第3节半群与幺半群的同态与同构

第3节半群与幺半群的同态与同构主要内容:代数系统的同态与同构半群的同态与同构幺半群的同态与同构1代数系统的同态与同构定义1

设(A,∘)和(B,)是两个代数系统，如果存在映射f:AB，且x,yA

有

f(x∘y)=f(x)f(y),则称f是A到B的同态映射(简称同态)，称(A,∘)与(B,)同态(有时简称A与B同态).f(A)称为同态象.2代数系统的同态与同构同态分类：(1)

如果f是单射，则称为单同态.(2)如果f是满射，则称为满同态，这时称B是A的同态像，记作AB.(3)如果f是双射，则称为同构，也称代数系统A同构于B，记作AB.(4)如果A=B，则称作自同态.3实例(1)设(Z,+),(Zn,)．其中Z为整数集，+为普通加法；Zn={[0],[1],…,[n1]}，为模n加.令

f:Z→Zn，f(x)=[x]

则f是Z到Zn的满同态．(2)设(R,+),(R*,·)，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+和·分别表示普通加法与乘法．令f:R→R*，f(x)=ex则f是R到R*的单同态.4实例(3)设(Z,+)，其中Z为整数集，+为普通加法.aZ，令fa:ZZ，fa(x)=ax，那么fa

是Z的自同态.当a=0时称f0为零同态；当a=1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa都是单自同态.

5满同态映射保持运算的规律定理1设V1,V2是代数系统.o,∗是V1上的二元运算，o’,∗’是V2上的二元运算.如果f：V1V2是满同态，则(1)若运算o满足交换律(结合律)，则运算o’也满足交换律(结合律).(2)若运算o对运算∗满足分配律，则运算o’对运算∗’也满足分配律.6满同态映射保持运算的特异元素定理2

设V1,V2是代数系统.o,∗是V1上的二元运算，o’,∗’是V2上的二元运算.如果f：V1V2是满同态，则(1)若e为运算o的单位元，则f(e)为运算o’的单位元.(2)若为运算o的零元，则f()为运算o’的零元.(3)设uV1，若u1是

u

关于运算o的逆元，则f(u1)是

f(u)关于运算o’的逆元，即[f(u)]-1=f(u1).7定义2

设(A,∘)和(B,)是两个半群，如果存在f:AB，对x,yA

有

f(x∘y)=f(x)f(y),则称(A,∘)与(B,)同态，f称为

A到B的一个同态映射(简称同态)，f(A)称为同态象.半群的同构与同态8同态分类：半群的同构与同态如果同态f是单射，则称f是A到B的一个单同态(映射)，而称半群A

与B单同态.如果同态f是满射，则称f是A到B的一个满同态(映射)，而称半群A与B

满同态，并记为A

~B.如果同态f是双射，则称f是A到B的一个同构(映射)，而称半群A与B

同构，并记为A

B.如果同态f是双射，且A=B，则称f是A的一个自同构(映射)，而称半群A自同构.9(1)设(Z,+),(Zn,)．其中Z为整数集，+为普通加法；Zn={[0],[1],…,[n1]}，为模n加.令

f:Z→Zn，f(x)=[x]那么f是Z到Zn的满同态．(3)设(Z,+)，其中Z为整数集，+为普通加法.aZ，令fa:ZZ，fa(x)=ax，那么fa

是Z的自同态.当a=0时称f0为零同态；当a=1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa都是单自同态.(2)设(R,+),(R*,·)，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+和·分别表示普通加法与乘法．令f:R→R*，f(x)=ex则f是R到R*的单同态.实例10定理4

设(A,∘)是一个半群，(B,)是一个代数系。如果存在一个从A到B的满射f，使得x,yA有

f(x∘y)=f(x)

f(y),则(B,)是一个半群.定理3(半群的Cayley定理)

任意一个半群都同构于某个变换半群。(成立吗?)定理5

设f是半群(S1,∘)到半群(S2,)的同态，g是半群(S2,)到半群(S3,)的同态，则f与g的合成gf是(S1,∘)到(S3,)的同态.半群的同构与同态11设(A,∘)和(B,)是两个半群，f是A到B的同态.则可由f确定A上的一个等价关系Ef：x,yA

xEfy(或(x,y)Ef)f(x)=f(y)下面利用A上的运算“∘”定义A/Ef上的一个代数运算“▪”：[x],[y]A/Ef

，[x]▪[y]=[x∘y]为了证明“▪”是二元代数运算，有两种途径：(1)证明a[x],b[y]，总有[a∘b]=[x∘y]，即[x]▪[y]与[x],[y]的表示方式无关(实质上就是证明映射的“单值性”).(2)证明Ef是同余关系(随后给出定义及结论).12同余关系定义3

设是代数系(A,∘)上的等价关系.a,b,c,dA，如果ab，cd，则必有a∘cb∘d，那么称是A上的同余关系.[说明]简单的说，同余关系就是可乘的等价关系.定理6

设是代数系(A,∘)上的等价关系.定义：[x],[y]A/

，[x]▪[y]=[x∘y]，则“▪”是二元代数运算是A上的同余关系.13商半群定义4设(A,∘)和(B,)是两个半群，f是A到B的同态.

半群(A/Ef

,▪)称为商半群.定义5令γ:AA/Ef

，aA，γ(a)=[a]，则称γ为A到商半群A/Ef的自然同态.14定义6设(M1,∘,e1)和(M2,,e2)是两个幺半群，如果存在f:M1M2

，对x,yM1有

f(e1)=e2，f(x∘y)=f(x)f(y)，则称(M1,∘,e1)与(M2,,e2)是同态，f称为M1到M2的一个同态映射(简称同态)，f(M1)称为同态象.[注意](1)同态分类：同半群同态.(2)两个幺半群((M1,∘,e1)和(M2,,e2))同构定义中的条件f(e1)=e2

可以去掉，因为它可以从f(x∘y)=f(x)f(y)推出.幺半群的同构与同态15定理7(幺半群的Cayley定理)

任意一个幺半群都同构于某个变换幺半群。定理8

设(A,∘,e)是一个幺半群，(B,)是一个代数系。如果存在一个从A到B的满射f，使得x,yA有

f(x∘y)=f(x)

f(y),则f(e)是(B,)的单位元，从而(B,)是一个幺半群.幺半群的同构与同态16定理9

设(M1,∘,e1)和(M2,,e2)是两个幺半群。如果有从M1到M2的同态f

，则M1

的可逆元素x的象f(x)也可逆且

f(x-1)=[f(x)]-1.定理10

设f是幺半群(M1,∘,e1)到幺半群(M2,,e2)的同态，g是幺半群(M2,,e2)到幺半群(M3,,e3)的同态，则f与g的合成gf是(M1,∘,e1)到(M3,,e3)的同态.幺半群的同构与同态17定理11(幺半群的同态基本定理)设f是幺半群(M1,∘,e1)到幺半群(M2,,e2)的同态，则(1)同态象f(M1)是M2的一个子幺半群；(2)由f确定的等价关系Ef是同余关系，于是

(M1/Ef,▪,[e1])是幺半群；(3)存在唯一的M1/Ef到M2的单同态β使f=βγ，

其中γ为M1到M1/Ef的自然同态.(4)如果f是满同态，则M1/Ef

M2.幺半群的同态基本定理18练习设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统，判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由.如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.