结构力学6位移法

主编：文国治副主编：陈名弟土木工程指导性专业规范系列教材

出版社2023年2月1日结构力学第六章位移法●基本要求

掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动作用下的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力。●教学内容的重点

位移法的基本未知量；杆件的转角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力。●教学内容的难点对位移法方程的物理意义以及方程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。本章小结

目录

§6-1概述§6-2等截面直杆的转角位移方程§6-3位移法的基本概念§6-4位移法的典型方程§6-6用位移法计算超静定结构在支座移动时的内力§6-7直接利用平衡条件建立位移法方程§6-5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力

对于线弹性结构，体系中杆件的内力分布与其变形之间存在着一一对应的关系。在结构分析时，可以根据位移—变形—内力之间对应的函数关系，利用某些结点位移表达出杆件变形，据此以寻求内力分布。

位移法计算中重要的一环内容在于杆件变形分布的描述。关注的焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布的影响。6.1概述

位移法是计算超静定结构的另一种基本的方法。当结构的超静定次数较高时，用力法计算比较繁琐。而位移法则是以独立的结点位移为基本未知量，未知量个数与超静定次数无关，故对于一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。本章主要介绍位移法的原理、方法及其应用。简化假定：不考虑各杆件的轴向变形；不计弯曲引起的杆端接近。分析刚架中AB杆：位移法要解决的三个问题：①选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。②确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系(单元分析)。③建立求解基本未知量的位移法方程(整体分析)。

对图示结构来说，求解关键是如何确定基本未知量θA的值。6.1概述应用位移法需要解决的一个关键问题是：确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系，即杆件的转角位移方程，也就是位移法计算中单元分析的过程。可查形载常数表确定。6.2.1杆端内力及杆端位移的正负号规定1）杆端内力的正负号规定

杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负;对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。

杆端剪力和杆端轴力正负号规定，仍与前面规定相同。

6.2等截面直杆的转角位移方程

2）杆端位移的正负号规定角位移以顺时针为正，反之为负。

线位移对杆件顺时针方向转动为正，反之为负。例如，图中，ΔAB为正。6.2.2一般等截面直杆杆单元的转角位移方程

位移法中内力分布与变形对应，而变形则会受到杆端位移的影响。在计算中一般利用一个两端固定的杆单元来描述体系中的一般杆件，杆端位移即可以根据该杆单元的支座位移来表达。由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，列入表6.1中。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。

6.2等截面直杆的转角位移方程利用表6.1中的形常数与载常数，可得由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用和表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用和表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表6.1中。

一般等截面直杆杆单元的转角位移方程：（6.1）

集中力偶以顺时针为正，反之为负；集中力和分布荷载以向下为正，反之为负。

6.2等截面直杆的转角位移方程6.2.3特殊等截面直杆杆单元的转角位移方程

若结构中存在非刚性结点和非固定支座,即体系有铰结点和定向结点(对应于支座位置，则为可动铰支座、固定铰支座或定向支座),在杆端力几个分量中出现某杆端力分量为已知的现象。

即在这样的单元中，式（6.1）的三个函数关系将不再完全独立，由于其中一个方程左端项（杆端力）为已知，则杆端位移中，将只能存在两个独立的未知杆端位移分量，剩余的另一个杆端位移一定可以由这两个独立杆端位移来线性描述。

由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基本未知量的数目，上述情形的存在，使得在计算中可以根据单元杆端的约束模式，在计算前对基本未知量进行筛选，去除非独立的杆端位移分量，以减少计算线性方程组的工作量。由此即在一般杆元的基础上衍生出了两种特殊杆单元模型。6.2等截面直杆的转角位移方程1)一端固定另一端铰支杆单元2)一端固定另一端定向支承杆单元6.2等截面直杆的转角位移方程

在3种杆单元模型中，第一种即两端固定支承梁的模型在不考虑轴向变形时具有三个未知杆端位移，它完全可以取代后两种衍生模型。若全部用第一种单元模型进行计算，在位移法分析时所有单元的杆端位移描述和转角位移方程将具有一致的形式，对应的计算方法可以较为容易地移植到计算机化的程序分析中；但用于手算时，却会导致因未知量数目较多，而计算量偏大的情况。一端固定一端铰支、一端固定一端定向支承模型的引入，则可以简化分析计算量，所以手算时一般都会使用这两种衍生模型来进行计算。但应该注意形常数与载常数的选用必须与所选择的杆件单元模型相对应。杆端剪力转角位移方程可由平衡条件导出为：6.2等截面直杆的转角位移方程6.3.1位移法的基本未知量

如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对线位移均已知则全部杆件内力即可确定。位移法中，基本未知量应是各结构的角位移和线位移之和。

6.3位移法的基本概念1)结点角位移的确定

未知的独立结点角位移对应体系中的刚结点，若有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角，应一并计入；

铰结点或铰支座处转角不独立，引入特殊杆端约束模式下杆单元模型后，其杆端转角不再计入。结构固定支座处转角已知，不应计入；——一个刚结点一个结点转角2)结点线位移的确定

确定位移法中线位移未知量的方法：由观察确定。即设定体系中每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最多可能具有两个线位移，然后筛选出其中的未知、独立分量。主要考虑以下的筛选原则：

①因刚性支座的存在，线位移为零或为已知值（对应于支座移动）的不计入未知量；②因轴向变形忽略不计而多个结点线位移相同的，则只计其中一个；

③定向支承杆端力已知，对应的线位移非独立，不计入独立的线位移内。——一层一个结点线位移(无侧向约束时)6.3位移法的基本概念“铰化结点、增加链杆”方法判断结构独立结点线位移数目。图6.5ABCD4321

把所有的结点和支座都改为铰结点和铰支座，而得到一铰结体系，然后用增加链杆的方法使该体系成为几何不变、且无多余约束的体系，所增加的最少链杆数目，就是结点独立线位移的数目。

不忽略杆的轴向变形，如图6.6所示结构，结构的独立结点线位移数目为二。图6.6

ABCDEA6.3位移法的基本概念4325611236.3位移法的基本概念6.3.2位移法的基本结构和基本体系

附加约束:角位移处的附加刚臂和线位移处的附加支杆。

附加刚臂:即在每个发生独立角位移的刚结点和组合结点上,人为加上一个能控制角位移(但不阻止线位移)的附加约束。

附加支杆，即在每个发生独立线位移的结点上沿线位移方向,人为加上一个能控制其线位移大小的附加支座链杆。位移法计算时通过在体系中增设附加约束来控制结点位移发生。增设了附加约束的结构模型,即为位移法计算中的基本结构。a)原结构及其基本未知量b)基本结构

通过控制基本结构的附加约束，令其发生与原结构相同的结点位移，从而形成在荷载与结点位移共同作用下与原结构变形完全相同的受力模型。该受力模型即为位移法计算中的基本体系，基本体系与原结构完全静力等效。6.3位移法的基本概念

位移法计算超静定结构时，是以一系列单跨超静定梁的组合体作为基本结构，在确定了基本未知量后，就要附加约束以限制所有结点的位移，把原结构转化为一系列相互独立的单跨超静定梁的组合体，即在产生转角位移处附加刚臂以约束其转动，在产生结点线位移处附加支承链杆以约束其线位移。

令基本结构附加约束发生与原结构相同的结点位移，从而形成在荷载与结点位移共同作用下与原结构变形协调受力等效的基本体系。6.3位移法的基本概念6.3位移法的基本概念1)只有一个结点角位移的情况

图示(a)结构,具有一个独立的未知结点角位移,不存在结点线位移。根据基本结构的概念,在角位移处增设刚臂,得基本结构。

a)原结构c)基本体系b)基本结构

荷载作用下，原结构变形图如图(a)所示，则其基本体系应如图(c)所示。当刚臂转角与原结构A点转角相同时，图(a)与图(c)变形、内力均完全相同。6.3.3位移法的基本方程与基本原理基本体系与原结构的变形完全一致，其受力也完全相同。6.3位移法的基本概念

根据叠加原理，基本体系的变形可以由荷载和角位移Z1分别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠加

由于基本体系与原结构完全静力等效，基本体系中角位移位置处附加刚臂不可能存在外力，必然有6.3位移法的基本概念

形常数，将Z1角位移作用下的变形图利用单位角位移作用下的变形图来表示

从而得到

这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是表达了基本体系在结点位移处的平衡条件。6.3位移法的基本概念6.3位移法的基本概念MP图图M图结构的最后弯矩可由叠加公式计算

6.3位移法的基本概念*图6.1

llABCq(a)原结构ABCq（b）基本结构位移法的基本思路：6.3位移法的基本概念分析：1）叠加两步作用效应，基本结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。实现位移状态可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）在附加约束上施加外力，使基本结构发生与原结构一致的结点位移。6.3位移法的基本概念qABCF1PF1P0ABCF11F11*图6.1（d）*图6.1（e）6.3位移法的基本概念

式（a）称为位移法方程。式中：称为系数；称为自由项。它们的方向规定与方向相同为正，反之为负。

求出Z1后，将*图6.1（d）,（e）两种情况叠加，即得原结构弯矩图如图所示。

ABC

原结构上原本没有附加刚臂，故基本结构附加刚臂上的约束力矩应为零。即

（a）

6.3位移法的基本概念

图示刚架基本未知量为结点C、D的水平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，得其基本结构。相应的基本体系的变形和受力情况与原结构完全相同。位移法方程

2）只有一个结点线位移的情况

6.3位移法的基本概念将k11和F1P的值代入位移法方程式，解得用叠加法作弯矩图6.3位移法的基本概念由以上分析归纳位移法计算的要点为：

1.以独立的结点位移（包括结点角位移和结点线位移）为基本未知量。2.以一系列单跨超静定梁的组合体为基本结构。3.由基本结构在附加约束处的受力与原结构一致的平衡条件建立位移法方程。先求结点位移，再计算出各杆件内力。

各种约束的单跨超静定梁由荷载及支座移动引起的杆端弯矩和杆端剪力(载、形常数)的数值可查表6.1、6.2。表6.1、6.2中

i=EI/l，称为杆件的线刚度。杆端弯矩对杆端顺时针为正，对结点或支座逆时针为正；杆端剪力仍规定顺时针为正。杆端角位移和线位移对杆端顺时针为正。杆间荷载向下为正；集中力偶顺时针为正。6.3位移法的基本概念(a)原结构(b)基本结构(c)基本体系基本体系上附加刚臂的反力矩F1及附加支杆的反力F2均为零即F1=0和F2=0

6.4位移法的典型方程(a)

设基本结构由于Z1、Z2及荷载单独作用，引起相应于Z1的附加刚臂的反力矩分别为F11、F12及F1P，引起相应于Z2的附加支座链杆的反力分别为F21、F22及F2P。根据叠加原理,可得

又设单位位移Z1=1及Z2=1单独作用时，在基本结构附加刚臂上产生的反力矩分别为k11及k21，在附加支座链杆中产生的反力分别为k12及k22，则有将式（b）代入式（a），得(b)位移法典型方程

其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反力矩和反力都应等于零。因此，它实质上反映了原结构的静力平衡条件。6.4位移法的典型方程联立解以上两个方程求出Z1和Z2后，即可按叠加原理作出弯矩图

6.4位移法的典型方程对于具有n个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入n个附加约束，根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应与原结构反力相等的平衡条件，同样可建立n个方程如下：

上式为典型方程的一般形式。式中主斜线上的系数kii称为主系数或主反力；其他系数kij称为副系数或副反力；FiP称为自由项。

系数和自由项的符号规定：以与该附加约束所设位移方向一致者为正。主反力kii恒为正值，其方向总是与所设位移Zi的方向一致；副系数和自由项则可能为正、负或零。6.4位移法的典型方程根据反力互等定理有反力的位置引起反力的原因位移法的基本未知量——结点位移（包括独立的结点转角和结点线位移）。位移法的基本体系——若干单跨超静定梁的组合体。位移法的基本方程——静力平衡方程。6.4位移法的典型方程

②选择基本体系。加附加约束，得到由若干基本单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构）；使基本结构承受原来的荷载，发生与原结构相同的位移，即可得到基本体系。

③建立位移法的典型方程。根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程。

④求系数和自由项。在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图和荷载作用下的荷载弯矩图MP图，由结点平衡和截面平衡即可求得对应系数和自由项。

⑤解方程，求基本未知量（Zi）。

6.5.1典型方程法的计算步骤①确定基本未知量数目：n=ny+nl。6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力⑥绘内力图。由叠加法绘弯矩图,由杆件平衡求杆端剪力绘剪力图,由结点平衡求杆端轴力绘轴力图。⑦校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。6.5.2举例【例6.1】试用典型方程法计算图所示连续梁，并作弯矩图，各杆EI为常数。【解】(1)确定基本未知量数目该连续梁的基本未知量为结点B的转角Z1，即n=1。(2)确定基本体系。如图所示。由于超静定结构在荷载作用下的内力分布与杆件的相对刚度相关，可令i=1，根据杆件相对刚度计算。注意：在相对刚度设定后，计算所得未知量将不再直接对应于结点的真实位移数值，而与所设定的相对刚度对应。(3)建立典型方程(4)求系数和自由项6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力(6)作最后弯矩图M图（kN·m）在本例的求解中，BC杆采用了一端固定一端铰支的单元，减少了位移法分析的计算量，在计算中也可以直接使用一般杆单元（即两端固定端杆元）进行分析，只是计算量会增加，但不会改变计算结果。(5)解方程，求基本未知量将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力【例6.2】试对上例所有杆元使用统一的一般杆单元模型进行位移法分析。【解】(1)确定基本未知量数目本例将基本未知量确定为所有的未知结点位移，即结点B的转角Z1和结点C的转角Z2。因此，n=2(2)确定基本体系如图所示。(3)建立典型方程根据结点B和结点C附加刚臂上反力偶均为零的平衡条件，有(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得

(6)作最后弯矩图6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力【*例6.2】试用位移法计算图6.11(a)所示刚架，并绘出内力图。

【解】1)

确定基本未知量，形成基本结构。

图6.11ABC4m4m4m2mEIEI2EI1EI55kN6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力2)

建立位移法方程。由1结点的附加刚臂约束力矩总和为零的条件

得ABCk11ABC55kN110kN·mF1P2i4i2i4i3i图MF图6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力ABCk112i4i2i4iABC55kN110kN·mF1P3)

求系数和自由项利用结点1的力矩平衡条件

可计算出系数和自由项如下：

3i图MF图4)

解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得

6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力6）校核位移法计算只需作平衡条件校核。取结点1为隔离体

图6.115）绘制内力图由叠加绘出最后图。利用杆件和结点的平衡条件绘出图、图，分别如图示。6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力【例6.3】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设EI=常数。

【解】：(1)确定基本未知量数目可以利用对称性取结构的1/4部分进行计算，其基本未知量只有结点A的转角Z1。

c)基本体系d)M1图e)

MP图(kN·m)(2)选择基本体系

(3)建立典型方程

(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量

(6)作最后弯矩图6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力【*例6.3】试用位移法计算图(a)所示刚架，并绘出弯矩图。已知各杆EI为常数。【解】1）选取半刚架并形成基本结构。如图(b)所示。分析可知用位移法求解图(b)所示刚架时，基本未知量只有一个，基本结构如图(c)所示。2）建立位移法方程:

6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力

3）求系数和自由项。

令，分别在图（d）、（e）中利用结点E的力矩平衡条件可计算出系数和自由项如下：

MF图F1P4）解方程求基本未知量。

6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力6）校核。在图（f）中取结点E为隔离体，验算其是否满足平衡条件可知计算无误。

5）绘制弯矩图。由叠加可绘出左半刚架的弯矩图，由结构的对称性可绘出原结构的M图，如图（f）所示。6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力【**例6.3】试用位移法计算图（a）所示刚架，并绘出弯矩图。已知各杆EI为常数。

【解】1）选取半刚架并形成基本结构。取图（b）所示半刚架进行计算，此半刚架只有一个基本未知量，即结点1的角位移Z1，其基本结构如图（c）所示。2）建立位移法方程：

6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力3）求系数和自由项。分别在图（d）、（e）中利用结点1的力矩平衡条件可计算出系数和自由项如下：MF图(kN·m)R1F4）解方程求基本未知量。

5）绘制弯矩图。如图（f）所示。6）校核。6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力复习:§6.3~6.5习题:6.6(a),6.7(a)预习:§6.5~6.6【*例6.4】试用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图。【解】1）确定基本未知量，形成基本结构。如图所示。图6.12EI4m20kN/mABCDE40kN10kN·m4m2m2mEI2EI2EI6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力2）建立位移法方程

EIABCDEEI2EI0.5EIk11k21EIABCDE2EI0.5EIk12k22EI1.5EIF1P20kN/m40kNABCDE26.6726.67302510kN·mF2P图MF图图6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力3）求系数和自由项

EIABCDEEI2EI0.5EIk11k21EIABCDE2EI0.5EIk12k22EI1.5EI图图6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力F1P20kN/m40kNABCDE26.6726.67302510kN·mF2P4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得MF图6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力5）绘制弯矩图。由叠加绘出最后图。

6）校核。取结点B和结点C为隔离体可知计算无误。

6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力【例6.4】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图，EI为常数。【解】(1)确定基本未知量数目此刚架的基本未知量为结点B和C

的角位移Z1和Z2，即n=2。(2)确定基本体系，如图所示。

(3)建立典型方程根据基本体系每个附加刚臂的总反力矩为零的条件，可列出位移法方程如下：(4)求系数和自由项k11

=

4.8＋4＋8

=

16.8

k12

=k21=

4

k22

=8+4

=

12

F1P=50－60=－10kN·m

F2P

=

60kN·m

6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力(5)解方程，求基本未知量将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1=1.94，Z2=－5.65(6)作最后弯矩图6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力【*例6.5】试用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图。【解】1）确定基本未知量，形成基本结构。基本未知量为结点1处的转角Z1和结点1、2共同的水平位移Z2。20kN/m40kN12ABEI=常数2）建立位移法方程。基本结构的附加刚臂和附加链杆中的约束力为零6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力3）求系数和自由项。令。k12k211.5i1.5i12AB12ABk11k212i4i3i12k21-1.5i012k220.75i3/16i图图6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力40kN12AB26.67kN20kN/m26.67kNF11MF图26.67kN26.67kN12F2P-40kN010kN6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得

5）绘制弯矩图。由叠加绘出M图，如（f）所示。R2F6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力

6）校核。在图（f）中取结点1为隔离体，由

再取杆12为隔离体，由可知计算无误。

R2F6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力【例6.5】试用典型方程法计算图所示结构，并作弯矩图，已知l=6m，除DE杆外，各杆EI为常数。【解】(1)确定基本未知量数目有角位移Z1;由于DE杆截面抗弯刚度无穷大，杆DE的转角q与D（B）结点的竖向线位移D之间存在直接几何变换关系

故本题基本未知量的数目为2

(2)确定基本体系

(a)基本体系一(b)基本体系二选择两个角位移作为基本未知量选择一个角位移一个线位移作为基本未知量6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力(3)建立典型方程无论是基本体系一还是基本体系二，根据位移法的基本原理，必然有(4)求系数和自由项①基本体系一②基本体系二6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力(5)解方程，求基本未知量将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得对基本体系一，有：对基本体系二，有：(6)作最后弯矩图6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力【例6.6】试用典型方程法计算图示等高排架。

【解】(1)确定基本未知量数目b)基本体系一个独立结点线位移未知量，即A、C、E的水平位移Z1。

(2)确定基本体系，如图b所示(3)建立典型方程(4)求系数和自由项a)原结构6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力再令称为第i根柱的剪力分配系数，则各柱所分配得的柱顶剪力为

（i=1，2，3）

说明：当等高排架仅在柱顶受水平集中力作用时，可首先求出各柱的剪力分配系数；然后计算出各柱顶剪力FQi；最后把每根柱视为悬臂梁绘出其弯矩图。这样就可不必建立典型方程而直接得到解答。这一方法称为剪力分配法.于是，各柱顶的剪力为式中，ri为当排架柱顶发生单位侧移时，各柱柱顶产生的剪力，反映了各柱抵抗水平位移的能力，称为排架柱的侧移刚度系数。(5)解方程，求基本未知量Z1(6)按叠加原理即可作出弯矩图。

6.5用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力

计算最后内力的叠加公式不完全相同。其最后一项应以Mc替代荷载作用时的MP，即

典型方程中的自由项不同。这里的自由项，不再是荷载引起的附加约束中的FiP，而是基本结构由于支座移动产生的附加约束中的反力矩或反力Fic，它可先利用形常数作出基本结构由于支座移动产生的弯矩图Mc图，然后由平衡条件求得。

用典型方程法计算超静结构在支座移动时的内力，其基本原理和计算步骤与荷载作用时是相同的，只是需要注意:6.6用位移法计算超静定结构在支座移动时的内力【例6.7】试用典型方程法作如图a所示结构在支座移动时的弯矩图。已知，，。【解】

(1)确定基本未知量

(2)选择基本体系

b)基本结构a)原结构(3)建立典型方程

6.6用位移法计算超静定结构在支座移动时的内力(4)求系数和自由项

(5)解方程，求基本未知量(6)作最后弯矩图

M图(kN·m)必须注意，计算支座移动引起的杆端弯矩时，必须用实际值，而不能用各杆EI的相对值。

6.6用位移法计算超静定结构在支座移动时的内力【例6.8】图示刚架的支座A下沉了0.02m，支座E沿逆时针方向转动0.01rad，试绘出刚架由此产生的弯矩图。已知EI=5.0×104kN·m2。【解】(1)确定基本体系和基本未知量(2)建立位移法方程(3)求系数和自由项6.6用位移法计算超静定结构在支座移动时的内力(4)将系数和自由项的数值代入位移法方程，得解得Z1=－20.9，Z2=27.8（5）绘出刚架的最后弯矩图

Mc图

为了计算方程中的自由项，应作出Mc图。由表6.1和6.2的形常数可计算得到基本结构由于支座移动产生的各杆固端弯矩为（6）校核

6.6用位移法计算超静定结构在支座移动时的内力复习:§6.3~6.6习题:6.8(b),6.10预习:§7.1

直接利用平衡条件建立位移法方程时，需要对每个杆件进行受力、变形分析，找出杆端内力与杆端位移及外荷载之间的关系表达式。此关系式称为转角位移方程。式6.1既为两端固定的单跨梁各种约束杆件的转角位移方程。

6.7直接利用平衡条件建立位移法方程在位移法典型方程法中,通过增设附加约束、借助基本结构、利用基本体系表达出原结构变形模式，从而建立的位移法方程，实质上就是反映原结构的平衡条件，即有结点角位移处，是结点的力矩平衡条件；有结点线位移处，是截面的投影平衡条件。

因此，根据位移法的基本原理，也可以不通过基本结构，而借助于杆件的转角位移方程，利用结点位移与杆端位移之间的协调关系，根据先“拆散”、后“组装”结构的思路，直接由原结构的结点和截面平衡条件来建立位移法方程，这就是直接平衡法。【例6.9】试用直接平衡法计算图所示刚架，并作弯矩图。已知EI=常量

【解】(1)确定基本未知量，并绘出示意图

(a)基本未知量(b)结点位移处的平衡条件(2)“拆散”，利用结点位移表示出各对应杆件的杆端位移，进行杆件分析，即根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力：①对于左柱BA（视为两端固定梁）6.7直接利用平衡条件建立位移法方程②对于横梁BC（视为B端固定，C端铰支）

③对于右柱CD（视为D端固定，C端铰支）6.7直接利用平衡条件建立位移法方程(3)“组装”，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平衡条件建立位移法方程①②取横梁BC为隔离体，由截面平衡(a)(b)以上式（a）和式（b）即为用直接平衡法建立的位移法方程，与6.4节中用典型方程法解同一例题所建立的位移法方程（典型方程）式（d）完全相同。也就是说，两种本质上相同的解法在此殊途同归。6.7直接利用平衡条件建立位移法方程(4)联立求解方程（a）和（b），求基本未知量：(5)计算杆端内力

将Z1和Z2代回第（2）步所列出的各杆的杆端弯矩表达式，即可求得

(6)作最后弯矩图

d)

M图(×ql2/184)6.7直接利用平衡条件建立位移法方程

杆左端弯矩相加杆右端弯矩相加若：转角位移方程为而杆端剪力可由平衡条件得出为

6.7直接利用平衡条件建立位移法方程图6.17一端固定、一端铰支梁（图6.17）的杆端弯矩为一端固定、一端定向支承梁（图6.18）的杆端弯矩为

图6.18各种单跨超静定梁的杆端剪力都可由下式算出。

6.7直接利用平衡条件建立位移法方程直接利用平衡条件建立图示结构的位移法方程。6.7直接利用平衡条件建立位移法方程由结点B的力矩平衡条件（图b）