第13讲正方形同步教学讲义 人教版数学八年级下册

第13讲正方形知识导航1．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形既是矩形又是菱形，它既具有矩形的性质，又具有菱形的性质．3．正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形．4．矩形ABCD加上一个条件：邻边相等，就可以得到正方形ABCD．5．菱形ABCD加上一个条件：一个角是直角，就可以得到正方形ABCD．【板块一】正方形的简单证明和计算方法技巧有一内角为60°的菱形，较短的正方形是轴对称图形，对角线平分一组对角，可以用来构造对称的全等三角形；正方形的四边相等，相等的边与直角相邻，为构造全等三角形提供了一对边相等，一对角相等．题型一正方形的简单证明【例1】如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别为M，N，连接AE．求证：（1）MN＝AE；（2）AE⊥MN．【例2】如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．（1）求证：①BM＝CN；②CN⊥BM；（2）如图2，若M，N分别在OA，OB的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由．图1图2题型二正方形的简单计算【例3】点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A，B重合），连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接BE，则∠CBE等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°针对练习11．如图，点E是正方形ABCD边CD的中点，∠ABE的平分线交AD于点F，交CD延长线于点G．求证：AG＝BF．2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以点O为端点引两条互相垂直的射线OM，ON，分别交AB，BC于点E，F．（1）求证：OE＝OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．3．，正方形ABCD中，点E，F分别是对角线AC，BD上的两个动点，AC，BD相交于点O．（1）如图1，若AE＝DF，求证：AF＝BE；（2）如图2，若点E是OC的中点，DF＝BD，AF与BE的延长线交于点M，求∠M的度数；（3）若正方形的边长为3，DF＝，当射线AF与BE的夹角为45°时，则DF＝．（请直接写出结果）图1图2图3【板块二】正方形中的问题方法技巧证“a＝b”型问题常a，b将转化到等腰直角三角形中解决问题．题型三正方形中形如a＝b线段关系探究【例1】如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝＋．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④题型四

正方形中形如线段关系探究◆方法技巧◆

通过截长补短或作垂线，构造全等，构造等腰直角三角形是解决“倍线段关系问题”的关键.方法一:→补短法(或作垂线)→构造等腰直角三角形方法二:→截长法(或作垂线)→构造等腰直角三角形【例2】如图1，正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE=AB，M，N分别为AE，BC的中点，MN交ED于点H.(1)求证:∠HEB=∠HNB；

(2)如图2，过点A作AP⊥ED于点P，连接BP，求的值.

针对练习21.如图，在正方形ABCD中，E为BD上一点，F为BC上一点，且AE=EF，求证:CF=DE.2.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点(不与点C，D重合)，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，连结EF，点M为EF的中点，连结AC，BM.(1)求证:AE=AF；(2)当点E在CD上运动时(不与C，D重合)，的值是否发生变化？(3)求的值.3.已知E是正方形BC边上一点，F是CD边上一点，∠EAF=45°，AE，AF分别交BD于点G，H.(1)如图1，求证:AE=AH；BH=BE+AB；(2)如图2，求证:CE=HD.4.在正方形ABCD中，点E，F分别为AB延长线，BC边上的点，且BE=BF，连接CE，AF.(1)如图1，求证:AF⊥CE；(2)如图2，延长AF交CE于点G，作CH⊥BG于点H，求证:AG=BH；(3)分别取AC，EF的中点M，N，若AB=3，BE=1，请直接写出线段MN的长度为____.【板块三】正方形中线段的和差倍分关系题型五正方形中线段的和差关系【例1】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上一点，EG⊥AF于点H，交CD于点G，求证:BE+BF=CG.【例2】如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A(不经过顶点B，C，D)，过点B作BE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F.线段AF，CF，BE有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择图1、图2中的一种情况给予证明.

题型六

正方形中线段的倍分关系【例3】正方形ABCD中，点E在BC上，点F在AB上，且AF=BE，DF交AE于点H.(1)直按写出线段AE，DF的位置及数量关系为____________________；(2)如图1，在HD上取一点M，使HM=HA，点O为MC的中点，请写出线段DH与DO的数量关系，并证明；(3)如图2，将直线FD沿射线AE方向平移，交线段AB于点N，交AE于点I，交CD于点K，若DI=DC，求的值.针对练习31.如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，点F在边BC上，∠BAE=∠AEF.

(1)求证:∠FAE=45°；(2)求的值.2.如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，点F为CD上一点，且∠1=∠2，求证:AF=BC+CF.3.正方形ABCD与正方形有公共顶点D，连按，，点M，N分别为，的中点，连按MN.(1)如图1，当C在上时，求证:C=2MN；(2)正方形DCBA绕点D旋转到如图2的位置，其他条件不变，(1)的结论是否成立?加以证明【板块四】正方形中的折叠问题题型七正方形中折叠问题【例1】在正方形ABCD中，E，F分别在AD，BC上，将正方形沿EF折叠，使点B落在CD上的点H处，点A的对应点为点G，CH交AD于点P.(1)如图1，求证，AE+CH=FH；(2)如图2，求证:∠HBP=45°；(3)求证:PE+PG+EG=HD.【例2】已知正方形ADCD的边长是2，点P沿A→B→C→D运动，到达点D停止.(1)如图1，连接PD，AP，设点P运动的距离为x，请用x表示△APD的面积y(直接写出结果)；(2)过点D作DE⊥AP于点E.①如图2，点P在线段BC上，将△APB沿AP翻折得到△APB′，连接DB′，求∠B′DE的度数；②如图3，连接EC，若△CDE是等腰三角形，则DE=_____.(直接写出结果)针对练习41.如图，将正方形ABCD折叠，使点A与CD边上一点F重合(F不与D，C重合)，折痕为EM，点M在CB上，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形的周长为m，△FCG的周长为n，则的值为()A.B.C.D.2.如图，点E，F是正方形ABCD内的两点，且BE=AB，BF=DF，∠EBF=∠CBF，求∠BEF的度数.【板块五】构造正方形技巧题型八翻折或旋转三角形构成正方形【例1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E，若AE=10，求.【例2】如图，四辺形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，∠BAE=45°，若CD=4，求BC的长和△ABE的面积.题型九补全图形成正方形【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90°，∠BCD=150°，求∠BAD的度数.【例4】如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分別在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.(1)求证：①DE=DG.②DE⊥DG；(2)尺规作图:以线段DE，DG为边作出正方形DEFG；(要求:只保留作图痕迹，不写作法和征明)(3)连接(2)中的KF.猜想并写出四辺形CEFK是怎样的特殊四辺形.并证明你的猜想；(4)当时，请直接写出的值.针对练习1

1.如图，在四边形AECD中，∠E=∠C=90°，AE=CE，M为EC上一点，若∠MAD=45°，CD=6，CM=8，求EM的长.2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D是AB上一点，ED⊥AB，ED=AB，连接EA，EC，若∠EAC=45°，AE=10，AD=6，求BC的长.【板块六】坐标系中的正方形题型十正方形与坐标系的结合【例1】如图，A(1，0)，B(0，3)，以AB为边作正方形ABCD，求点C，D的坐标.【例2】已知A（a，0），B（b，0），C（a，b），其中a，b满足．（1）求点C的坐标和四边形OACB的面积；（2）如图，第四象限的点P（m，n）在射线AB上，且mn＝﹣14，求OP2－OA2的值；（3）如图，D是OC上一点，ED⊥OA于点E，M是CD的中点，连接BE，EM，线段BE交OC于点N，求的值．（图1）（图2）（图3）针对练习61．如图，边长为2的正方形OABC的OA边与x轴的夹角为30°，求B，C的坐标．2．如图，A（﹣3，4），四边形OABC为正方形，AB交y轴于点D．（1）求点B的坐标；（2）求点D的坐标．3．如图，E（﹣2，0），A（0，4），延长EA至点D，使AD＝AE，四边形ADCB为正方形．（1）求点C的坐标；（2）求CE的长．4．在平面直