《函数的单调性》同步练习4

《函数的单调性》同步练习（3）基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是()A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在∈(a，b)，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对∈(a，b)，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．若函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在区间I1∪I2上一定是减函数D．若函数f(x)是区间I上的增函数，且f(x1)＜f(x2)∈I)，则x1＜x2[答案]D[解析]A项中并不是对任意都成立；B项中虽然有无穷多对，但也不能代表“所有”“任意”；C项中以f(x)＝eq\f(1,x)为例，虽然在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，但在整个定义域上却不具有单调性，故选D.2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性[答案]C[解析]若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．如0＜5，但f(0)＞f(5)，故选C.3．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是()A．y＝－3x＋2 B．y＝eq\f(3,x)C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10[答案]D[解析]显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在(－eq\f(4,3)，＋∞)上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.4．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是()A．[－eq\f(1,2)，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－∞，－eq\f(1,2)] D．(－∞，＋∞)[答案]C[解析]y＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，其对称轴为x＝－eq\f(1,2)，在对称轴左侧单调递减，∴x≤－eq\f(1,2)时单调递减．5．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数mA．(－∞，－3) B．(0，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[答案]C[解析]因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即6．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则()A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(1)<f(－1)<f(2)[答案]B[解析]因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(2)<f(－1)．故选B.二、填空题7．已知f(x)是定义在R上的增函数，下列结论中，①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝eq\f(1,fx)是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数，其中错误的结论是________．[答案]①②④8．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．[答案](－∞，40]∪[64，＋∞)[解析]对称轴为x＝eq\f(k,8)，则eq\f(k,8)≤5或eq\f(k,8)≥8，得k≤40或k≥64.三、解答题9．(2015·安徽师大附中高一期中)已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)，判断f(x)在(0，＋∞)上单调性并用定义证明．[思路点拨]eq\x(作差)→eq\x(变形)→eq\x(定号)→eq\x(下结论)[解析]f(x)在(0，＋∞)上单增．证明：任取x1＞x2＞0，f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1－1,x1＋1)－eq\f(x2－1,x2＋1)＝eq\f(2x1－x2,x1＋1x2＋1)，由x1＞x2＞0知x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＞0，故f(x1)－f(x2)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单增．10．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－1x＋b－1，x＞0,－x2＋2－bx，x≤0))在R上为增函数，求实数b的取值范围．[分析]eq\x(\a\al(分别考虑两个分段,解析式的单调性))→eq\x(\a\al(再根据整体的单调,性求b的取值范围))[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－1＞0,2－b≥0,b－1≥f0))，解得1≤b≤2.①[注释]①本题在列不等式组时很容易忽略b－1≥f(0)，即只考虑到了分段函数在各自定义域上的单调性，忽略了f(x)在整个定义域上的单调性．[方法探究]解决此类问题，一般要从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一部分的式子．能力提升一、选择题1．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定[答案]D2．已知函数y＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)＜0 B．增函数且f(0)＜0C．减函数且f(0)＞0 D．增函数且f(0)＞0[答案]A[解析]∵y＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0，故选A.3．下列有关函数单调性的说法，不正确的是()A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数[答案]C[解析]∵若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)的增减性不确定．例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－eq\f(1,2)x时，则f(x)＋g(x)＝eq\f(1,2)x＋2为增函数；当g(x)＝－3x，则f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数，∴不能确定．4．如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，对于任意的∈[a，b](其中x1＜x2)，下列结论不正确的是()\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0C．f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)D．f(x2)－f(x1)＞0[答案]C[解析]∵x1∈[a，b]，x2∈[a，b]且x1＜x2，∴a≤x1＜x2≤b又f(x)在[a，b]上为增函数∴f(a)≤f(x)＜f(x2)≤f(b)，故C错，选C.二、填空题5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________．[答案][0，eq\f(3,2)][解析]y＝－(x－3)|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋3xx＞0，,x2－3xx≤0，))作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，eq\f(3,2)]．6．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f(eq\f(3,4))的大小关系为________．[答案]f(a2－a＋1)≤f(eq\f(3,4))[解析]∵a2－a＋1＝(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴f(a2－a＋1)≤f(eq\f(3,4))．三、解答题7．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≥3.[解析](1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，又f(4)＝5，∴f(2)＝3.(2)f(m－2)≥f(2)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤2,m－2＞0))，∴2＜m≤4.∴m的范围为(2,4]．8．(能力拔高题)(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图象如图所示，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)[解析](1)函数y＝x2－2x的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；其图象的对称轴是直线x＝1；区间(－∞，1]和区间[1，＋∞)关于直线x＝1对称，函数y＝x2－2x在对称轴两侧的单调性相反．(2)函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)，图象关于直线x＝0对称，在其两侧单调性相反．.(3)函数