第12章 应力和应变分析和强度理论

第七章应力状态分析和强度理论§7–1应力状态概述

一、一点的应力状态前面研究了杆件在轴向拉伸(压缩)、扭转和弯曲时的强度问题。这些杆件的危险点（发生最大应力的点)或处于单向受力状态，或处于纯剪切状态，相应的强度条件为例：一个点的所有截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态

二、应力状态单元体

研究一点的应力状态时，常常围绕该点从受力构件中截取任意的微小正六面体，这个微小正六面体称为单元体。单元体的两个平行截面上的正应力数值相等，符号相同；单元体的两个正交截面上的剪应力数值相等，符号相反。三、应力状态的分类

单向应力状态:只有一个主应力不等于零的应力状态二向应力状态(平面应力状态):两个主应力不等于零的应力状态三向（空间）应力状态:三个主应力均不等于零的应力状态

剪应力为零的平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力，用s1、s2、s3

表示，并按代数值排列，即

s1>s2>

s3,在各个面上只有主应力（单元体的三组正交平面都是主平面）的单元体称为主单元体。§7–2二向应力状态分析一、用解析法研究二向应力状态ba图a所示的是一个平面应力状态单元体，又可以图b来表示。现在来讨论该单元体在各个方位的变化。1、任意斜截面上的应力

ασxτxσyτy

ατyσyσxτxσαταnt

αdAdAsinαdAcosαΣN=0,σαdA+τxdAcosαsinα-σxdAcosαcosα+τydAsinαcosα-σydAsinαsinα=0ΣT=0,ταdA-τxdAcosαcosα-σxdAcosαsinα+τydAsinα

sinα+σydAsinα

cosα

=0任意斜截面上的应力式(1)(2)就是任意斜截面上的应力计算式。由式(1)又可得：

式(3)表明互相垂直截面上的正应力之和是常数，与截面位置无关。

2.主应力与主平面

由式(1)，令，可得：

以表示正应力取得极值的方位，则有：

正应力随角度变化而变化，其极值等于多少？又在什么方位呢？

从式(4)可得到和相互垂直的主平面的方位。两个主平面上的正应力，一个是最大正应力，一个是最小正应力。计算式为：式(a)表示正应力为极值的截面，也就是剪应力的截面。这个截面就是主平面，极值应力就是主应力。由式(a)可得到主应力的方位：

主应力单元体见右图minmax同样最大正应力与最小正应力之和应满足式(3)，即

以表示剪应力取得极值的方位，上式可化为：

3.极值剪应力及其方位

剪应力也随角度变化而变化，同理，由式(2)，令，得：

由式(6)可得到和两个剪应力极值所在的平面，最大、最小剪应力所在平面是相互垂直的，其值为：比较式(5)和式(7)可得

比较式(4)和式(6)得：

式(9)说明

或

即：剪应力极值所在平面和主平面成45度角（见上图）。

maxminmaxmin图

中的主应力表示的单元体为主应力单元体，以主剪应力表示的单元体为主剪应力单元体。下面以实例说明数解法的求法。极值剪应力又称主剪应力。此时主剪应力所在平面上有正应力存在，其值为：

maxminmaxmin例1

已知平面应力状态如图示。试用数解法求：

①斜面上的应力并表示于图中（斜面法线与x轴成30度）；②主应力大小及方位，并绘主应力单元体；③最大剪应力大小及方位，并绘主剪应力单元体。例1图解（一）斜面上的应力

已知：

（压应力）

（拉应力）

（逆时针）将代入式(1)和式(2)可得：

（拉应力）（逆时针）将表示于图中。

（二）主应力大小及方位

将代入式(4)可得：

解出：一个主平面的方位角为，另一主平面的方位角为，将两个方位角分别代入式(1)可得两个面上的主应力。

也可由式(5)求出主应力

应当指出，由于平面应力状态单元体前后两平面是零应力平面，主应力为零，因此，它也是主平面，按三个主应力排列次序，应为：

绘主应力单元体图如下：

主应力单元体图

（三）主剪应力大小及方位

将代入式(6)(7)得：

解得：

将代入式(2)可得：为所在方位，则为所在方位。绘主剪应力单元体图于主应力单元体图中。主应力单元体图主剪应力单元体图§7–3三向应力状态

tmax的作用面与1和3作用平面夹角均为45。例题：简支梁受力如图。试定性地从梁中点5,4,3,2,1处取出应力单元体，并绘应力单元体图。

§7–4广义虎克定律a)广义虎克定律的一般形式

平面应力状态时（设）

b)主应力表示的虎克定律

二向应力状态时（设），上式为；

式中，为主应变。体积应变：

例题：

1、工字钢制成的简支梁，其弹性模量E=200GPa，泊松比=0.3。已知P=15kN，试求腹板上A点处沿0，45，90方向的线应变0，45，90，及该点处的主应变。根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象相一致，可提出如下假设：

a.平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。

b.各纵向纤维间无正应力假设：梁由无数纵向纤维组成，各纤维只受拉伸或压缩，不存在相互挤压2、已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了用实验方法测定拉力P与作用在垂直于杆轴平面内的外力偶矩m0的值，可沿轴向及与轴向成45方向测出线应变。现测得轴向应变0=50010-6，45方向的应变u=40010-6。若轴的直径D=100mm，弹性模量E=200Gpa，泊松比µ=0.3。试求P和m0的值。一、强度理论的概念及材料的两种破坏形式1．强度理论的概念前面几章中，讨论了四种基本变形时的强度条件，即a．正应力强度条件b．剪应力强度条件§7–5强度理论前式适用于单向应力状态，式左边的工作应力常为拉（压）杆横截面上的正应力或梁弯曲时最大弯矩横截面边缘处的正应力。后者适用于纯剪切应力状态，式左边的工作应力常为圆轴受扭最大扭矩横截面边缘处的剪应力或梁最大剪力横截面中性轴处的弯曲剪应力。式中的许用正应力和许用剪应力是由轴向拉（压）试验和纯剪切试验所测得的极限应力除以安全系数而得。这两类强度条件是能够直接通过试验来建立。

a．正应力强度条件b．剪应力强度条件然而，在工程实际中许多构件的危险点是处于复杂应力状态下，其应力组合的方式有各种可能性。如采用拉（压）时用的试验方法来建立强度条件，就得对材料在各种应力状态下一一进行试验，以确定相应的极限应力，这显然是难以实现的。强度理论就是根据对材料破坏现象的分析，采用判断推理的方法，提出一些假说，从而建立相应的条件。二、四种常用的强度理论（一）关于脆性断裂的强度理论1．第一强度理论（最大拉应力理论）这一理论认为最大拉应力是引起材料脆性断裂破坏的主要因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要最大拉应力达到材料在单向拉伸时断裂破坏的极限应力，就会发生脆性断裂破坏。建立的强度条件为：实践证明，该理论适合脆性材料在单向、二向或三向受拉的情况。此理论不足之处是没有考虑其它二个主应力对材料破坏的影响。2．第二强度理论（最大伸长线应变理论）这一理论认为最大伸长线应变是引起材料脆性断裂破坏的主要因素，即材料在复杂应力状态下，当最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时的最大拉应变时，材料就发生断裂破坏。建立的强度条件为：（二）关于塑性流动的强度理论1．第三强度理论（最大剪应力理论）这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就会发生塑性流动破坏。建立的强度条件为：2．第四强度理论（形状改变比能理论）这一理论认为形状改变比能是引起材料塑性流动破坏的主要因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态。只要构件危险点处的形状改变比能，达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能，就会发生塑性流动破坏。建立的强度条件为：这一理论较全面地考虑了各个主应力对强度的影响。（三）强度理论的选用1．相当应力四个强度理论可用如下统一的形式表达：式（11-5）中的称为相当应力。四个强度理论的相当应力分别为：在工程中的受力构件，经常会有一种二向应力状态（图11-3），这种应力状态的主应力为：将主应力代入第三、第四强度理论公式中可得：例1．No20a工字钢梁受力如图，已知材料的许用应力，校核其强度。例1图解：（一）画梁的剪力图和弯矩图危险截面发生在C、D截面MC=32KN·m

QC=100KN

（二）强度校核a．正应力强度校核（K1）点先绘出C截面正应力