《函数模型及其应用》备考策略

《函数模型及其应用》备考策略主标题：函数模型及其应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：函数模型，分段函数，二次函数，备考策略难度：4重要程度：5内容考点一利用图象刻画实际问题【例1】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()．解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线段，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案C【备考策略】抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．考点二二次函数模型【例2】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).由已知得f(1)＝eq\f(1,8)＝k1，g(1)＝eq\f(1,2)＝k2，所以f(x)＝eq\f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq\f(1,2)eq\r(x)(x≥0)．(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元．依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝eq\f(x,8)＋eq\f(1,2)eq\r(20－x)(0≤x≤20)．令t＝eq\r(20－x)(0≤t≤2eq\r(5))，则y＝eq\f(20－t2,8)＋eq\f(1,2)t＝－eq\f(1,8)(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元.【备考策略】二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．考点三分段函数模型【例3】某旅游景点预计2016年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(35－2xx∈N*，且1≤x≤6，,\f(160,x)x∈N*，且7≤x≤12.))(1)写出2016年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；(2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？解(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)第x个月旅游消费总额为g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x2＋40x35－2xx∈N*，且1≤x≤6，,－3x2＋40x·\f(160,x)x∈N*，且7≤x≤12，))即g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x3－185x2＋1400xx∈N*，且1≤x≤6，,－480x＋6400x∈N*，且7≤x≤12.))①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝eq\f(140,9)(舍去)．当1≤x＜5时，g′(x)＞0，当5＜x≤6时，g′(x)＜0，∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3125(万元)．②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6400是减函数，∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3040(万元)．综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3125万元．规律方法(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时