求出标准误差,然后逐个判断单个测量值是否满足下面不等式:

如果发现某个值满足不等式,就作为坏值剔除之。数据处理步骤:剔除坏值,取剩余数平均,计算标准差，再剔除坏值,再取剩余数继续平均,计算标准差，直到不再出现坏值,就以最后一个平均值为真值。1．拉伊达(又译为莱因达)准则（应用条件，n足够大！一般n>30）372．格拉布斯(Grubbs)准则式中——被疑为坏值的异常测量值；

——包括此异常测量值在内所有测量值的算术平均值；

——包括此异常测量值在内所有测量值的标准误差估计值；

——格拉布斯准则的鉴别值；

——测量次数；

——危险系数，又称超差概率、显著性水平；a与置信概率P的关系为时，则认为是含有粗大误差的异常测量值，应予以剔除。小样本测量数据中，满足381.3.2.3系统误差处理

在一般工程测量中，系统误差与随机误差总是同时存在的，但系统误差往往远大于随机误差。1.系统误差的特点及常见变化规律系统误差的特点：测量误差的出现具有规律性，其产生原因一般可通过实验和分析研究确定与消除。系统误差的变化规律:39系统误差（这里用表示）随测量时间变化的几种常见关系曲线如图所示。

图1-1系统误差的几种常见关系曲线曲线1表示测量误差的大小与方向不随时间变化的恒值型系统误差；40系统误差（这里用表示）随测量时间变化的几种常见关系曲线如图所示。

图1-1系统误差的几种常见关系曲线曲线2表示测量结果所含系统误差随时间以某种斜率呈线性增加或线性减少，称为线性变化规律的系统误差；41系统误差（这里用表示）随测量时间变化的几种常见关系曲线如图所示。

图1-1系统误差的几种常见关系曲线曲线3表示测量结果所含系统误差随时间作某种周期性变化，称之为周期性变化规律的系统误差；42系统误差（这里用表示）随测量时间变化的几种常见关系曲线如图所示。

图1-1系统误差的几种常见关系曲线曲线4为上述三种关系曲线的某种组合形态，呈现复杂规律变化，称之为复杂变化规律的系统误差。432恒值系统误差的判定(1)实验对比法实验比对的方法又可分为标准器件法和标准仪器法两种。举例：测电阻。标准器件法就是利用待进行系统误差评定的检测仪器对高精度精密标准电阻器(其值作为约定真值)进行重复多次测量。若测量值与标准电阻器的阻值的差值大小均稳定不变，即可判定该仪器含恒值系统误差，该差值即可作为此检测仪器在该示值点的系统误差值。其相反数，即为此测量点的修正值。44标准仪器法就是把精度等级高于被检定仪器两档以上的同类高精度仪器作为近似没有误差的标准仪表，与被检定检测仪器同时、或依次对被测对象(本例为在被检定检测仪器测量范围内的电阻器)进行重复测量，把标准仪表的示值视为相对真值。如果被检定检测仪器示值与标准仪表示值之差大小稳定不变，就可判定该仪器含恒值系统误差，将该差值作为此检测仪器在该示值点的系统误差，该差值的相反数即为此检测仪器在此点的修正值。45(2)理论分析法对一些因检测原理、设计、制造工艺方面存在某种不足而产生的恒值系统误差，可通过理论分析与计算来加以判别、修正。这类缺陷，经常表现为在传感转换过程中存在零位误差，传感器输出信号与被测参量之间存在非线性，信号处理时采用的是略去高次项的近似经验公式，采用过分简化的电路模型等。需要有针对性地分析、计算、评估实际值与理想值之间的恒定系统误差，然后设法校正、补偿和消除。

46(3)改变外界测量条件法有些检测系统一旦工作环境条件或被测参量数值发生改变，其测量系统误差往往也从—个固定值变化成另一个确定值。对这类检测系统需要通过逐个改变外界测量条件，来发现和确定仪器在其允许的不同工作情况下的系统误差。473变值系统误差的判定(1)残差观察法若系统误差比随机误差大时，通过残差的观察和分析，常常能发现这类系统误差。把一系列等精度重复测量值及其残差按测量时的先后次序列表，观察和分析各测量数据残差值的大小和符号的变化情况。如果发现残差序列呈有规律递增或递减，且残差序列减去其中值后的新数列在以中值为原点的数轴上呈正负对称分布，则说明测量存在累进性的线性系统误差；如果发现残差序列呈有规律交替重复变化，则说明测量存在周期性系统误差。48当系统误差比随机误差小时，就不能通过观察来发现系统误差，只能通过专门的判断准则才能较好地发现和确定。这些判断准则实质上是检验误差的分布是否偏离正态分布，常用的有马利科夫准则和阿贝—赫梅特准则等。49(2)马利科夫准则马利科夫准则适用于发现和确定线性系统误差。将在同一条件下顺序重复测量得到的一组测量值x1，x2，…、xn

顺序排列，并求出它们相应的残差v1，v2，…、vn。

将这些残差序列以中间值vk为界分为前后两组，分别求和，然后把两组残差和相减，即50当n为偶数时，取、；当n为奇数时，取。若D近似等于零，说明测量中不含线性系统误差；若D明显不为零（且大于），则表明这组测量中存在线性系统误差。51实际操作方法：将在同一条件下顺序重复测量得到的一组测量值按序排列，并求出它们相应的残差。然后计算：如果成立（——为本测量数据序列方差），则表明测量值中存在周期性系统误差。(3)阿贝—赫梅特准则适用于判断、发现和确定周期性系统误差。52（4）正态分布比较判别法当同一条件下顺序重复测量得到的一组测量值不存在变值系统误差时，其各测量值与均值的偏差一般都符合随机误差分布特点,即服从正态分布。若误差分布明显偏离正态分布，便可根据其偏离程度和偏离形态判断变值系统误差。

（5）标准差判据53举例：P17例1.41.3.2.4误差的合成1.系统误差的合成

设检测系统的待测参数为权系数、误差传递系数检测系统的最大系统误差54若第i个环节的引用相对误差为ri时，则输出端的引用相对误差rm与ri之间的关系，可用以下两种方法来求得：绝对值合成法方均根合成法55【例】

某传感器在测量过程出现了以下误差情况，敏感元件的测量误差为±4%，转换电路环节中出现的误差为±3%，仪表的指示环节出现的误差为±1%，请问此测量过程中出现的总误差为多大？解：由题意可知r1=±4%,r2=±3%,r3=±1%1)用绝对值合成法计算测量总误差2）用方均根合成法计算测量总误差结论：1）用方均根合成法估算测量的总误差较为合理。2）在整个测量系统的一个或几个环节的精度较高，对提高整个测量系统的总的精度未必有效,反而还会提高了测量系统的成本，造成资源浪费，而应该是努力提高误差最大的某个环节的测量精度，以达到最佳的性价比。举例：8%562.随机误差的合成（2）间接测量：设间接测量量（待测参数）与直接测量量（被测参数）的关系为σ1，σ2，…、σm为直接测量值x1，x2，…、xm的标准差

（1）直接测量：设测量中有m个彼此独立的随机误差。它们的标准差分别为σ1，σ2，…、σm，且相互独立，则按下式计算该检测系统的标准差：标准差：573.误差的总合成若待测参数y的系统误差和随机误差相互独立，总的合成误差表示为：581.3.3减小和消除误差的方法1．减小随机误差的方法1）提高检测系统的准确度从检测系统的原理、设计和结构上考虑，机械部件间的摩擦、传动机构间隙等是引起随机误差的主要原因。因此，设计中尽量避免采用存在摩擦的可动部分，减小可动部分器件的质量，采用负反馈结构的平衡式测量和应用无间隙传动链等以减小随机误差。59

2）抑制噪声干扰噪声干扰是随机误差的主要来源，因此，采用各种有效的抑制干扰措施，如屏蔽、接地、滤波、选频、去耦、隔离传输等能有效地减小随机误差。

3）对测量结果的统计处理随机误差具有补偿性，大部分测量系统的误差分布符合正态分布规律。因此，通过估计随机误差影响的可能变化区间，即可以估计误差的上界值。从这个意义上说，通过对测量数据的统计平均，求取算术平均值和标准差可精确地给出测量结果的范围。提高测量次数，可以减小随机误差对测量结果的影响。但是，在对测量结果作统计处理之前，必须排除系统误差或将系统误差修正到可以忽略不计的程度。602.消除或减弱系统误差的典型方法1）消除误差源法:

在测量过程中对可能产生误差的环节进行分析，从根源上消除系统误差。612）引入修正值法：修正值:为了得到正确的测量结果，必须在含有系统误差的测量结果上进行代数相加的某个值。通常的做法：根据在测量前预先通过标准器件法或标准仪器法比对（计算）得到该检测仪器系统误差的修正值，制成系统误差修正表；以后用该检测仪器进行具体测量时可人工或由仪器自动地将测量值与修正值相加得到。由于修正值本身存在误差，这时的系统误差不是被完全消除了，而是大大被削弱了。62举例:860℃时，某传感器测量的输出为8.103mV，标准仪表测得输出为8.003mV（约定真值）此时，绝对误差=0.1mV

于是，8.103+（-0.1）=8.003mV633）比较法：也称标准量比较法。思路：用准确度较高的、不含或含很小系统误差的检测装置与被测量进行完全或部分比较，达到消除或减小测量中的系统误差。比较法包括：零示法(零位式)、偏差式和微差法64（a）零位式测量

调节已知标准量与被测量达到平衡状态（相等），读取标准量作为被测值。电位差计原理图标准电阻比如：天平称重65特点：测量装置中有标准量具（如天平的砝码、标准电阻），测量过程是将被测量与标准量具比较，在平衡或指针指零时，读取标准量具的大小。精度高，操作复杂，反应速度较慢。66（b）偏差式测量

利用测量仪表指针对于刻度初始点的偏移来读出被测量的的测量方法。如图温度检测仪表。

特点：表内没有标准量具（如单位电流、单位电阻），只有经标准量具校准过的刻度盘。比较是将被测量与刻度盘比较。精度低，但简单迅速。6768（c）微差式测量

零位式与偏差式测量的综合应用。测量前先把被测量U调到基准数值大小，调节已知标准量使二者相等，读取被测值的基准大小U0。