第五章刚体的定轴转动

名人名言同学们好！同学们好！人要有毅力，人要有毅力，否则将一事无成。否则将一事无成。居里夫人居里夫人第四章刚体的第五章定轴转动定轴转动刚体的rigidbodyrotationaboutafixedaxischapter5本章内容本章内容Contentschapter5刚体运动的描述刚体定轴转动定律刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律第一节ss5-1basicmotionofrigid-body刚体运动的描述刚体一、刚体在外力的作用下,物体的形状和大小不发生变化物体内任意两点间的距离都保持恒定的物体称为刚体.刚体是一种理想化的物理模型.在实际应用中,如果研究对象的形变可以忽略,则可以近似看作刚体处理.刚体可看成是由许多相对位置不变的质点组成的物体.特殊的质点系平移-1.swf平移-1.swf平移-2.swf圆周运动.SWF平动二、刚体基本运动1.平动刚体任意两点的连线,在运动过程中始终保持平行.因rA+rOr则dtdrAdtdrO+dtdr又因r恒矢量dtdrAdtdrO得即AvOvdtddtdAvOv即AaOaw吊篮的平动摩天轮的转动va任意两点具有相等的可以证明平动刚体rArOxzyoOO1O2A2A1A刚体的平动r定轴转动2.定轴转动刚体各点都绕同一直转动作圆周运动.线（转轴）定轴转动转轴的位置和方向固定不变的转动.本课程只讨论刚体的定轴转动.在日常生活中我们还会遇到其他形式的转动.例如,刚体的滚动(火车轮沿铁轨的运动).刚体的进动(倾斜的转动陀螺绕铅直轴的运动).我们不作详细讨论.定轴转动刚体的各点,在同一时间内,对轴的转角相等，但所画的弧长不等。转轴刚体注意：各质点有相同的角速度和角加速度运动参量转动方程q((tqq沿逆时针转动为正,则顺时针为负.若规定矢径r角位置qrad若刚体沿逆时针方向转动为正.dq0w则角速度ws1radtdqd1.角位置角速度角加速度转动平面参考平面((X参考方向p+d((ttp((trrOqqd转轴刚体wX参考方向p+d((ttp((trqqdrO角加速度s2radbwtddqtdd22角加速度的正负，由的正负决定。dw（1）b（2）转动是加速还是减速，由与是bw同号还是异号决定。（见下例）三、刚体定轴转动的描述在定轴情况下,和只有两个方向,可用正,负来区别.正方向正方向和同方向，角速度增大，和反方向，角速度减小。角速度增大角速度减小2.匀变速转动例例已知某定轴转动q=t24-t(SI)刚体的运动方程为求角速度方程w角加速度方程b若时刚体作逆时针转动w0试讨论该刚体的转动规律解法提要w=dtdq=dtdt24-t((=24-ts1radb=dtdw=dtd((24-t=2-s2radq4twbs1rads2radsrad1234502-2-2-2-2-2-202-4-6-034305-............逆时针减速转动顺时针加速转动可见，b0未必是减速转动。只有当与b异号时为减速转动；w与b同号时为加速转动。w结论：t=2s以前，该刚体作逆时针匀减速转动。t=2s以后，该刚体作顺时针匀加速转动。b为常量，在角线量关系定轴转动刚体的角量与线量的关系、3()batdtdvdtdrwrnavr2(wr)2rrw2POwvaatnaPrOwqddsdsqdrvdtdqdrtdwrs这些关系在质点运动中都学过，这里适用于定轴转动刚体中任一个质量元。例例已知Od飞轮直径d0.4m在20秒内转速从零均匀增到100转秒P2((3((20秒中所转的圈数时轮缘上一点求1((飞轮的NP1st的v,atna,和ab转2((N2Dtq2pqq02p2p21bt2010003((vRwbtR21dbtt162.8s1m1((bw20w0Dt10ps2rad31.4naR221dbt22t1197s2mwRb21db6.28s2mataat+na22100s2matatanarcnatanarc31.3788.2解法提要R正向O均匀增速w00w201002p200ps1radDt20s,Paatnava例例已知飞轮半径0.2mRORs2radb2t2+2时t0wq0000,求1((w时飞轮的qt2s,2((时轮缘的t1satna,,awbdt0tdt0t2t2+2((2t3+23tt29.3s1rad解法提要1((,dtdwbbdtdwwdwbdt0t0w,qdtddtdqwwddt0tqq,0wdt0tqdt0t((2t3+23t2t4+12t2t24.66rad2((b2t2+2t14s2radw2t3+23tt12.66s1radat,RbnaRw214.20.8ms2ms2aat+na221.63s2matatanarcna60.4第三节ss5-2lawofrigid-bodyrotating刚体定轴转动定律aroundafixedaxis引言或F=m

a刚体平动质点的运动定律合外力惯性质量合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？JbJbMM使刚体产生转动效果的是合外力矩转动刚体的惯性量度转动惯量转动刚体的角加速度刚体的转动定律主要概念本节力矩zyxdrOjj0F转动平面参考平面((PF转轴定轴转动刚体F力臂一、力对轴的力矩第三章讲了力对某一定点的力矩,这里讲力对某一定轴的力矩.0F外力(大小,方向)作用点P(由位置矢量r描述)Mz力矩大小sinFdFrjF对刚体转动无贡献F对刚体转动的贡献用分力分力描述Mz力对Z轴的力矩产生的力矩其矢量式为只有在转动平面上的力对转轴FzMzMzrF方向用右手螺旋法则确定jFrMz力对转轴的力矩的方向与转轴平行。Mz合力矩合力矩的概念转轴z刚体+转动平面rF1234FFF1r2r3r4jjjj1432O定轴转动刚体所受的合力矩，是转动平面上各力矩之和。左图例子中的合力矩为MzrFsinj111+rFsinj222rFsinjrFsinj333444MzSiMziSiriFsiniij先设定一个力矩计算的正方向(或转向)合力矩内力矩内力矩的概念结论刚体内力矩之和为零SMz内Mzij0刚体内各质元之间的相互作用力,称为刚体的内力.任意两个质元imdjmd的相互作用力FijijF大小相等方向相反在同一作用线上对同一转轴Z力臂相等d转轴z刚体+转动平面rOdirjFijimdjmdijF转动定律全体内力矩之和为零法向力不产生力矩arbFitfit+mirirbFifi+mirai牛顿定律Fifi+mirainnn法向Fitfit+mirait切向FitirSmirirbS2二、刚体定轴转动定律fit+irFitirSSmirirb2S两边乘ir并对全体质元求和力矩MzJ转动惯量zFifiZOrifimir刚体中任一质元的质量受的合外力合内力mir切向法向FinFiFitmir刚体定轴转动定律MJbMzJbz或续上J刚体作定轴转动时,刚体的角加速度b与刚体所受的合外力矩成正比，而与刚体对此轴的转动惯量成反比。MJbM刚体定轴转动定律角加速度转动惯量合外力矩质点运动定律与对比Fma合外力惯性质量线加速度可见J转动惯量是描述定轴转动刚体转动惯性大小的物理量说明OCRl2lOC本章只讨论密度分布均匀、有规则几何形状的刚体，其质量中心(质心)与几何中心重合，在考虑重力作用时,重力通过刚体的几何中心.匀质细直杆匀质薄圆盘和是本章用得最多的刚体.匀质薄圆盘对垂直盘面通过圆心的轴的转动惯量为匀质细杆对垂直于细杆通过杆端的轴的转动惯量为mm221JmR231Jml(下面先举几个转动定律的应用例子.关于转动惯量的推导,稍后介绍.)应用提要转动定律应用选例bJMM合外力矩应由各分力矩进行合成。在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向)，若分力矩与此向相同则为正，反之为负。bbb00bMMMM合外力矩恒与合角加速度方向一致。与时刻对应，何时则何时何时恒定则何时恒定(Nm)J(kgm)2b(rads)2M单位力矩转动惯量角加速度例解法提要分别画转动和平动隔离体受力图,然后列方程求1((2((3((物体的加速度a绳中张力滑轮对轴正压力NT1T2,例已知O匀质滑轮rm轻绳不伸长轮绳不打滑m1m2m2m1轮轴有摩擦力矩Mr滑轮对圆心轴的转动惯量为2o21JmraaABT1T1T2T2ABm1gm2gaaONmgyMr+设rb转动:T2rT1rMroJb平动:A:B:T1m1gm1agaT2m2m2((角量与线量关系:arb将上述四个关系式联立解得1((a(m2m1(gMrrm1+m2+oJr2(m2m1(gMrrm1+m2+2m(m2m1(gMrrm1+m2+2m2((T1gm1a(+(m1((gMrrm2+2m2m1+m2+2mT2gm2a((m2((gMrrm1+2m2m1+m2+2m3((Nmg+T1T2+232g+2(m2m1(g+m+4m1m2gm1+m2+2m续上求1((2((3((物体的加速度a绳中张力滑轮对轴正压力NT1T2,1((a(m2m1(gMrrm1+m2+oJr2(m2m1(gMrrm1+m2+2m(m2m1(gMrrm1+m2+2m2((T1gm1a(+(m1((gMrrm2+2m2m1+m2+2mT2gm2a((m2((gMrrm1+2m2m1+m2+2m3((Nmg+T1T2+232g+2(m2m1(g+m+4m1m2gm1+m2+2m讨论:当mMr0,0时a(m2m1(gm1+m2T1m1gm22m1+m2T2NT12m1gm24m1+m2这就退回到质点动力学的结果.解法提要例已知O匀质滑轮rm轻绳不伸长轮绳不打滑m1m2m2m1轮轴有无摩擦力矩Mr滑轮对圆心轴的转动惯量为2o21JmraaABT1T1T2T2ABm1gm2gaaONmgyMr+设rb例从垂直位置倾倒至求q角时细杆所受重力矩1((2((细杆的wb,Mo例匀质细杆长质量lmmClyxxCOgq匀质细杆以一端为轴的转动惯量为oJ231mlwb轴无摩擦l2解法提要1((匀质细直杆的质量中心在l2处的C点,重力mg对转轴O的力臂xCl2sinq细杆所受重力矩MoxCmgl2mgsinq2((由转动定律bMooJ得bMooJl2mgsinq231ml3l2gsinq由bdtdwdtdwdqdqdwdqw3l2gsinq分离变量,积分3l2gsinqdwdqw0w0qw2123l2gqcos0q3l2g((1qcos得w3lg((1qcos转动惯量三、转动惯量及其计算转动惯量J转动惯量是刚体在转动过程中,转动惯性大小的量度.miri2SiJr转动惯量是与刚体质量分布密切相关的物理量,质量分布离转轴越远,其转动惯量越大.对于质量连续分布的刚体iri2SiJmrlimmr0mr2md对于质量离散分布的刚体JSiiri2m转动惯量的单位:千克米2((kgm2例例如m1r1m2r2可忽略质量的硬杆转轴对下面这个简单的质量离散分布的刚体Jm1r1+m2r222miri2SiJ其转动惯量为下面举例计算有关质量连续分布刚体的转动惯量.例例质量为长度为的匀质细直杆.mL求转动惯量转轴垂直细杆通过杆中点1((2((转轴垂直细杆通过杆端点2rdmLmLd0J2((转轴垂直细杆通过杆端点OLm,dmd转轴xxx2xxmL313L03m1L2x2rdmL2L2mLdJmL31L2L2321mL12转轴垂直细杆通过杆中点1((Lmdmd转轴Oxxx2xxxmr2Jd由解法提要例计算均匀细圆环对垂心轴的转动惯量R2pR2mpR2dl0mR2Jr2mdORmmddlmdmpR2dlJr2md由定义式取环上任一质量元md各质量元到转轴的距离为常量rR例2mR24r40R21R2m32rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20RrJJ例求匀质薄圆盘对心垂轴的转动惯量2dmmpR2pdrr2mRdr2rrdrdm取半径为微宽为的窄环带的质量为质元OrdrRm解法提要dm移轴定理2+mJCdJAmC,L质心质心轴新轴AdJCJ对质心轴的转动惯量新轴对心轴的平移量对新轴的转动惯量dA平行移轴定理例如:JA2+mJCd21m1L2+m((L223m1L2J21m1L2Cm,CAdL2L又如:RmCAdRJCJA2+mJCd+m((23m221R2m21R2mRR2计算须知J+J1J231m1L2+2mL2具有标量叠加性对同一转轴m1L2mO匀质直杆嵌入的子弹整体的转动惯量注意质量分布分清转轴位置不规则复杂刚体半径R相同总质量m相同对同一转轴J12JJ12J总质量m相同总长度相同LJ12JJ12J不规则复杂刚体对某一转轴的转动惯量一般需要用实验方法进行测定在计算刚体的转动惯量时通常应该注意例lmrAl铁l木r铁r木10J木铁J31m231ml木2l铁10l铁((22l铁100求l木l铁铁JJ木例已知10r木r铁Am铁、木两匀质细直棒密度截面质量相等相等以一端为转轴J31ml2解法提要匀质细直棒，以一端为转轴其转动惯量小实验长杆哪个易控些？为什么？短铅笔长的易控些，理由见下页小实验例例已知qqmB()A()LmLL2LOO两匀直细杆地面q从小倾角处开始静止释放求bb两者瞬时角加速度之比1L1LLL2213singmLq1mLsingmLq1mL32122解法提要bbbJJJM根据MM短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关第四节ss5-3theoremofkineticenergyofrigid-bodyrotatingaroundafixedaxis刚体定轴转动的动能定理力矩的功Mz这正是前面讲过的力矩AdMzdq力矩的元功称刚体从q1转到2q力矩对刚体所做的功AdAq12qMzdqMz应理解为作用在刚体上所有外力对OZ轴的合外力矩.力矩的瞬时功率AMzNddtwqddtMz,若N一定,欲增大Mz则w变小.若力矩为恒力矩,则力矩的功为AMz((2qq1rqMzFrsinjdqdsrdqFcos((90jdsF此过程的元功为AdFdrFcos((90jdr作用于P点,并在转动平面内的力F刚体相应转动一元角位移dq点发生一元线位移Pdr使一、力矩的功z转动平面PrOFdqrdsdj例qd求摆至垂直位置的过程中重力矩所作的功A例匀直细杆一端为轴,由水平位置静止释放w00即0t时q00,m,()lqOCl2gmqd此重力矩使直杆转动所作的元功为AdMoqdgml2cosqqdq直杆从q00转到2p重力矩所作的总功为AdAMzdq2p0gml2cosqqd2p0gml2qsin2p0gml2摆至任一q位置时直杆所受的重力矩为qMogml2cosqM)(变的力矩大小随q解法提要l2l2cosq转动动能二、定轴转动刚体的动能和重力势能rmiviriw刚体中任一质元的速率Eik21rmivi221rmiriw22该质元的动能对所有质元的动能求和rmiri2()∑EkEik21w2∑转动惯量JzEk21w2刚体转动动能公式得JzwOzrivirmi转动动能组成刚体的所有质元重力势能的总和，式中，刚体的重力势能为:为刚体质心的高度就是刚体的重力势能rmiEp∑ighiEpmcgh转动动能定理三、刚体定轴转动的动能定理mA21v21mv212？回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理2合外力矩的功转动动能的增量刚体转动的动能定理称为dAbqdwdtdqdqdtdwdwwdJJJJzzzz则AdAqdwwdJw1q1q2w2Mzz21212wwJJ221zz由dAqdbJMzMz力矩的元功转动定律z例gml2qsin2p0gml2Aw212J0w212J由w2AJ得mJ231其中lwg3l代入得解法提要1((从水平摆至垂直,外力矩作的总功gmA02pqdcosq2l用刚体的动能定理求解方法一:用系统机械能守恒定律求解以直杆和地球为系统,O点为重力势能零点方法二:()E转动+E势末初gmJ21w2+00l2()E转动+E势得wgmJlmJ231其中l代入得wg3l例m,()匀直细杆一端为轴,由水平位置静止释放w00即0t时q00,lqOCl2gmCvaw求摆至垂直位置时的1((2((角速度w质心C的v和aqdl2cosq例例m,()匀直细杆一端为轴,由水平位置静止释放w00即0t时q00,lqOCl2gmCvaw求摆至垂直位置时的1((2((角速度w质心C的v和aqdl2cosq2((根据线量与角量的关系得摆至垂直位置时质心C的速度vwl2g3l21切向加速度tal2b由转动定律bMJ0故at0法向加速度anv22l2lg3l21((23g2故aan23gwg3l例解法提要对滑轮和重物分别运用刚体和质点的动能定理求解方法一:滑轮qr212wJ0((T0重物THm1gH212m1v0gmNTwrOTm1gv方法二:取滑轮,轻绳,重物,地球为系统应用系统的机械能定律求解wrOHv00vm1rE机械能+A非保守内力力矩A外力力矩SSS0则系统机械能增量为零0E转动动能rE平动动能rE重力势能r++0212m1v+212wJgm1H0即vrw因,J221mr代入后同样可解得v(21m1m+m1(2gH2gH因TT,Hrq,vrwJ221mr,联立解得v(21m1m+m1(2gH2gH例v00Ovm1gm1mHr轻绳不伸长轮绳不打滑J221mr轮轴无摩擦滑轮由静止释放求下行时Hm1的v已知第五节ss5-4ofrigid-bodyrotatingaroundafixedaxis刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律theoremofangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum刚体角动量定轴转动刚体的角动量是无数质元对公共转轴的角动量的叠加vimriOriwZviriwmri任一质元（视为质点）的质量,其角动量大小为Limriviriw2mririz一、定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量LwJzz大小方向(正或负)由右手螺旋法则确定全部质元的总角动量LwwJm2r()dz对质量连续分布的刚体zLLiw2mriri()wJz∑z∑z角动量定理二、刚体定轴转动的角动量定理ddtLrF回忆质点的角动量定理M0ttdLdtL0LLL0M（微分形式）（积分形式）刚体定轴转动的角动量定理bJJwtdd()dtdtdLdJwzzzzzM（微分形式）合外力矩角动量的时间变化率L000ttdtLdLLLzJwJ0wzz0zM（积分形式）合外力矩的冲量矩角动量的增量关键式Ltddz角动量定理绕定轴Z转动的刚体角动量关键式：LzJwz角动量L0L0tdttJwJw00对照质点pmv,0tdttFmvmv0Lrp,Ftddp,Ltdd,rFL0L0tdttzMzMMM线动量角动量（微分形式）（积分形式）角动量守恒三、刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体的角动量定理0Ltddz0LtddzzMzM刚体所受合外力矩由若则LJw恒量zz即刚体定轴转动的角动量守恒定律当刚体所受的合外力矩等于零时，zMJw刚体的角动量保持不变。z回转仪LwJJwZZ万向支架基座回转体（转动惯量）Z回转仪定向原理Z回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。受合外力矩为零角动量守恒wJLZZ常矢量wJ其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向某方向Z使其以角速度高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响Z回转仪模型宇航员在太空站修复回转仪J⑴转动惯量保持不变演示转台俯视动画图Jw变小则变大Jw收臂小大用外力矩启动转盘后撤除外力矩Jw张臂大小JwJwJw角动量守恒的另一类现象乘积保持不变，变小则变大，变大则变小。J⑵转动惯量可以改变花样滑冰花样滑冰张臂Jw大小Jw收臂小大高台跳水动画高台跳水共轴系统导致人台反向转动Jw轮轮Jw得人台人台末态LSi末Jw轮轮+Jw人台人台LSi0初w轮人沿某一转向拨动轮子w人台系统：轮、转台与人JJLSi0全静初态轮初人台0JwSLSiSii共轴系统若M外则恒矢量⑶共轴刚体组直升飞机直升飞机防止机身旋动的措施用尾桨用两个对转的顶桨转动与碰撞转动系统也有碰撞问题必须应用角动量概念去分析解决问题如，钢球碰悬锤木棒又因该碰撞为弹性碰撞，碰撞过程机械能守恒。系统的角动量守恒。碰撞瞬间在悬锤位置发生，碰撞过程系统对悬挂点所受合外力矩为零，动画⑷质点刚体组续上转动系统也有碰撞问题必须应用角动量概念去分析解决问题又如，子弹击入悬锤木棒击入瞬间在悬锤位置发生，击入过程系统对悬挂点所受合外力矩为零，系统的角动量守恒。但因击入过程属非弹性碰撞，故该过程机械能不守恒。动画例解法提要在铅直位置，两种碰撞过程的角动量都守恒。但机械能守恒，不守恒。((ab((对角动量守恒O+1mlv0=1mlv1+J0w机械能守恒+211mv20=211m2v1+21J0w2解得O=w21mv((1m+m3lv1=1m+m3((1mm3-vm31m若钢珠碰后反跳。例下述两种情况，碰撞阶段刚结束时求Omvl1m弹性碰撞w=杆的角速度w=钢珠的速度v1？？非弹性碰撞Omlv1mw杆、弹系统的角速度碰撞过程的机械能损失量=w？=？EDk((ab((J0=31ml2J0=31ml2+1ml2对角动量守恒O+1mlv0=wJ0解得Ow=J01mlv=1mv((1m+m3l=211mv2212EDkJ0w=211mv21m((1m+m31阶段问题用刚体角动量守恒定律求解的阶段划分和系统选择问题下摆阶段球、棒、地球系统，含转动的机械能守恒。弹碰阶段（铅垂位置）弹、棒系统，合外力矩为零角动量守恒。而且转、平动能守恒。O弹碰光滑O击入阶段（铅垂位置）弹、棒系统，合外力矩为零，角动量守恒。上摆阶段弹、棒、地球系统，含转动的机械能守恒。或选弹、棒系统，则用含转动的动能定理。击入摩擦大，动能不守恒。例已知例弹嵌于棒Olm2v0m1子弹03上摆最大转角求v0木棒联立解得6v0m11g(2l3)(())m2+2m1m2+3m1解法提要以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。wv0+m1v0lm1l+J该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆，用系统动能定理，其中非保守内力的功为零，m1gcosl(103(+21m2gcosl(103(外力（重力）的功A外0上摆末动能()m2121v+21wJ2上摆初动能31vwlJm2l2,其中例O弹碰光滑qmm地面为零势面lJ31ml2下摆阶段球、棒、地球系统，机械能守恒棒的势能改变量从摆阶到要碰但没碰棒转动动能w21J2mg21((lcosq弹碰阶段铅垂位置的瞬间过程弹、棒系统，合外力矩为零角动量守恒球棒棒球0+Jw+mlvJw后而且弹碰转、平动能守恒0++mlvJwJw后212122212棒球棒球三个独立方程，可联立解出vw后w,,三个未知数。1．如图所示，一质量M、长l的均匀细杆，以O点为轴，从静止在与竖直方向成θ0角处自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面上一质量为m的静止物体（可视为质点）发生弹性碰撞，求碰撞后M的角速度ωM和m的线速度vm

。（）θ0m解：棒自由下摆，由转动动能定理得在弹性碰撞过程中，棒与物体对转轴的角动量守恒，有由机械能守恒得2．一长为质量为M的均匀木棒，从θ角位置静止释放绕水平轴O开始转动，如图所示，已知棒绕O点转动惯量为，不计一切摩擦。求：（1）棒开始转动时的角加速度。（2）棒转到竖直位置时角速度及棒中央点C的速度。（3）当棒下垂静止时，被一质量为m，水平速度v0的子弹射入棒端并陷入其中，则棒开始转动的角速度。COmθ解：⑴由定轴转动定律⑵棒从θ角转到竖直位置过程，由机械能守恒定律⑶由角动量守恒定律完第五章完备用题集备选题集题1例aABmormlmF滑轮的2o21Jmr忽略轴摩擦欲在秒内将货物由A拖到Bt求F的大小解法提要分别画转动和平动隔离体受力图FTTb+Nmgromfaxyma平动:(货物):mgmaxTsinaf:yNmgacos0及fmNmmgacos转动:(滑轮)rbFoJTr2o21Jmr及角线量关系:arb及l21at2将上述七个关系式联立解得Fmg((sina+macos+l3tF的大小取决于m货物的a坡度角m摩擦系数l行程所限定的时间t,,,,2解法提要取ABCD、、、为系统(地球不在系统内)应用系统的动能定理A外力力矩SrE动能S系统的外力矩的总功MBrjMfrjDA外力矩SmglsinqMlr1Mflr2mglsinq皮带轮运载货物依靠静摩擦力,但一对静摩擦力的功之和为零,且一对静摩擦力矩的功之和也为零.rE动能S系统的动能增量J21w2BB+J21w2DD+21m2vv已知2JBm1r1JDm2r22,及角线量关系r1wBr2wD已知动轮转动惯量2JBm1r1从轮转动惯量JDm2r22轻皮带不伸长,与轮及货物都不打滑.机器从静止将货物带动距离为l时求的载运速率vm货物代入整理后得rE动能S21((m1+m2+m2v最后解得vl2(Mr2Mfr1mgr1sinq(((m1+m2+mr1r2r2本题也可用系统的功能原理求解静摩擦力及静摩擦力矩之和为零的情况与前相同将地球也包括在系统内选P点作为重力势能零点重力为系统内保守力.A外力力矩SMlr1Mflr2rE机械能SJ21w2BB+J21w2DD+21m2vmglsinq+解出的结果完全一样例r1r2O1O2m2m1MAmBCDq轮轮皮带货物定恒矩力矩力阻动Mf(轴对轮)(轴对轮)vPl3求细直杆对转轴OZ的角动量Lz例zqm,lwOw圆锥角q保持不变解法提要r任意长度处元长度为rd的质元的质量为dmmlrd它对OZ轴的角动量为Lzddmvrdmrw2rrOrddmqzLzLzdwrrsinqmlrdrw2rsinq((2wmlrd对全细杆积分LzLzdrsinq((2wmlrd0lrwmlsinq20l2rdsinq2wml231本题还可以从定轴转动刚体角动量的定义求解LzwJz用积分法求出Jzsinq2ml231代回定义式,得到同样结果.4求第秒时,圆盘的tw角速度角加速度b解法提要取系统:人,盘.忽略轴摩擦,合外力矩为零.系统角动量守恒.角动量守恒是对惯性系而言.一切运动参量均应相对于地面参考系.0角动量守恒:0Jw+rvm0Jw+rmv0例已知人对圆盘作圆周运动的规律为mmR1rO忽略轴摩擦At0时圆盘静止,盘对地初速V0020+avt21sta为常量圆盘转动惯量0J221m1R0Jw+m((v+Vmv0r即((w+m+atv0((+wrmv0r得212m1Rbdtdwmar2mr22+2m1R盘对地:V0Vv0,w,b人对盘:,svdtd+atv0人对地:v0v0V0+v0vv+V,0,w0,0wr注意本题的非保守内力矩的功不为零,机械能不守恒.ORmrmAvw+假设的计算正绕向解得wmatr2mr22+2m1R与假设正绕向相反5w求碰撞后木板的小球的角速度速度v1解法提要取系统:小球,木板.碰撞瞬间,系统受合角动量守恒外力矩为零,m1lv+0m1lv1+0Jw1弹性碰撞系统机械能(这里是动能)守恒2221m1v+0221m1v1+210Jw212联立,并代入m0J231l得v1m1((3mv+m1((3m2mw+m1((3mvl碰后小球速度为零若m13mm13m碰后小球反弹m13m碰后小球仍向前木板向里摆木板向里摆木板向里摆+例lm弹性撞碰已知图中矩形板的转动惯量为oom0J231l忽略轴摩擦m1v6例RROOABmvJJ忽略轴摩擦求1((2((3((子弹击中轮缘后系统的角速度w子弹击入过程中机械能的损失ED子弹击入后,由顶点A转到下端B时,子弹的速度vB+解法提要1((击入阶段取系统:子弹,轮子.系统受合外力矩为零,角动量守恒mvRJw其中JmR2+Jw得mvRmR2+J2((仍为击入阶段但要考虑机械能损失,涉及重力势能,此过程系统重力势能尚未发生变化,机械能损失等于系统的动能损失EDEDk系统初动能Ek021mv2系统末动能EkJw212((mR2+Jw212EDkEDEkEk0((mR2+J21w21mv2221mv2((1m2Rm2R+J,取系统:子弹,轮子,地球.3((击入过后由A到B转动阶段取系统:子弹,轮子,地球.系统机械能守恒选B点为重力势能零点((mR2+Jw212+mg2R((mR2+J212wBwB线角量关系vBR解得vBmm2R+Jv2+4Rg+((mRJ7例Rm1m细绳缠绕轮缘轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑O静止释放求b轮绳T解法提要Tm1g转动平动TOmRJ21mR2m1ab联立解得bm121mm1+()RgT2mm1+gm1m转动平动JbTR21mR2bg1mT1ma角~线aRb…(1)…(2)…(3)若轴有摩擦力矩Mr则(1)变为TR–

Mr=

J

βMr的测量，可通过调整m1的大小，到匀速下降时的m1则Mr=

m1gR8例细绳缠绕轮缘轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑初始静止变力((tFOOJRR求((t((twM((t((tFR解法提要Jb((tFRJbJdtdwJdwdt((tFRdww0Jdt((tFRt0w((tJdt((tFRt0MM9例

匀直细杆一端为轴水平静止释放OLm,q设mg求下摆到处的q力矩角加速度bMmgL21qcos解法提要mgq力臂由Jb求JbJm231L本题代入得：23LgqcosbmgL21qcosm231Lq0,mgL21,b23Lg2pq,0,b0讨论：在两个特殊位置上的情况MMMMM续例

匀直细杆一端为轴水平静止释放OLm,q设mg求下摆到处的q力矩角加速度bMmgL21qcos解法提要mgq力臂由Jb求JbJm231L本题代入得：23LgqcosbmgL21qcosm231Lq0,mgL21,b23Lg2pq,0,b0讨论：在两个特殊位置上的情况MMMMMJm231L由Jb求Jb本题23LgqcosbmgL21qcosm231L应用前两章学过的数学方法，还可继续求角速度w？MMbwdtd由而dtdqw得wwdbdq21w223Lgqsin,w3Lgqsin23Lgqcosb