线性空间函数逼近

第三章函数逼近与计算

在科学与工程技术的很多领域，人们常碰到大量带有误差的实验数据，这时采用高次插值会出现震荡，采用分段插值则会使函数非常复杂，无法准确反映被侧函数的整体性态，因此，不适合用插值法。§1引言

如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。

一、问题的提出二、函数逼近问题的一般提法：对于函数类

中给定的函数

，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类

中寻找一个函数

，使

与

之差在某种度量意义下最小，近似代替又称逼近。注：本章中所研究的函数类

通常为区间

上的连续函数，记做

；而函数类

通常是代数多项式或三角多项式。

的函数逼近称为最佳一致逼近或均匀逼近。三、常用的度量标准：

(一)最佳一致逼近若以函数f(x)和P(x)的最大误差作为度量误差

f(x)－P(x)

“大小”的标准,在这种意义下(二)最佳平方逼近：采用作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为最佳平方逼近或均方逼近。§2最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念设函数

是区间

对于任意，如果存在多项式

，使不等式则称多项式

在区间

上一致逼近(或均匀逼近)于函数

定义上的连续函数，给定的成立，。二、最佳一致逼近多项式的存在性定理1（维尔斯特拉斯定理）

若f(x)是区间[a,b]上的连续函数，则对于任意

>0，总存在多项式

P(x)，使对一切a≤x≤b

有定理说明任意连续函数都可以用多项式来近似而且整体误差可以要多小就多小，只是多项式的次数可能高些；这个定理有许多种证明方法，公认最漂亮的是Bernstein给出的构造性的方法:如果限定多项式的次数，比如在次数不超过n的多项式集合中找一个多项式近似，那么误差会不会要多小就多小？如果不能,最大的误差会是多少？这就是本节要介绍的最佳一致逼近问题上的最佳一致逼近在能否在所有次数不超过n的代数多项式中找到一个表示由所有次数不超过n的代数多项式构成的线性空间。空间中的最佳一致逼近问题。

意义下:，使得其中，这就是三、1、算例四、上最佳一致逼近多项式的存在性

最佳一致逼近（Chebyshev）

在

中都存在对

的最佳一致逼近多项式,记为

的n次最佳一致逼近多项式。称为简称最佳逼近多项式。,使得

成立.对任意的

五、相关概念1、偏差定义

上的偏差。则称为与在注：

，集合，记作

，它有下界0.显然，若的全体组成一个2、最小偏差则称

若记集合的下确界为为

在上的最小偏差。定义

3、偏差点定义

设

若在

上有

则称

是

的偏差点。

若

若

则称

则称

为“正”偏差点。

为“负”偏差点。

4、交错点组若函数

定义

在其定义域的某一区间

个点

上存在使得

则称点集

为函数

在区间

上的一个交错点组，称为交错点。点六、上的最佳一致逼近的特征引理3.1是区间

上的连续函数，是

的n次最佳一致逼近多项式，存在正负偏差点。

则设必同时定理3

（Chebyshev定理）是区间

上的连续函数，

设则

是

的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是:

在区间

上存在一个至少由组。个点组成的交错点推论1是区间

上的连续函数，是

的n次最佳一致逼近多项式，在

内存在且保号，在区间

个点组成的交错点组，端点

都在交错点组中。

上恰好存在一个由设若则且两推论2推论3中,若存在对函数

的最佳一致逼近元，则惟一.在是区间上的连续函数，的

次最佳一致逼近多项式是

的某个

次插值多

项式。设则七、最佳一次逼近多项式1、推导过程设

，且

在内不变号，要求在上的一次最佳一致逼近多项式由推论1，在上恰好有3个点构成的交错且区间端点属于这个交错点组，组，设另一个交错点为则解得即即2、几何意义？3、举例求在上的最佳一次逼近多项式。解：由可算出故解得由得于是得的最佳一次逼近多项式为故误差限为(*)在（*）式中若令，则可得一个求根的公式八、Chebyshev多项式及其应用(1)定义称为n次Chebyshev多项式.[注]Itisveryimportant

令则而故为关于的次代数多项式。(2)性质正交性：由Tn(x)所组成的序列{Tn(x)}是在区间[-1,1]上带权

的正交多项式序列。且

递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：

奇偶性：

切比雪夫多项式

，当

为奇数时为奇函数；为偶数时为偶函数。

在区间[-1,1]上有

个不同的零点

Tn(x)

在[-1,1]上有n+1个不同的极值点使Tn(x)轮流取得最大值1

和最小值-1。

切比雪夫多项式的极值性质Tn(x)

的最高次项系数为2n-1(n=1,2,…)。

在区间[-1,1]上，在所有首项系数为1的n次多项式中,与零的偏差最小，即对于任何，有该性质又被称为Chebyshev多项式的最小模性质.注：区间上的最小零偏差多项式且其偏差为

(3)应用多项式的降阶（最小零偏差问题）在所有次数为的多项式中求多项式

,在给定的有界闭区间上与零的偏差最小。使其最小零偏差多项式问题。这一问题被称为不失一般性，可设的首项系数为1，有界闭区间为

.所讨论的对一般区间，可先将换为，考虑在上的逼近，再将换回，得到。最后寻求最小零偏差多项式的问题求的次最佳一致逼近多项式的问题。事实上等价于即求使其满足：~Pn1注：在上首项系数为1的最小零偏差多项式为。设为上的次多项式，要求在上的不超过次的最佳一致逼近多项式。？由于首项系数为1的次Chebyshev多项式无穷范数最小，故有于是例1设f(x)=4x4＋2x３－５x２＋8x-5/2，|x|≤1.求f(x)在［-1,1］中的3次最佳一致逼近元p3(x).解由f(x)的表达式可知b４＝４,注：对区间为［a,b］的情形，先作变换

x=(b-a)t/2+(b+a)/2(2)然后对变量为t的多项式用(1)式求得pn(t)，然后再作(2)式的反变换得到［a,b］上的最佳一致逼近多项式.由(1)式得p3*(x)=f(x)-4T4(x)=2x３－x２＋8x-3.首项系数为1的4次

Chebyshev多项式为:T4(x)＝x４－x２＋1/8.

近似最佳一致逼近多项式设且存在阶连续导数如何在上确定互异的插值节点使得的次插值多项式的余项最小？由插值余项定理，次插值多项式的余项为其中，其估计式为：因此，要使余项达到最小，只需使尽可能小。是一个首项系数为1的次多项式，故由Chebyshev多项式的性质，只要取~即可。而故只需取为次Chebyshev多项式的零点，即注意到注：以次Chebyshev多项式的零点作为插值节点的次拉格朗日插值多项式虽不能作为的次最佳一致逼近多项式，但由于误差分布比较均匀，因此可以作为的次近似最佳一致逼近多项式。§3

最佳平方逼近一、内积空间1、定义称二元函数为内积。设为(实)线性空间,对中每一对元素,在上定义了内积是指都有一实数，记为与之对应，且这个对应满足:（2）（1）（3）（4）则称为内积空间，2、内积的性质设是一内积空间，则对任意的，有（1）柯西—许瓦兹不等式：（2）三角不等式：3、两种重要的内积空间n维欧氏空间，内积就是两向量的数量积，即连续函数空间，内积可以定义为积分的运算或带权函数的积分运算，即或4、权函数的定义设

(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，如果具有下列性质：(1)对任意x

[a,b]，

(x)≥0；(2)积分存在，(n=0,1,2,…)；(3)对非负的连续函数g(x)

若

则在(a,b)上g(x)0。称满足上述条件的

(x)为[a,b]上的权函数。

5、Euclid范数及其性质定义设称为的Euclid范数。则称量性质对于任何下列结论成立：1、2、3、（Cauchy-Schwarz不等式）(三角不等式)(平行四边形定律)二、相关概念1、距离

线性赋范空间中两元素之间的距离为连续函数空间中，与的距离即为因此，中两点与之间的距离即为也称为2-范数意义下的距离2、正交若则称与正交。连续函数空间中，设则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权

(x)正交。

进一步，设在[a,b]上给定函数系，若满足条件则称函数系是[a,b]上带权

(x)的正交函数系。若特别地，当Ak1时，则称该函数系为标准正交函数系。若上述定义中的函数系为多项式函数系，则称之为[a,b]上带权

(x)的正交多项式系。并称是上带权(x)的

次正交多项式。3、正交化手续一般来说，当权函数及区间给定以后，可以由幂函数系利用正交化方法构造出正交多项式系。4、正交多项式的性质(1)是最高次项系数为1的次多项式.(2)任一次多项式均可表示为的线性组合.(3)当时,且与任一次数小于的多项式正交.(4)递推性其中这里且都在区间内.(5)设是在上带权项式序列,的正交多则的个根都是单重实根,三、常用的正交多项式1、第一类切比雪夫多项式(1)定义(2)性质2、Legendre(勒让德)多项式(1)定义

多项式称为n次勒让德多项式。(2)性质

正交性勒让德多项式序列是[-1,1]上带权的正交多项式序列。即递推关系相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：

奇偶性：

当n为偶数时，为偶函数；当n为奇数时，

为奇函数。在区间[-1,1]内部存在n个互异的实零点。的最高次项系数为(5)在所有首项系数为1的

次多项式中，多项式在上与零的平方误差最小。勒让德证明：设是任意一个最高项系数为1的次多项式，它可表示为于是当且仅当时等号才成立，即当时平方误差最小。3、其他常用的正交多项式(1)第二类Chebyshev(切比雪夫)多项式定义：

称为第二类切比雪夫多项式。②相邻的三项具有递推关系式：第二类切比雪夫多项式的性质：①是区间[-1,1]上带权的正交多项式序列。(2)拉盖尔(Laguerre)多项式定义：

称多项式为拉盖尔多项式。①是在区间[0,+∞]上带权

的正交多项式序列。

②相邻的三项具有递推关系式：

拉盖尔多项式的性质：(3)埃尔米特(Hermite)多项式定义：

称多项式

为埃尔米特多项式。的正交多项式序列。①是区间(-,+)上带权②相邻的三项具有递推关系式：埃尔米特多项式的性质：四、内积空间上的最佳平方逼近1．函数系的线性关系定义：设函数在区间

上连续，如果关系式当且仅当时才成立，函数在上是线性无关的，否则称线性相关。则称

连续函数在上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式定理其中，

是任意实数，则并称是生成集合的一个基底。的全体是

的一个子集，记为设是上线性无关的连续函数,对任意的为的最佳平方逼近元。2、最佳平方逼近元的定义设为线性内积空间，为上个线性无关元，记由张成的的子空间为，即定义在的子空间

中，求的在2-范数意义下的最佳逼近元，即求，使不等式对任意成立.若满足上式的存在，称3.最佳平方逼近元的存在性定理1设为线性内积空间，由线性无关组张成的线性空间

为的子空间，存在为的最佳平方逼近元.则对任意的Remark:线性内积空间的子空间

的线性无关组选取不同，在中求得的对的最佳平方逼近元

也不同，求解的难易程度也不同。4.最佳平方逼近元的充要条件定理2内积空间)为的最佳平方逼近元的充要条件是：(线性与一切正交。其中，为

的个线性无关元。REMARK：定理2中所说的与一切

正交，与一切

的内积等于零，是指即证：必要性.用反证法.设为的最佳平方逼近元，不与所有的

正交.但即存在使得则令所以必须与一切

正交.且这说明不是对的最佳平方逼近元，与假设条件矛盾，充分性.仍记

则对任意的，有而

对任意成立,即为的最佳平方逼近元。所以进而有5.最佳平方逼近元的惟一性定理3线性内积空间的子空间

中若存在对的最佳平方逼近元，则惟一.6.最佳平方逼近元的求解现假定线性内积空间上的内积已定义，并且的子空间的一组基底也确定，最佳平方逼近元.那么，对具体的被逼近元如何求使其为的由最佳平方逼近元的充要条件，若假定则可以得出其中为待定系数。恒等变形为用矩阵式表示这个方程组为此方程组称为法方程组。若所选取的一组基底满足则称其为正交基，此时五、连续函数的最佳平方逼近

1.

对于给定的函数要求函数使若这样的存在，上的最佳平方逼近函数。则称为在区间特别地，若则称为在上的次最佳平方逼近多项式。求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系数,使多元函数取得极小值。由于是关于的二次函数，故利用多元函数取得极值的必要条件，可得

(k=0,1,2,…,n)得方程组如采用函数内积记号方程组可以简写为写成矩阵形式为法方程组！

由于0,1,…,n线性无关，故Gn

0，于是上述方程组存在唯一解。从而肯定了函数f(x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必是3.举例求

在中的最佳平方逼近元。这是上的最佳平方逼近问题.解：取记因为且同样可求得所以，关于的法方程组为解得即为中对的最佳平方逼近元。4.函数按正交多项式展开设为其中上带权的正交多项式系，给定若为在上的次最佳平方逼近多项式，则由正交多项式的性质，即例：求在上的三次最佳平方逼近多项式。解：先计算即所以得所以有均方误差为最大误差为六、曲线拟合的最小二乘法1.问题提出已知测量数据：要求简单函数使得总体上尽可能小。称为“残差”这种构造近似函数的方法称为曲线拟合；合函数。称为拟2.曲线拟合的步骤：（3）根据某一逼近准则确定拟合函数的未知参数；（2）观察散点分布，选择适当的函数类来构造拟合函数；（1）根据已知条件画出散点图；这一方法称为数据拟合法，得到的函数p(x)称为拟合曲线。注：使尽可能小的度量准则:常见做法：使最小较复杂使最小线性拟合问题为了使问题的提法更具一般性，通常考虑加权平方和：确定拟合函数对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,