第四章 虚位移原理

第四章虚位移原理

第一节基本概念第二节约束和约束方程第三节自由度与广义坐标第四节虚位移与虚功的概念

第五节虚位移原理第六节广义力

本章重点应用虚位移原理求解静平衡问题1第一节基本概念FW1W2ab一、引例W1a-W2b=0秤平衡时满足给秤以，秤仍平衡ΣδW=0W1a-W2b=(W1a-W2b)=02二、虚位移原理可求解问题类型1.质点系处于静平衡状态时，主动力系力之间的关系或质点系位置量。θ32、用去掉约束代之以约束反力的方法，求约束反力。FD43、达朗伯原理加虚位移原理可求动力学问题。由于理想约束的约束反力作功之和为零，应用虚位移原理解题通常比列平衡方程更方便。5第二节约束和约束方程一、约束限制非自由质点系运动的条件。二、约束方程约束的数学表达式。3、几何约束：只限制质点、质点系的空间位置的约束。三、完整、稳定（定常）、几何约束的约束方程1、完整约束：约束方程中不含微分或微分可积。2、稳定约束：约束方程中不显含时间t。6f(x，,y，z)=0x2+y2=l2xA2+yA2=r2(xB

-xA)

2+(yB

-yA)2=l2yB=0

7约束方程的一般形式为：一般，由n个质点组成的质点系，有s个约束方程，fr(x1，,y1，z1，…，xn，,yn，zn)=0r=1，2，3，…，s8第三节自由度与广义坐标

一、自由度在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参数的数目。空间质点系：N=3n-S平面质点系：N=2n-SS：约束方程数。二、自由度的确定1.用公式计算9

N=2-1=1；N=3-1=2;N=4-3=1；102、直接判断看确定系统位置需要几个独立参数。θAl2l1BxyθBCAN=2×2-2=2N=2×3-4=2；确定质点系位置的独立变量。它可为绝对量、相对量、长度、三、广义坐标角度。取定广义坐标，各点的位置坐标可表为广义坐标的函数。11yB=0

取为广义坐标取为广义坐标12ri=ri(q1，q2，…，qN)i=1，2，3，…，n

（i=1，2，…，n）一般，由n个质点组成的质点系，具有N个自由度，取N个广义坐标，质点系任一个质点的矢径可表为：取直角坐标投影，13第四节虚位移与虚功的概念一、虚位移质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移，如在完整约束的条件下，实位移是可能的虚位移之一。可取14确定的关系。系统独立虚位移的数目和自由度相同。二、确定各之间的关系的方法各质点的位移受约束的限制，坐标不独立，各之间存在（1）由几何关系直接判断例：螺旋机构。1、几何法（2）虚速度法

各和vi对应；取和ωi对应

。

各15

例13-1

求图示曲柄连杆机构中A、B两点的虚位移之间的关系。解：(一)速度投影法给曲柄销A以图示的虚位移滑块B的对应虚位移为

（二）瞬心法PP16ADl例13-2

求图示曲柄连杆机构中A、D两点的虚位移之间的关系。解：给A以172.变分法取广义坐标，质点的位置坐标可表为：ri=ri(q1，q2，…，qN)，义坐标的关系。求变分：i=1，2，3，…，n投影到直角坐标轴上，可得3n个方程，由此可确定和广18例12-3

用变分法求A、D两点的虚位移之间的关系。

yA=ltanADlyx解：取

为广义坐标19例13-4

求双锤摆A、B点的虚位移。θAl2l1Bxy解：取、θ为广义坐标20三、虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功。

四、

理想约束约束反力所作虚功之和等于零的约束。取，理想约束的定义和动能定理中一致。取21第五节虚位移原理点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。

一、虚位移原理具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质ΣFi·δri=0

22因为：

ΣFNi·δri=0，所以有：ΣFi·δri=0证：设一质点系平衡，取mi，其受力满足

Fi+

FNi=0。给一广义坐标qi以虚位移δqi，则mi处有δri

，用δri点乘上式，Fi·δri+

FNi·δri=0i=1，2，…，n求和：ΣFi·δri+ΣFNi·δri=0证毕235.求解未知量。

二、虚位移原理的应用解题步骤：1.确定系统的自由度，选取适当的广义坐标；2.画作虚功的力；3.画虚位移图，确定各虚位移之间的关系；4.建立虚功方程；24一例13-5

在曲柄式压榨机的销钉B上作用水平力F，此力位处摩擦及杆重不计，求物体所受的压力。于平面ABC内，作用线平分∠ABC。设AB=BC，∠BAC=，各解：给δrB，作出δrC如图。

FN=αδrBδrCFN-FδrB

cosα+

FNδrC=0建立虚功方程：25例13-6

在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶，其力偶矩等于2Fl，设螺杆的螺距为h，求平衡时作用于被压榨物体上的压力。解；

系统自由的度为1。给系统以虚位移螺杆和压板得到向下位移列虚功方程

26例13-7

一夹紧装置，设刚体内压力的压强为p，活塞直径为D，尺寸如图所示，试求作用在工件上的压力。给活塞以向右的虚位移虚功方程：解：系统自由度为1，2728例题12-8

求图示滑轮系统在平衡时的值。xP+2xA=c1xB+(xB

-xA)=c2xC+(xC

-xB)=c3xQ

-xC

=c4xQ

-xC

=02xC

-xB

=02xB

-xA

=0xP

+2xA

=08xQ

=-xP解:（一）变分法利用绳长不变找几何关系OABCPxyQ29-8PxQ

+QxQ

=0

Q/P=8PxP

+

QxQ

=0由虚位移原理得:OABCPxyQ30（二）几何法δrCδrBδrAδrP给重物以虚位移δrC

，δrB=2δrCδrA=2

δrB=4δrCδrP=2

δrA=8δrC

Q/P=8PrP

-

QrQ

=0OABCPxyQ31例13-9

套筒分别置于光滑水平面上互相垂直的滑道中，受力分别为P和F，如图所示。长为l的连杆和水平方向夹角为

，摩擦均不计，求系统的平衡条件。AB解：系统自由度为1，取θ为广义坐标PFyx32yABPFIrArBx（一）几何法画虚位移图由虚位移原理得:F·rB-P·rA

=0Flsin-Pl

cos=0tg

=P/F，I为AB杆的瞬心。给B以向右的虚位移33yABxPF(二)变分法yA=lsinyA=lcos

xB=lcosxB=-lsin由虚位移原理得:-PyA-FxB

=0-Pl

cos+Flsin=0tg

=P/F34

例题13-10

多跨梁由AC和CE用铰C连接而成。荷载分布如图示，P=50kN，均布荷载q=4kN/m，力偶矩M=36kN.m；求支座A、B和E的约束反力。3m3m6m6m6mABCDEPqM35解:

解除支座A的约束，代之约束反力FA，系统获得一个自由度。rArC

B是AC杆的瞬心；

E是CE杆的瞬心。rC

=(BC)1

=(CE)2

1=22

3m3m6m6m6mACDEPMF1FAF2将均布载荷用合力代替，F1=F2=24kN。画出虚位移图。12B366FA1-1501+721+2162-362=0FA=-2kN

由虚位移原理得:rArC3m3m6m6m6mACDEPMF1FAF212rPr1r2FArA-PrP+F1r1+F2r2-M2=0作出各有关虚位移，B373m3m6m6m6mABCDEPM解除支座B的约束，代之约束反力FB

。E是CE杆的瞬心。rC

=(AC)1

=(CE)21

=2=rCF1F2FB12画虚位移图。rPrBr1r2由虚位移原理得:PrP

-FBrB+

F1r1+F2r2-M2=0作出各有关虚位移，FB=91kN

1501-6FB1+2161+2162-362=038解除支座E的约束,代之约束反力FE，rE由虚位移原理得:12FE

-72-36=0FE=9kN

3m3m6m6m6mABCDEPF1mFEF2r2FE

rE–F2r2-M=0画虚位移图。39例题2-4

组合构架如图所示。已知P=10kN，不计构件自重，求1杆的内力。2m2m2m2m2mACBP1402m2m2m2m2mACBP解:截断1杆代之内力F1和F´1。rCB为BC的瞬心。利用虚位移图得:rC

=(AC)1

=(BC)21

=2

=

BF1F´1r1r2画虚位移图。12rP41F1=5kN

由虚位移原理得:-2F11-2F'12+20P2=

0-F1cos45°r1-F'1cos45°r2+PrP=

02m2m2m2m2mACBPrCBF1F´1r1r212rP42第六节广义力一、广义力

设n个质点组成一非自由质点系，有N个自由度。选N个广义坐标，，，…，，可确定质点系的位置。选定的直角坐标系，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式：求变分

（i=1，2，…，n）

43由虚位移原理

令

令

:对应于广义坐标qk的广义力。

44二、广义力的求法1、根据公式计算

若作用于质点系的主动力为有势力，势能为EP，

452、令广义坐标中的δqj≠0，而保持其余