《平面向量的数量积》试题库

《平面向量的数量积》试题库总分：144分考试时间：分钟学校__________班别__________姓名__________分数__________题号一总分得分一、单选类（共64分）1.（2013年辽宁卷）已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()．A.b＝B.C.D.2.(2015年湖南卷)已知点A,B,C在圆上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（）A.6B.7C.8D.93.[安徽宿州2015届一模]如图所示，∠xOy=60°，分别是与x轴，y轴正方向相同的单位向量，若,记,设,若的模长为1，则p+q的最大值是(). A.1B.C.D.4.[河南三市2015届调研]在平面直角坐标系xOy中，已知向量,,，点Q满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则().A.1＜r＜R＜3B.1＜r＜3≤RC.r≤1＜R＜3D.1＜r＜3＜R5.[安徽皖南八校2015届联考]如图所示,正方形ABCD的边长为2，圆D的半径为1，E是圆D上任意一点，则的最小值为(). A.B.C.D.6.[河北唐山一中2015届调研]定义域为[a，b]的函数y=f(x)的图象的两个端点A，B，M(x,y)是f(x)图象上任意一点，其中,向量，其中0为坐标原点，若不等式恒成立，则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若函数在[1，2]上“k阶线性近似”.则实数k的取值范围为().A.B.C.D.7.[云南部分名校2015届联考]如图，在扇形0AB中，∠AOB=60°,C为弧AB上与A，B不重合的一个动点，且,若存在最大值，则的取值范围为(). A.(1,3)B.C.D.8.[陕西五校2015届一模]如图，已知圆M:，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是(). A.B.[-8,8]C.[-4,4]D.9.[江南十校2015届上学期期末大联考]已知点A(1，-1),B(4,0)，C(2，2)，平面区域D是由所有满足的点P（x,y）组成的区域，若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为().A.5B.C.9D.10.[2014浙江理•8]记设为平面向量，则().A.B.C.D.11.某人以时速为akm向东行走，此时正刮着时速为akm的南风，则此人感到的风向及风速分别为（）.A.东北，B.东南，akm/hC.西南，D.东南，12.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则（）.A.||＜|v2|B.||＞|v2|C.||≤|v2|D.||≥|v2|13.一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为().A.B.C.2D.614.在△ABC中，已知向量与满足＝0且＝，则△ABC为().A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形15.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为().A.NB.5NC.10ND.N16.O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(−)·(＋−2)＝0，则△ABC是().A.以AB为底边的等腰三角形B.以BC为底边的等腰三角形C.以AB为斜边的直角三角形D.以BC为斜边的直角三角形17.一条河的宽度为d，水流的速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B处，船在静水中的速度是v1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为()。A.|v1|B.C.D.|v1|−|v2|18.O为平面中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足，点P的轨迹一定过△ABC的（）.A.外心B.内心C.重心D.垂心19.在四边形ABCD中，有·＝·＝0，则该四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.直角梯形D.矩形或直角梯形20.已知||＝1，||＝1，||＝.与夹角为90°，与夹角为45°，与夹角为45°，则（·）−（·）为（）A.B.C.D.21.若O为△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状为（）。A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.以上均不是22.在中，已知向量，，则的面积为（）。A.B.C.D.23.若向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量+表示()。A.向东北方向航行2kmB.向北偏东30°方向航行2kmC.向北偏东60°方向航行2kmD.向东北方向航行(1＋)km24.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有().A.1个B.2个C.3个D.4个25.若△ABC是边长为1的等边三角形,向量，①②与垂直③与夹角为60°④其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个26.已知D、E、F分别是△ABC三边，AB、BC、CA的中点，则的值为（）A.2B.1C.D.27.如右图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD边中点，CE与AF交于点H，设,则等于（） A.B.C.D.题号一总分得分二、填空类（共25分）1.（2013年北京卷）已知点A(1，−1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为_________2.（2013年浙江卷）中，,M是BC的中点，若，则_________。3.[江苏扬州2015届期末]已知A(0，1)，曲线C:恒过点B，若P是曲线C上的动点，且的最小值为2，则a=_________.4.[浙江宁波镇海中学2015届考前适应性训练]如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量(m，n为实数），则m+n的最大值为_________. 5.[河南2015届天一大联考]在平面直角坐标系xOy中，设直线y=-x+2与圆交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足,则r=_________.6.[2013北京文.14]已知点A(1，-l)，B(3，0)，C(2，l).若平面区域D由所有满足的点P组成，则D的面积为_________.7.某人在静水游泳时速度为4千米/小时，水的流向是由西向东，水流速度为2千米/小时，此人必须朝与水流方向成_________度角，才能沿正北方向前进.8.在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝2，则·＝_________9.已知正方形ABCD边长为1，且＝，＝，＝，则|＋＋|＝_________10.若向量＝（x，2），＝（3，x＋5）且，夹角为钝角，则x的取值范围为_________11.△ABC的面积为S，S∈（,2），·＝1且与夹角为θ，则角θ的范围为_________12.已知＝（5，4），＝（1，2）作用同一质点.由原点移动到点A（6，4），则合力对质点所做的功为_________13.如图，墙上三角架的一端C处悬挂一个重为10kg的物体，则边BC的受力情况是_________ 14.已知△ABC三点坐标分别A（1，2），B（3，1），C（4，3），且在点A、B、C处分别放置1kg、2kg、1kg重物，则此时△ABC重心坐标为_________15.二次函数y＝x²＋1的图象按向量＝（1，2）平移后得到的图象的函数解析式为_________16.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4km/h，则水流的速度为_________km/h．17.已知点，若，则点C的坐标为_________18.已知，且，则向量的坐标为_________.19.在△ABC中，已知，则＝_________题号一总分得分三、简答类（共55分）1.已知△ABC中，＝，＝.试证明三角形面积S＝.2.设，是夹角为120。的两个单位向量，＝＋2，＝2＋，求||3.设，是夹角为120。的两个单位向量，＝＋2，＝2＋，求||4.设，是夹角为120。的两个单位向量，＝＋2，＝2＋，求•.5.设向量＝（sinx，sinx），＝（cosx，sinx），函数f（x）＝·（−），求函数f（x）的最大值，最小值.6.帆船要从A处往正东方向200海里的B处，当时有西北方向吹来的风，风速为15海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，问船该以怎样的速度和方向航行?7.质点O受到两个力和的作用，已知合力＝12牛顿，||＝8牛顿，和的夹角为60°，求||及与的夹角8.如图，一个质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，两根绳子与铅垂线的夹角分别为30°和45°.求这两根绳子所承受的力（精确到）. 9.如图，在直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，），∠BDC＝90°，∠DCB＝30° 求向量的坐标 10.如图，在直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，），∠BDC＝90°，∠DCB＝30° 设向量和的夹角为θ，求cosθ的值. 11.求证:平行四边形两条对角线平方和等于四边平方之和.参考答案:一、单选类（共64分）1.C2.B3.B4.A5.D6.C7.D8.B9.C10.D11.A12.B13.A14.A15.B16.B17.C18.D19.D20.B21.C22.A23.B24.D25.B26.C27.B二、填空类（共25分）1.3 2. 3.e 4.5 5. 6.3 7.120 8.﹣4 9.2 10.（﹣，﹣6）（﹣6，﹣2） 11.＜θ＜arctan4 12.60 13.10kg,方向与相同 14.（，） 15.y＝（x−1）²＋3 16.2 17.（0，3） 18. 19. 三、简答类（共55分）1. ＝ ＝ ＝＝S 2. 3. 4. 5.f（x）＝（sinx，sinx）•（sinx−cosx，0） ＝sinx（sinx−cosx） ＝sin²x−sinxcosx ＝（1−cos2x）−sin2x ＝−sin（2x＋）. 当x＝kπ＋（k∈Z）时，＝−. 当x＝kπ＋（k∈Z）时，＝＋ 6.5海里/小时.北偏东arctan 7.||＝4，arccos 8.||≈，||＝ 9.＝（﹣，﹣） 10.cosθ＝﹣ 11.令＝，＝， 则||＝|＋|， ||＝|−|.||²＋||² ＝（＋）²＋（−）² ＝²＋2·＋²＋²−2·＋² ＝2²＋2² ＝2（||²＋||²） 解析:一、单选类（共64分）1.若B为直角，则，即a2＋a3(a3−b)＝0，又a≠0，故；若A为直角，则，即b(a3−b)＝0，得b＝a3；若O为直角，则不可能．故b−a3＝0或b−a3−＝0，故选C.2.由题意得，AC为圆的直径，故可设A(m,n)，C(-m,-n)，B(x,y)，∴，而，∴的最大值为7，故选B.3.无解析4.无解析5.无解析6.无解析7.无解析8.无解析9.无解析10.无解析11.根据向量加法的平行四边形法则，可知风向为东北方向，风速为．故A正确．12.速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得||＞|v2|．13.如下图，设代表力F1，代表力F2，则本题实际上是求与的和向量的模，由余弦定理得||2＝||＋||2−2||·||·cos∠OF1G＝4＋16−2×2×4×(−)＝28，∴||＝，故选A． 14.由·＝0知△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC．由知＜，＞＝60°，所以△ABC为等边三角形．故选A．15.如下图可知|F1|＝|F|cos60°＝5(N)． 16.∵−＝，＋−2＝−＋−＝＋， ∴·(＋)＝0， ∴△ABC为以BC为底边的等腰三角形．17.画出船过河的简图可知，实际速度是v1与v2的和，由勾股定理知选C．18.略19.无解析20.·＝1，·＝021.无解析22.无解析23.如右图，易知tanα＝，所以α＝30°．故＋方向是北偏东30°．又|＋|＝2km，故应选B． 24.一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，所以不是向量．故选D．25.略26.略27.无解析二、填空类（共25分）1.＝λ＋μ,＝(2,1)，＝(1,2)． 设P(x，y)，则＝(x−1，y＋1)．∴得 ∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，可得如图． 可得A1(3,0)，B1(4,2)，C1(6,3)， |A1B1|＝，两直线距离， ∴S＝|A1B1|·d＝3. 2.如图以C为原点建立平面直角坐标系， 设A(0，b)，B(a,0)，则M，＝(a，−b)，＝，cos∠MAB＝＝.又sin∠MAB＝，∴cos∠MAB＝.∴，整理得a4−4a2b2＋4b4＝0，即a2−2b2＝0