《对数函数的性质与应用》设计

《对数函数的性质与应用第2课时》教学设计【教学目标】1.理解对数函数的图像及性质．2.能利用对数函数的性质能解决一些有关对数的大小比较和求解对数不等式．3.能利用对数函数的图像及性质研究与对数函数有关的一些简单的综合问题【教学重点】对数函数的图像及性质的应用【教学难点】与对数函数有关的综合应用【课时安排】1课时【教学过程】小试牛刀1．若log3a＜0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b＞1，则()＞1，b＞0＜a＜1，b＞0＞1，b＜0＜a＜1，b＜0D解析：由函数y＝log3x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的图像知，0＜a＜1，b＜0.2.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a＜c＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜cD解析：因为1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，所以1＞a＝log54＞log53＞(log53)2＝b.又因为c＝log45＞log44＝1.所以c＞a＞b.3.满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；解析：因为log3x＜1＝log33，所以x满足的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,log3x＜log33，))即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．4．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，当x∈(2,4]时，u＝4x－x2是减函数．又∵y＝log3u是增函数，∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．答案：(0,2]例题讲解与对数有关的大小比较【例1】比较下列各组中两个值的大小．(1)ln，ln2；(2)，(a＞0，且a≠1)；(3)，；(4)log3π，logπ3.【解】(1)因为函数y＝lnx是增函数，且＜2，所以ln＜ln2.(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又＜，所以＜；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又＜，所以＞.(3)法一：因为0＞＞，所以eq\f(1,＜eq\f(1,，即＜.法二：如图所示．由图可知＞.(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.方法总结比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性．(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．当堂练习1(1)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a⑵已知a＝，b＝，c＝，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．c＞a＞b解析：C(1)a＝log2π＞1,b＝logπ＜0,c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.B⑵a＝＝，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，＞＞，所以a＞c＞b，故选B.对数不等式【例2】(1)已知＜(x－1)，则x的取值范围为________；(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【解析】(1)∵函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，∴由＜(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＞0，,x－1＞0，,2x＞x－1，))解得x＞1，即x的取值范围是(1，＋∞)．(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，当a＞1时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,3－x＞0，,x－1≥3－x，))解得2≤x＜3.当0＜a＜1时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,3－x＞0，,x－1≤3－x，))解得1＜x≤2.综上可得，当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2,3)；当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1,2]．【答案】(1)(1，＋∞)(2)答案见解析两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.方法总结求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式．当堂练习2解下列不等式：又∵x>0，∴0<x<1，∴不等式的解集为{x|0<x<1}．(2)∵logmeq\f(2,3)<1＝logmm，∴当m>1时，m>eq\f(2,3)，即m>1；当0<m<1时，m<eq\f(2,3)，即0<m<eq\f(2,3).∴不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<m<\f(2,3)或m>1)))).(3)原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x>0，,2x－1>0，,2－x>2x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>\f(1,2)，,x<1，))∴eq\f(1,2)<x<1，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<1)))).与对数有关的函数的奇偶性判断【例3】函数f(x)=是 ()A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解析】选B.已知函数的定义域是R,关于原点对称,因为所以f(x)是奇函数.方法总结在判断含对数式的函数的奇偶性时,常常利用对数运算性质化简、变形,利用奇偶性的定义进行判断.当堂练习3函数f(x)=lg(-2x)是 ()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数A【解析】因为,所以-2x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=lg(+2x)=lg=-f(x),所以f(x)为奇函数.对数函数的综合应用【例4】求函数y＝log(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．【解】要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，所以x2＜1，即－1＜x＜1，因此函数y＝log(1－x2)的定义域为(－1，1)．令t＝1－x2，x∈(－1，1)．当x∈(－1，0]时，若x增大，则t增大，y＝logt减小，所以x∈(－1，0]时，y＝log(1－x2)是减函数；同理当x∈[0，1)时，y＝log(1－x2)是增函数．故函数y＝log(1－x2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值ymin＝log(1－02)＝0.方法总结(1)求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定要树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．当堂练习3⑴若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．⑵若函数在区间(2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是解析：⑴当0<a<1时，因为y＝ax在[0，1]上为减函数，y＝loga(x＋1)在[0，1]上也是减函数，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝eq\f(1,2)；同理，当a>1时，f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝eq\f(1,2