《全称量词与存在量词》同步练习

《全称量词与存在量词》同步练习一、选择题1．下列语句是真命题的是()A．所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立C．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．有一条直线和两个相交平面都垂直解析：选AΔ<0，x2－3x＋6>0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C、D.2．下列四个命题中的真命题为()A．若sinA＝sinB，则A＝BB．∀x∈R，都有x2＋1>0C．若lgx2＝0，则x＝1D．∃x0∈Z，使1<4x0<3解析：选BA中，若sinA＝sinB，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lgx2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得eq\f(1,4)<x<eq\f(3,4)，故不存在这样的x∈Z，故D为假命题．3．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使xeq\o\al(2,0)≤x0；④∃x0∈N*，使x0为29的约数．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有xeq\o\al(2,0)≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2解析：选BA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命题．5．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)解析：选C由题意知：x0＝－eq\f(b,2a)为函数f(x)图像的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是假命题．二、填空题6．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．解析：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，非p(x0)”．∴其否定为∃x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－2x0＋1≤0.答案：∃x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－2x0＋1≤07．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④8．已知命题“∃x0∈R,2xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋eq\f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可得“对∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq\f(1,2)>0恒成立”是真命题．令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1<a<3.答案：(－1,3)三、解答题9．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图像是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图像；(3)有些四边形存在外接圆；(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．解：(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图像不是抛物线．它是假命题．(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图像．它是真命题．(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－整理得a>－3或a>－2.即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．法二：非p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c