第5章 可压缩流体一元流动

第五章可压缩流体一元流动2/1/20231工程流体力学第5章5.1势力学基本公式3．比热容：使单位质量的气体温度升高1℃所需的热量。等容比热容（加热过程中，体积不变）1．状态方程：2．热力学第一定律：由此得内能的表达式：e=CvT2/1/20232工程流体力学第5章p为常数时，C

p=C

v+R定义比热比γ

：γ=C

p/C

v等压比热容：（加热过程时，压强不变）2/1/20233工程流体力学第5章4．焓和熵比焓h的定义：比熵函数s（p,ρ,T）2/1/20234工程流体力学第5章2/1/20235工程流体力学第5章气体状态发生变化时，如果绝热并且没有摩擦力，则熵函数保持不变，称为等熵过程。等熵过程的特点：由状态方程还可以得到：2/1/20236工程流体力学第5章5.2能量方程能量守恒定理：加入系统的热等于系统自身能量增加量以及系统对外作功之和。系统内能及其变化量：2/1/20237工程流体力学第5章对外做功量：能量方程的表达式为量：2/1/20238工程流体力学第5章

对于绝热、定常流动，能量方程为：

对于气体在管道中的一元流动，能量方程表现为：任意两个断面的能量通量相等。2/1/20239工程流体力学第5章例5.1密封大容器内的空气，温度T0=300K，外界大气的温度T=290K。求出口气流速度u。解：空气Cp=1003J/kg·K，2/1/202310工程流体力学第5章5.3声速设有管道-活塞系统。初始时,管内气体静止，参数为p，ρ，T

设活塞突然以微小速度v运动,活塞附近气体受压缩,参数变为p+dp，ρ+dρ，T+dT

活塞前方气体未受压缩,参数为p，ρ，T

压缩与未压缩区的分界面称扰动波面，它以c向左运动，2/1/202311工程流体力学第5章取波面上的运动坐标连续方程：ρcA=(ρ+dρ)(c-v)A2/1/202312工程流体力学第5章利用动量方程和连续方程，则有：2/1/202313工程流体力学第5章实验证明，微小压缩是等熵过程，声速公式：声速c的平方等于压强对于密度的变化率。定义马赫数Ma=v/c，Ma>1为超声速。Ma<1为亚声速2/1/202314工程流体力学第5章扰动波的传播设气体静止，扰动源以速度v向左运动,t=0,1,2,3时刻，扰动源所在位置为0,1,2,3。扰动源每到这些位置就发出一个声波。t=3秒的时候，球面波的半径分别为3c，2c，c，0。记为C0，C1，C2，(C3的半径为零)2/1/202315工程流体力学第5章

1．扰动源不动，声波面为同心球面；2/1/202316工程流体力学第5章

2．扰动源以亚声速v运动，v<c

音波可传到扰动源上游；2/1/202317工程流体力学第5章

3．扰动源以音速c运动，v=c2/1/202318工程流体力学第5章

4．扰动源以超声速v运动，v>c，音波不能传到扰动源上游马赫角μ的定义：sinμ=α/v=1/Ma2/1/202319工程流体力学第5章作业5-72/1/202320工程流体力学第5章5.4一元等熵流动的基本关系式能量方程：常数可以用几种参考点的参数表示。1．滞止状态(速度为零的状态)滞止状态的参数：p0，ρ0，T0，v=02/1/202321工程流体力学第5章此外，如果流动等熵，则有对空气：2/1/202322工程流体力学第5章例5.4空气等熵气流某处的参数为，v=150m/s，T=288K，p=1.3×105Pa求滞止参数p0，ρ0，T0，解：γ=1.4，R=287J/kg.KT0/T=1+0.2Ma2=1.0389

,

T0=299Kp0/p=(T0/T)3.5=1.1429p0=1.486×105Paρ0=p0/RT0=1.7317kg/m3.2/1/202323工程流体力学第5章2．临界状态气流速度v与音速c相等,即Ma=1的状态称为临界状态。其参数用下标*表示.v*

=c*，Ma=1令v/c*=Λ（速度系数）则2/1/202324工程流体力学第5章Λ与Μa关系：空气,

γ=1.42/1/202325工程流体力学第5章3．最大速度状态温度降至零,速度达最大值的状态,称为最大速度状态，T=0，v=

v

max2/1/202326工程流体力学第5章例5.6空气在管道中作等熵流动，某截面的流动参数：T=333K，p=207kPa，v=152m/s，求气流的临界参数T*，p*，ρ*解：2/1/202327工程流体力学第5章作业5-85-142/1/202328工程流体力学第5章5.5一元等熵气流在变截面管中的流动理想流体的运动方程：1.气流参数与面积变化的关系连续性方程：2/1/202329工程流体力学第5章2/1/202330工程流体力学第5章压强与面积的变化关系亚音速流,面积增大(dA>0),则速度变小,压强增大超音速流,面积增大(dA>0),则速度变大,压强减小2/1/202331工程流体力学第5章面积与马赫数关系：利用连续性方程，得2/1/202332工程流体力学第5章2.收缩喷管设气体从容器(其内的气体参数为T0,p0)经收缩喷管等熵流出。求出口速度：求质量流量：2/1/202333工程流体力学第5章当容器内的气体参数To,p

o,ρ0,固定时，Q

m是T的函数。现求最大值Qmax

。如果出口外边的气压P

e(称为背压）比P*低，则质量流量不会再增加，仍为Qmax。结论：当出口达临界状态时，即T=T*,质量流量达最大值Qmax。2/1/202334工程流体力学第5章例5-8空气气流，从高压容器经收缩喷管射出。容器内的参数：p0=2×105Pa，T0=330K,喷管出口截面Ａ＝12cm2,求：背压pe=1.2×105Pa和105Pa时的质量流量。解：先求临界压强2/1/202335工程流体力学第5章①当p

e=1.2×105时，因此喷管出口压强等于外部的背压，p=p

e=1.2×105Pa，而且出口为亚声速。Q

m=ρv

A=0.5279kg/s2/1/202336工程流体力学第5章②当P

e=105Pa时，∴出口压强P=P*，出口达临参状态Q=ρ*c*AQ

m=0.5340kg/m32/1/202337工程流体力学第5章三．喷放喷管:拉伐尔喷管气流在收缩段加速，在喉部达临界状态，在扩散段进一步加速为超音速气流。质量流量:Q=ρ*α*A*超音速流要求喷管出口有较低的压强,即P4,如果喷管出口压强较高,即P3,则气流为亚音速,如果喷管出口压强介于P3与P4,之间,即P3>p>P4,则收缩管内将出现激波.2/1/202338工程流体力学第5章例5.13空气气流在拉伐尔喷管中做等熵流动。滞止压强P0=12×105Pa，出口面积A与喉部面积A*，的比值A/A*=2.5。求出口截面压强P。解：先求出口马赫数:用迭代法求解:式中f’(x)=4.32-1.2x(1+0.2x2)22/1/202339工程流体力学第5章得Ma=2.4428,0.2395p=0.7677×106,11.5296×106Pa2/1/202340工程流体力学第5章作业5-235-242/1/202341工程流体力学第5章§5-6有摩擦和热交换的一元流动可压缩流体在管道中流动，引起流速变化的因素有：管道截面积、粘性摩擦、传热。下面推导变截面管道有摩擦和热交换的一元流动的一般方程。连续性方程:ρuA=const2/1/202342工程流体力学第5章运动方程ma=F摩擦切应力τ0可用沿程损失因数表示：改写运动方程，得到：2/1/202343工程流体力学第5章能量方程:无热交换时:有热交换时每千克质量流体的加热量有热交换时的能量方程为：2/1/202344工程流体力学第5章进一步导出能量方程的另一种形式，即传热量与速度或马赫数的关系。利用状态方程得到：将运动方程(2)改写为：2/1/202345工程流体力学第5章能量方程(3)变为：因此，变截面管道有摩擦和热交换的一元流动的一般方程为：2/1/202346工程流体力学第5章管道中，可压缩气体流动的几种特殊情况。(1)绝热、无摩擦变截面管流:dq=0,λ=0,(2)绝热、有摩擦等截面管流:dq=0,dA=0,(3)有热交换、无摩擦等截面管流:λ=0,dA=0,2/1/202347工程流体力学第5章等截面绝热摩擦管流的特点：亚音速流在等截面绝热摩擦管作加速流动：Ma<1,当dx>0时，du>0(加速流)。超音速流在等截面绝热摩擦管作减速流动：Ma>1,当dx>0时，du<0

(减速流)。下面推导等截面绝热摩擦管流的马赫数Ma与管道流程x的关系。1.等截面绝热摩擦管流2/1/202348工程流体力学第5章为便于积分用流速系数取代马赫数：2/1/202349工程流体力学第5章等截面绝热摩擦管流基本方程的积分：再用马赫数取代流速系数，得：2/1/202350工程流体力学第5章亚音速流只能加速至Ma2=1，其相应的管长称为临界管长，记作lmax。超音速流只能减速至Ma2=1，其相应的管长也称为临界管长，记作lmax。由等截面绝热摩擦管流基本方程的积分式看出：2/1/202351工程流体力学第5章1.温度关系:等截面绝热摩擦管流的温度,密度,压强的关系式2.速度关系:2/1/202352工程流体力学第5章3.密度关系:等截面绝热摩擦管流的温度,密度,压强的关系式4.压强关系:2/1/202353工程流体力学第5章例5.17亚音速流在绝热摩擦等截面管中流动,管长l=15m,管径D=25mm=0.025m，λ=0.02，入口压强p1=1.4×105

Pa，如果出口达临界状态，求入口马赫数Ma1及出口压强p*.解:出口Ma2=1,lmax=l=15m，令x=1/Ma12

,则有2/1/202354工程流体力学第5章用试算法求方程f(x)=0的近似解。入口为亚声速气流，先设Ma1=0.5，然后进一步试算。2/1/202355工程流体力学第5章解出Ma1=0.2169，然后求出口的压强。将Ma1=0.2169，Ma2=1，p2=p

*代入上式，得：p*/p1=0.1989，p*=0.1989p1=27.85kPa2/1/202356工程流体力学第5章2.有热交换的等截面无摩擦管流加热流动dq>0对亚音速流，Ma<1，dv>0(加速流)对超音速流，Ma>1，dv<0(减速流)冷却流dq<0对亚音速流，Ma<1，dv<0(减速流)对超音速流，Ma>1，dv>0(加速流)有热交换的等截面无摩擦管流的一般方程：2/1/202357工程流体力学第5章有热交换的等截面无摩擦管流的流动参数关系式运动方程的积分式：连续性方程：运动方程：2/1/202358工程流体力学第5章压强关系式连续性方程改写为：温度关系式：2/1/202359工程流体力学第5章密度关系式：每千克质量流体的加热量：2/1/202360工程流体力学第5章总温T01

与T12的关系式2/1/202361工程流体力学第5章例5.9空气-燃油的混合气体进入燃烧室燃烧，空气、燃油的质量比为29:1，油的燃值为41.87×106J/kg，气体参数：γ=1.4，R=287

J/kg.K，Cp=1005J/kg.K，进口处，T1=350K，v1=75

m/s，求进、出口的马赫数Ma1和Ma2。解：加热量与总温的关系式为2/1/202362工程流体力学第5章q=41.87×106

J/kg/30=1.3957×106J/kg,由进口处的参数计算总温T01

：每千克混合气体的燃值为：计算出口处的总温：2/1/202363工程流体力学第5章以T01,、T02,、Ma1代入总温比公式：解得：Ma2=0.6373，1.7125(舍去)2/1/202364工程流体力学第5章例5-20空气从一个大容器经收缩喷管进入直管