结构力学第11章 结构的极限荷载与弹性稳定

第十一章结构的极限荷载与弹性稳定§11-1概述§11-2基本概念§11-3比例加载一般规律§11-4超静定结构的极限荷载计算§11-5压杆临界荷载1、弹性分析方法把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。其强度条件为2、塑性分析方法按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为§11-1概述σmax—结构的实际最大应力；[σ]—材料的容许应力；σu—材料的极限应力；k—安全系数。F—结构实际承受的荷载；Fu—极限荷载；K—安全系数。§11-1概述结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关系作合理地简化。简化为理想弹塑性材料。如图所示。OA段：材料是理想弹性的，应力与应变成正比。AB段：材料是理想塑性的，应力不变，应变可以任意增长。CD段：应力减为零时，有残余应变OD。结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一次加于结构，且各荷载按同一比例增加—比例加载。主要内容：解释几个基本概念，极限弯矩、塑性铰和极限状态。图示例：纯弯曲状态下的理想弹塑性材料的矩形截面梁。随着弯矩M的增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（见下页图）MhMb§11-2基本概念实验表明：无论在哪一个阶段，梁弯曲变形时的平面假定都成立。a)b)c)y0y0hb§11-2基本概念一、极限弯矩分析：(1)图(a)表示截面处于弹性阶段。该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，称为屈服极限y，此时的弯矩Ms称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：a)

（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，截面外边缘处成为塑性区，应力为常数，

b)y0y0§11-2基本概念=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性核，其应力为直线分布，即：(3)图(c)表示截面达到塑性流动阶段。在弹塑性阶段中，随着M增大，弹性核的高度逐渐减小，最后y00。此时相应弯矩是截面所能承受的最大弯矩，称为“极限弯矩”，即：c)§11-2基本概念比较两式可知：对于矩形截面，极限弯矩为弹性极限弯矩的1.5倍，即Mu=1.5Ms。

二、塑性铰和极限荷载在塑性流动阶段，在极限弯矩Mu保持不变的情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面产生了塑性铰。

塑性铰是单向铰。因卸载时应力增量与应变增量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。因此塑性铰§11-2基本概念只能沿弯矩增大的方向发生有限的相对转角。若沿相反方向变形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再具有铰的性质。FPul/2l/2FPuMuMu

上图示简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的增大，梁跨中截面弯矩达到极限弯矩Mu，跨中截面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，跨中挠度§11-2基本概念可以继续增大而承载力不能增大，这种状态称为极限状态，相应的荷载称为极限荷载FPu。例11-1-1

设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载作用(图a)，试求极限荷载FPu

。解：由M图知跨中截面弯矩最大，在极限荷载作用下，塑性铰将在跨中截面形成，弯矩达极限值Mu(图b)。§11-2基本概念由此得出极限荷载FPu，即有

最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它形式的截面形状，也有类似的结果。由静力条件，有：§11-2基本概念

为了保证结构的安全和正常使用，设计中除了进行强度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。§11-2基本概念

三、稳定问题1、三种不同性质的平衡稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，干扰消失，恢复原位。中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，干扰消失，不能恢复原位。结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。

图a所示理想中心受压直杆。当F值达到某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，不能回到原来的直线位置，如图b。

此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式—这种现象为压杆丧失了第一类稳定性。分支点失稳§11-2基本概念2、两类不同形式的失稳

图a所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡形式。

图b所示承受均布荷载的抛物线拱，图c所示刚架，荷载达到临界值之前处于受压状态，荷载达到临界值时出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。

图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。§11-2基本概念丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。

图a所示由塑性材料制成的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当F达到临界值Fcr时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如图b—丧失第二类稳定性。极值点失稳

工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题来处理。§11-2基本概念⑴比例加载的含义⑵假设条件一、比例加载的含义及相关假设

所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个参数FP表示;荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。①材料是理想弹塑性的。②截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等。③忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。§11-3比例加载一般规律二、可破坏荷载和可接受荷载⑴结构处于极限受力状态时必须满足的条件即所求极限荷载必须同时满足下面三个条件①平衡条件：结构处于极限状态时，结构的整体或任一局部都能维持平衡。③单向机构条件：在极限状态下，结构已有足够数量的截面内力达到极限值而使结构转化为机构，能够沿荷载作正功的方向作单向运动。。§11-3比例加载一般规律②内力局限条件(屈服条件)：在极限状态下，结构任一截面的内力都不超过其极限值。任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩⑵可破坏荷载⑶可接受荷载可破坏荷载只满足平衡条件和单向机构条件。可接受荷载只满足平衡条件和内力局限条件。将满足单向机构条件和平衡条件的荷载称为可破坏荷载。换言之对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，用表示。

将满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载。换言之如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限值，此荷载值称为可接受荷载用表示。§11-3比例加载一般规律⑴基本定理:可破坏荷载恒不小于可接受荷载，即⑷唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。若某一荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载就是极限荷载。⑵上限定理（极小定理）可接受荷载是极限荷载的下限。换言之，可接受荷载中的极大值是即极限荷载。三、比例加载的一般定理可破坏荷载是极限荷载的上限。换言之，可破坏荷载中的极小值即是极限荷载。⑶下限定理（极大定理）§11-3比例加载一般规律一、单跨超静定梁的极限荷载

为了求得极限荷载，需确定结构的破坏形态，即确定塑性铰的位置及数量。

塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载的增大，其他截面也可能出现新的塑性铰直至结构变为具有自由度的机构从而丧失承载能力为止。

极限荷载的求解无需考虑变形协调条件、结构变形的过程以及塑性铰形成的次序。§11-4超静定结构的极限荷载计算

利用静力平衡方程求极限荷载的方法称为静力法。

利用虚功方程求极限荷载的方法称为虚功法。例11-4-1

求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。1）静力法：解：结构在A、C截面出现塑性铰。FPCl/2l/2ABFPuMuCABMu解释§11-4超静定结构的极限荷载计算

令机构产生虚位移，使C截面竖向位移和荷载FPu同向，大小为δ。2）虚功法外力虚功：内力虚功：由We=Wi，可得：FPuCABMuMul/2l/2一次超静定二个塑性铰§11-4超静定结构的极限荷载计算例11-4-2

求梁的极限荷载FPu，已知极限弯矩为Mu。内力虚功由We=Wi，可得所以有quACBMuMuMu解：外力虚功ACBql/2l/2三次超静定三个塑性铰§11-4超静定结构的极限荷载计算例11-4-3

已知梁截面极限弯矩为Mu，求极限荷载

。解:塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面C。整体平衡BlqAquABl-xMuMuCx§11-4超静定结构的极限荷载计算BC段平衡quxBCMuBC段平衡quxBCMu§11-4超静定结构的极限荷载计算§11-4超静定结构的极限荷载计算例11-4-4

求图示梁的极限荷载。塑性铰的可能位置：A、B、D。ABCD解:AB段极限弯矩为，BC段极限弯矩为Mu。ABCDFPuMuMu§11-4超静定结构的极限荷载计算1）B、D截面出现塑性铰，由弯矩图可知，只有当时，此破坏形态才可能实现。ABCDFPuMuMuABCDFPuMuMu§11-4超静定结构的极限荷载计算ABCDFPuMuACDFPuMu2）A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只有当即时，此破坏形态才可能实现。§11-4超静定结构的极限荷载计算3）当时，则前面两种破坏形态均可能出现，则：

为了计算超静定结构的极限荷载，关键是确定真实的破坏形态，即塑性铰的数量及位置。无需考虑变形协调条件，也不受温度变化和支座移动等因素的影响，因为这些因素只影响变形的发展过程，并不影响极限荷载的大小。§11-4超静定结构的极限荷载计算

假设:

1）连续梁每一跨内等截面，但各跨的截面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu；

2）各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。

因此，连续梁只能在各跨独立形成破坏机构，而不能由相邻两跨联合形成破坏机构。因为各跨在竖向荷载作用下，每跨内的最大负弯矩只可能在各跨两端出现，即负塑性铰只可能出现在两端。二、连续梁的极限荷载主要讨论连续梁破坏机构的形式。§11-4超静定结构的极限荷载计算

连续梁一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力。连续梁极限荷载的求解同单跨梁。§11-4超静定结构的极限荷载计算例11-4-5

求连续梁的极限荷载。解：1)AB跨ABCMu2FPMu1.2Mu1.2Mu1.2MuFPABCFPu1MuMu§11-4超静定结构的极限荷载计算2)

BC跨ABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu注意B点§11-4超静定结构的极限荷载计算例11-4-6

在图（a）所示的连续梁中，每跨为等截面。设AB和BC跨的正极限弯矩为Mu，CD跨的正极限弯矩为2Mu；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载Fqu。(a)ABCD1.5FqlFqlFql0.5l0.5l0.75l0.75l解：分别求出各跨独立破坏时的破坏荷载。§11-4超静定结构的极限荷载计算(b)1.2MuMu注意：塑性铰处的极限弯矩与由它产生的转角方向一致。AB跨破坏时(图b)：§11-4超静定结构的极限荷载计算(c)1.2Mu1.2MuMuBC跨破坏时(图c)：CD跨破坏时(图d)：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu§11-4超静定结构的极限荷载计算比较可知，AB跨首先破坏，极限荷载为：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu§11-4超静定结构的极限荷载计算

本节仅限于讨论单层单跨刚架的极限荷载。对于刚架，首先要确定塑性铰可能产生的截面位置，然后根据可能的破坏机构用机构法或试算法求极限荷载。例11-4-7

求刚架的极限荷载。ABCDEFPFPMu1.5MuMu解：

1、机构法刚架可在A、B、C、D、E产生塑性铰。一、钢架的极限荷载§11-4超静定结构的极限荷载计算三种可能的破坏机构为：梁机构；

侧移机构；

组合机构。1）梁机构ABCDEMu1.5MuMua)

梁机构§11-4超静定结构的极限荷载计算2）侧移机构b)

侧移机构ABCDEMuMuMuMuc)

组合机构ABCDE1.5MuMuMuMu3）组合机构§11-4超静定结构的极限荷载计算可见，极限荷载为：

若分别选定上述三种破坏机构：梁机构、侧移机构和组合机构，则求出的可破坏荷载同上。

下面分别画出三种破坏机构对应的弯矩图，检验结构任一截面弯矩是否均小于Mu，若结论成立，则也是可接受荷载，因此该荷载就是极限荷载。2.试算法§11-4超静定结构的极限荷载计算1）梁机构由BD杆平衡可求得整体平衡：

故MA和ME中一定有一个数值大于Mu，不满足内力局限条件。ABCDEMu1.5MuMu§11-4超静定结构的极限荷载计算2）侧移机构用叠加法画BD杆弯矩图可得：。可见，该弯矩图不满足内力局限条件。ABCDEMu2MuMuMuMu§11-4超静定结构的极限荷载计算3）组合机构可见，该弯矩图满足屈服条件，故极限荷载为：柱DE下端剪力为：柱BA下端剪力为：由柱AB平衡可得：ABCDE0.5Mu1.5MuMuMuMu§11-4超静定结构的极限荷载计算

解：取组合机构，近似取梁BC的跨中截面产生塑性铰。MuMuABCD2MuFPMuABCD2MuMuMu例11-4-8

求刚架的极限荷载。§11-4超静定结构的极限荷载计算

作结构M图，求得跨中附近截面最大弯矩为：用因子2/2.07对进行

故不是极限荷载，应进行修正。折减得：实际上应有取两者平均值MuABCD2MuMuMu0.556Mu2.07Mu§11-4超静定结构的极限荷载计算确定临界荷载的方法静力法—应用静力平衡条件求解；能量法—应用以能量形式表示的平衡条件。结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数的数目。

图a所示支承在抗转弹簧上的刚性压杆，确定失稳时变形状态的独立参数为1，只有一个自由度。

图b所示结构，则需两个独立参数，具有两个自由度。

图c所示弹性压杆，则需无限多个独立参数，具有无限多自由度。§11-5压杆临界荷载静力法—依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件，求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值即为临界荷载。

图a所示单自由度结构，设压杆偏离竖直位置时仍处于平衡状态如图b。由∑MA=0有当时上式满足，对应原有的平衡形式位移很小时可认为故有稳定方程或特征方程对于新的平衡形式，则有§11-5压杆临界荷载由稳定方程解得结构处于随遇平衡状态，如图c中的AB段。若采用精确的方程则有若只求临界荷载，可采用近似方程求解。

当时，与F的数值仍是一一对应的，如图c中的AC段。n个自由度的结构→对新的平衡形式列出n个平衡方程n个独立参数的齐次方程系数行列式D=0的条件建立稳定方程n个根中的最小值为临界荷载§11-5压杆临界荷载例11-5-1试求图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的刚均为k。解：结构有两个自由度，失稳时A、

B点的位移如图b。设位移是微小的，由∑MB=0，∑MC=0即y1、y2不全为零，则应有展开解得临界荷载§11-5压杆临界荷载由(a)式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。将代回(a)式可得相应的位移图如图c。将代回(a)式可得相应的位移图如图d。实际结构必先以图d的形式失稳，图c只是理论上存在。§11-5压杆临界荷载例11-5-3图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一截面的弯矩为挠曲线的近似微分方程为令微分方程的通解为边界条件为代入通解得(b)§11-5压杆临界荷载

方程(b)是关于A、B、FS/F的齐次方程组，A=B=FS/F=0时满足，此时各点位移y均为零。对新的平衡形式要求三者不全为零，方程(b)的系数行列式应为零，得稳定方程为展开此超越方程图解法求解，如图b。与

交点的横坐标即为方程的根。最小根nl在3π/2≈4.7左侧附近，试算求得准确解。求得临界荷载值为§11-5压杆临界荷载势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移（就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，即Vε—结构的应变能；V—外力势能。外力势能定义为Fi—结构上的外力Δi—与外力相应的虚位移有限自由度结构→所有可能的位移状态只用有限个独立参数a1，a2，…，an即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。单自由度结构→EP只是参数a1的一元函数，势能的变分为结构处于平衡时是任意的故§11-5压杆临界荷载由可建立稳定方程以求解临界荷载。多自由度结构势能的变分为由δEP=0及δa1，δa2，…，δan的任意性，必须有

由此获得一组含a1，a2，…，an的齐次线性代数方程，要使a1，a2，…，an不全为零，则此方程组的系数行列式应为零→建立稳定方程→确定临界荷载。§11-5压杆临界荷载例11-5-4图a所示压杆EI为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k，试确定其临界荷载。解：单自由度结构失稳时发生微小的偏离如图b。弹簧的应变能为外力势能为结构的势能为若图b结构能维持平衡则有y1≠0，故临界荷载为§11-5压杆临界荷载例11-5-5用能量法求图a所示结构的临界荷载。解：结构具有两个自由度，失稳时发生