《平面向量的线性运算》试题库

《平面向量的线性运算》试题库总分：258分考试时间：分钟学校__________班别__________姓名__________分数__________题号一总分得分一、单选类（共204分）1.若O是ΔABC所在平面上一点，且满足，则ΔABC的形状为().A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.若M为ΔABC所在平面内一点，且满足，则ΔABC的形状为().A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形3.化简以下各式：①；②；③；④．其结果为的个数是().A.1B.2C.3D.44.化简：=().A.B.C.D.5.下列各式中，不能化简为的是().A.+（+）B.（+）+（—）C.+D.+—6.下列各式不能化简为的是().A.B.C.D.7.在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若ΔBCD是正三角形，且E为其中心，则化简后的结果为().A.B.C.0D.8.在四边形ABCD中，=-，且||=||，则该四边形是().A.平行四边形B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等9.已知λ∈R，为非零方向，那么下列结论中正确的是().A.与的方向一定相同B.与一定共线C.D.10.已知D是ΔABC所在平面内一点，若，则=().A.1：3B.3：1C.1：2D.2：111.如图，若，，，则向量可用，表示为(). A.B.C.D.12.已知ΔABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=().A.2B.3C.4D.513.在ΔABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ=().A.B.C.D.14.如图，在ΔABC中，DC=2AD，AE=2EB，，，则用，表示为(). A.B.C.D.15.（2015年新课标全国卷I）设D为ABC所在平面内一点=3，则（）A.B.C.D.16.(2015•宁夏银川联考）如图，已知，用,表示，则等于(). A.B.C.D.17.(2015•安徽池州一模）已知点o为ABC外接圆的圆心，且，则ABC的内角A等于().A.30°B.60°C.90°D.120°18.(2015.安徽黄山一模）在四边形ABCD中，,，，则四边形ABCD的形状是().A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对19.(2015•湖南师大附中月考）设点0是边长为2的正△ABC内部一点，且满足，则△OBC的面积为().A.B.C.2D.420.(2015.江西南昌一联）已知A,B,C是平面上不共线的三点，0是△ABC的重心，动点P满足,则点P—定为△ABC的().A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点21.(2015.安徽安庆一调）在△ABC所在的平面内有一点P,如果，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是().A.B.C.D.22.(福建真题)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于().A.B.C.D.23.[2015课标全国Ⅰ理·7]设D为ΔABC所在平面内一点，，则().A.B.C.D.24.[云南部分名校2015届联考]在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，则().A.B.C.D.25.[陕西咸阳2015届模拟]已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若,则().A.B.C.3D.226.[2014课标I文•6]设分别为ΔABC的三边BC，BC，AB的中点，则().A.B.C.D.27.[2014福建文•10]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，0为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于().A.B.C.D.28.已知四边形ABCD是平行四边形，点O为空间中任意一点，设，则向量用表示为（）.A.B.C.D.29.设向量满足，则＝（）。A.1B.2C.4D.530.如图，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是()。 A.B.C.D.31.已知平面向量,则向量等于（）。A.B.C.D.32.若,则等于（）。A.（1，1）B.（-1，-1）C.（3，7）D.（-3，-7）33.设是平面上任意五点，则下列等式 ①；②；③；④；⑤.其中错误等式的个数是（）。A.1B.2C.3D.434.已知向量，不共线，实数x，y满足，则x＋y的值为()。A.3B.-2C.9D.235.下列命题：①如果非零向量与的方向相同或相反，那么＋的方向必与、之一的方向相同；②△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若、均为非零向量，则与一定相等．其中真命题的个数为()。A.0B.1C.2D.336.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝，＝，则＝()。A.B.C.D.37.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝，则＝()。A.2−B.−＋2C.−D.−＋38.已知向量a，b不共线，c＝ka+b(k∈R)，d＝a−b．如果c∥d，那么（）A.k＝1且c与d同向B.k＝1且c与d反向C.k＝−1且c与d同向D.k＝−1且c与d反向39.若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且（a+λb）⊥a，则实数λ的值是()A.-1B.0C.1D.-240.如图，在△ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是 A.B.C.D.41.如右图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD边中点，CE与AF交于点H，设,则等于（） A.B.C.D.42.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（） A.B.C.D.43.下列命题正确的个数是（） ①；②；③；④A.1B.2C.3D.444.给出下面四个命题：①；②；③；④。其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个45.若点P分有向线段所成定比为3：1，则点分有向线段所成的比为（）A.B.C.D.46.如图在平行四边形ABCD中,下列运算正确的是（） A.B.C.D.47.在边长为1的正三角形ABC中，若向量,则=（）A.B.C.D.248.已知正方形ABCD的边长为1，设，则=（）A.0B.3C.D.49.设是未知向量，、是已知向量，且满足3(＋)＋2(−)＋−−2＝0，则等于()A.-B.＋C.3−D.050.已知＝(−2，4)，＝(2，6)．则＝()A.(0，5)B.(0，1)C.(2，5)D.(2，1)51.若、、为任意向量，m∈R，下列等式不一定成立的是().A.（+）+=+(+)B.(+)·=·+·C.m(+)=m+mD.(·)·=·（·）52.已知平行六面体OABC—O′A′B′C′中,=,=,=,D是四边形OABC的中心,则（）。A.=-++B.=---C.=--D.=+53.在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是()。A.=B.+=C.-=D.+=54.已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是、、,则向量等于()。A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c55.如下图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝()。 A.B.C.D.56.如右图所示，已知D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式正确的是()。 A.＋＝B.＋＋＝0C.＋＝D.＋＝57.如下图，已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且，那么（）。 A.B.C.D.58.点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的（）。A.内心B.外心C.垂心D.重心59.正方形ABCD的边长为1，则为（）。A.1B.C.3D.60.向量=(−1，−2），=（0,1），则=()。A.B.C.D.61.设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则()。A.＋＝B.＋＝C.＋＝D.＋＋＝62.化简等于()。A.B.C.D.63.下列等式一定能成立的是()。A.＋＝B.−＝C.−＋＝D.−＝64.已知正方形ABCD的边长为1，则()。A.1B.C.D.265.如图，在平行四边形ABCD中，等于（）。 A.B.C.D.66.如下图，四边形ABCD为菱形，则下列等式成立的是（）。 A.B.C.D.67.已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则的模等于（）。A.0B.5C.D.68.如图所示，在正六边形ABCDEF中，O是它的中心，其中，，，则等于（）。 A.+B.−C.−D.−69.可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（）。A.①②B.②③C.③④D.①④70.已知＝(−2，4)，＝(2，6)．则＝()。A.(0，5)B.(0，1)C.(2，5)D.(2，1)71.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于()。A.B.C.-D.-72.已知非零向量,不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（）A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以 73.已知ABCD是菱形，则下列等式中成立的是()。A.＋＝B.＋＝C.＋＝D.＋＝74.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝().A.2B.3C.4D.575.如下图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝，＝，用，表示等于() A.B.C.D.76.已知λ∈R，则下列命题正确的是()A.|λa|＝λ|a|B.|λa|＝|λ|aC.|λa|＝|λ||a|D.|λa|＞077.设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＝2，则称A3、A4调和分割A1、A2．已知平面上的点C、D调和分割点A、B，则下面说法正确的是()A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C，D可能同时在线段AB上D.C，D不可能同时在线段AB的延长线上78.等于（）A.2a−bB.2b−aC.b−aD.−(b−a)79.如图6,平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若=a+b,且点P落在第Ⅲ部分,则实数a.、b满足.() 图6A.a.＞0,b＞0B.a.＞0,b＜0C.a.＜0,b＞0D.a.＜0,b＜080.已知向量，若，则k等于（）A.-12B.12C.D.81.△ABC中，AB边上的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝()A.a−bB.a−bC.a−bD.a−b82.已知a、b是非零向量，下列说法正确的是()A.|a|−|b|＞|a−b|B.|a|−|b|＜|a−b|C.|a|＋|b|＞|a＋b|D.|a|＋|b|≥|a＋b|83.如下图所示，下列结论不正确的是() ①＝a＋b；②＝−a−b； ③＝a−b；④＝a＋b．A.①②B.③④C.①③D.②④84.如下图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝() A.0B.C.D.85.设平面向量a1，a2，a3的和a1＋a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|i|＝2|i|，且顺时针旋转30°后与同向，其中i＝1，2，3，则()A.−b1＋b2＋b3＝0B.b1−b2＋b3＝0C.b1＋b2−b3＝0D.b1＋b2＋b3＝086.设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使＝成立的点M的个数为()A.0B.1C.5D.1087.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0， ＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心88.在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|−|，则必有()A.＝0B.＝0或＝0C.ABCD是矩形D.ABCD是正方形89.下列四个式子中，不能化简为的是()A.(＋)＋B.(＋)＋(＋)C.＋−D.−＋90.＋＋等于()A.B.C.0D.91.已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()A.a＋b＋c＋d＝0B.a−b＋c−d＝0C.a＋b−c−d＝0D.a−b−c＋d＝092.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝()A.B.C.−D.−93.化简＋−−等于()A.B.0C.D.题号一总分得分二、填空类（共33分）1.已知点G是ΔABC的重心，O是空间任一点，若，则实数λ=_________.2.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则=_________.3.已知，，若||=12，||=5，且∠AOB=90°，则=_________.4.若||=3，||=4，且∠BAC=90°，那么|-|=_________.5.设D是正三角形ABC的BC边中点，若|-|=1，则|-|=_________.6.已知G是ΔABC的重心，过G的一条直线交AB、AC两点分别于E、F，且有，，则_________.7.（2014年新课标1卷）已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为_________°．8.（2013年四川卷）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则_________.9.[2013四川理•12]在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点0,,则=_________.10.(2015.四川德阳模拟）如图所示，在△ABC中，点0是BC的中点.过点0的直线分别交直线AB、AC于M、N两点，若,,则m+n的值为_________. 11.已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若,,则的最小值是_________.12.(2015•云南大理模拟）设a,b是不共线的两个非零向量，记,,，其中均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，则_________.13.某人在静水游泳时速度为4千米/小时，水的流向是由西向东，水流速度为2千米/小时，此人必须朝与水流方向成_________度角，才能沿正北方向前进.14.已知向量a，b，且3(x+a)+2(x−2a)−4(x−a+b)＝0，则向量x用向量a，b表示的值为_________．15.已知线段AB的长度为6,与直线l的正方向的夹角为120°,则在l上的射影的长度为_________.16.若P点是△ABC所在平面α外的一点，（1）当PA＝PB＝PC时，则P在平面α内的射影是△ABC的_________．（2）P到△ABC三边的距离相等，则P在平面α内的射影是△ABC的_________．17.若△ABC满足||＝|＋|，则△ABC的形状一定为_________．18.如图，在□ABCD中，，M是BC的中点，则＝_________（用a、b表示） 19.化简＝_________20.在菱形ABCD中，,向量，则＝_________.21.已知空间三点A,B,C满足,||=4,||=5,则的值等于_________.22.已知，，且，，∠AOB＝90°，则＝_________．23.已知＝，＝λ，则λ的值为_________．24.如果3+4＝a,2+3＝b，其中a，b为已知向量，则＝_________，e2＝_________．25.给出下列运算： ①−＋＝0； ②−＋＝0； ③−(−)−＝； ④(−)−(−)＝． 其中，所有正确的序号是_________．26.在△OAB中，延长BA到C，使＝，在OB上取一点D，使＝，DC与OA交于E，设＝a，＝b，用a，b表示向量＝_________，＝_________．27.已知C是线段AB的中点，则_________．28.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空(用小写字母表示)：a+b＝_________，b+c＝_________，c−d＝_________，a+b+c−d＝_________． 29.如下图，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，若，，，则a−(b+c)＝_________． 30.如下图，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，用和来表示向量，则等于_________． 31.已知向量a，b满足a＋b＝b，且|b|＝1，则|a|＋|a＋b|＝_________．32.在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则用，表示＝_________，＝_________．33.若2(x−a)−(b−3x＋c)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝_________．34.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若＝a，＝b，则＝_________．35.在△ABC中，＝c，＝b．若点D满足＝2，则＝_________．36.A1、A2、A3是空间不共线的三点，则=_________，类比上述性质得到一般性结论为_________.37.如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=+，则实数m的值为_________。 题号一总分得分三、简答类（共21分）1.设是直角坐标系中，x轴、y轴正方向上的单位向量，设 (1)若,求m. (2)若时，求的夹角的余弦值. (3)是否存在实数m，使，若存在求出m的值，不存在说明理由.2.化简：3.化简：4.计算：(1)6(3a−2b)＋9(−2a＋b)； (2)[(3a＋2b)−a−b]−[a＋(b＋a)]； (3)6(a−b＋c)−4(a−2b＋c)−2(−2a＋c)．5.已知数轴上四点A、B、C、D的坐标分别是−4，−2，c，d． (1)若AC＝5，求c的值； (2)若|BD|＝6，求d的值； (3)若＝−3，求证：3−4．6.已知非零向量e1，e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1−e2)，求证：A7.如下图，在△ABC中，已知＝，＝． 求证：∥．8.设e1与e2是两个不共线向量,a.=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.9.设a,b为向量,计算下列各式: (1)-×3a; (2)2(a-b)-(a+b); (3)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n为实数).10.如图,ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示、、和吗? 11.凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证:=(+).12.如图,A,B,C是平面内三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,求证：存在实数λ,使得=λ+(1-λ) 13.已知向量e1、e2(如图4),求作向量+3e2. 14.如图,M是△内一点,且满足条件+2+3=0,延长CM交于N,令=a.,试用a.表示. 15.如图,△中,为△边上的中线且=2EC,求及的值. 16.过△的重心G的直线与边OA.、OB分别交于P、Q,设=h,=k,试证:=3.17.已知G为△的重心,设=a.,=b,试用a.、b表示向量.18.如图所示,已知在△中,D、E、L分别是BC、CA.、的中点,设中线、BE相交于点P. 求证:、BE、CL三线共点.19.已知e、f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝−4e−f，＝−5e−3f． (1)将用e、f表示； (2)证明四边形ABCD为梯形．20.如下图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，． 21.如下图所示，已知向量a、b、c，试求作和向量a+b+c． 22.如下图所示，已知四边形ABCD，在边AB、BC、CD、DA上各取一点P、Q、R、S，使，，，，其中a，b，c是常数，λ是参数，试讨论是否与λ有关． 23.凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证：．24.如下图所示，在ABCD中，，，用向量a、b表示、，并回答下面几个问题： （1）当a、b满足什么条件时，a+b与a−b垂直？ （2）当ABCD满足什么条件时，|a+b|＝|a−b|? （3）a+b与a−b有可能是相等向量吗？25.如下图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，试求|a＋b＋c|的大小． 26.已知：□ABCD，它的顶点A、B、C、D相对于点O的位置向量记作a，b，c，d．求证：a＋c＝b＋d．27.如右图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b−c． 28.在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上，取两点E、F，使BE＝DF，用向量方法证明：四边形AECF也是平行四边形．29.(1)如下图所示，已知三个向量a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a＋b＋c； (2)某人先位移向量a：“向北走2km”，接着再位移向量b：“向东走2km”，求a＋b．30.G是△ABC的重心，求证：＋＋＝0．31.如下图所示，在正六边形A1A2A3A4A5A6中，已知＝p，＝q，试用p，q表示向量，，，． 32.已知菱形ABCD的边长为1，它的一个内角∠BAC＝60°，＝a，＝b，求|a＋b|的值．33.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： (1)＋＋； (2)＋＋．34.求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．35.设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，第四个顶点为H．试用a、b、c表示、、．36.用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．37.如下图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及． 38.(1)化简： ①8(2a−b＋c)−6(a−2b＋c)−2(2a＋c)； ②(m＋n)(a−b)−(m＋n)(a＋b)． (2)设x是未知向量，①解方程5(x＋a)＋3(x−b)＝0； ②解方程(x−a)−(a−x−2b)＝0．39.如下图，已知□ABCD的两条对角线交于E，O是任意一点，求证：＋＋＋＝4． 40.如下图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，点C为对角线OD与BA的交点，且＝，＝，试用a、b表示向量、、． 41.如下图所示，已知＝3e1，＝3e2． (1)如图(1)，C、D为AB的三等分点，求，； (2)如图(2)，C、D、E为AB的四等分点，求，．42.(1)化简[(4a−3b)＋b−(6a−7b)]； (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i−j，求(a−b)−(a−b)＋(2b−a)； (3)设x、y是未知向量，a，b是已知向量，解方程组43.如右图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN＝BD． 求证：M、N、C三点共线．44.如下图，已知点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点．求证：＋＋＝0． 45.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40nmile(海里)到达B处,再由B处沿正北方向行驶40nmile到达C处,求此时轮船与A港的相对位置. 46.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量: (1);(2);(3).47.化简:+++.48.已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则四边形ABCD是怎样的四边形?点O是四边形的什么点?49.如图,ABCD中,=a,=b,你能用a、b表示向量、吗? 50.若=a+b,=a-b. ①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直? ②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|? ③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角? ④a+b与a-b可能是相等向量吗？51.如图所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模. 52.如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b+c. 53.已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.54.化简:-+-.55.已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.参考答案:一、单选类（共204分）1.B2.B3.D4.A5.D6.D7.C8.B9.B10.D11.A12.B13.A14.B15.A16.C17.B18.C19.B20.B21.A22.D23.A24.A25.C26.A27.D28.A29.D30.C31.D32.B33.C34.C35.B36.B37.A38.D39.D40.C41.B42.B43.A44.B45.A46.B47.C48.D49.D50.D51.D52.D53.C54.B55.C56.A57.A58.A59.D60.A61.B62.B63.D64.D65.C66.C67.D68.D69.D70.D71.A72.A73.C74.B75.D76.C77.D78.B79.B80.C81.D82.D83.C84.D85.D86.B87.B88.C89.C90.B91.B92.A93.B二、填空类（共33分）1.3 2.2 3.13 4.5 5. 6.3 7.90 8.2 9.2 10.2 11. 12.1 13.120 14.−3a+4b 15.3 16.(1)（1）外心 (2)（2）内心 17.直角三角形 18. 19. 20.1 21.-25 22.13 23.− 24.(1)3a−4b (2)−2a+3b 25.①②③ 26.(1)2a−b； (2)2a−b 27.0 28.(1)−f (2)−e (3)f (4)0 29.c 30.＋ 31. 32.(1)(＋)； (2)− 33.a−b＋c 34.a＋b 35.b＋c 36.(1)0 (2)利用向量加法的三角形法则解决问题. 37. 三、简答类（共21分）1.解：（1）； （2）； （3）m不存在； 2. 3. 4.(1)原式＝18a−12b−18a＋9b＝−3b． (2)原式＝(a＋b)−(a＋b) ＝a＋b−a−b＝0． (3)原式＝6a−6b＋6c−4a＋8b−4c＋4a−2c＝(6−4＋4)a＋(−6＋8)b＋(6−4−2)c＝6a＋2b． 5.(1)∵AC＝5，∴c−(−4)＝5，∴c＝1． (2)∵|BD|＝6，∴|d−(−2)|＝6， 即d＋2＝6或d＋2＝−6，∴d＝4或d＝−8． (3)证法一:∵＝c＋4，＝d＋4， 又＝−3，∴c＋4＝−3(d＋4)，即c＝−3d−16． 这时3＝3(d−c)＝3d−3c＝3d−3(−3d−16)＝12d＋48， −4＝−4[c−(−4)]＝−4c−16＝−4(−3d−16)−16＝12d＋48， ∴3＝−4． 证法二:∵＝＋＝−＋，而＝−3， ∴＝−(−3)＋＝4， ∴3＝12， 又−4＝−4×(−3)＝12， 故3＝−4． 6.证明∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1−3e2＝5(e1＋e2)＝5， ∴，共线，且有公共点B， ∴A、B、D三点共线． 7.∵＝，＝， ∴＝−＝− ＝(−)＝， ∴∥． 8.解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2. 又λa+μb=5e1-e2. 由平面向量基本定理,知 解之,得λ=1,μ=-1. 9. 10.解:在ABCD中,∵=+=a+b,=-=a-b, 又∵平行四边形的两条对角线互相平分, ∴=-==-(a+b)=-a-b, ==(a-b)=a-b, ==a+b, =-=-=-a+b. 11. 解:方法一:过点C在平面内作=, 则四边形ABGC是平行四边形, 故F为AG中点.(如图) ∴EF是△ADG的中位线. ∴EFDG ∴=. 而=+=+, ∴=(+). 方法二:如图,连接EB、EC,则有=+,=+, 又∵E是AD的中点, ∴有+=0, 即有+=+. 以与为邻边作EBGC,则由F是BC之中点,可得F也是EG之中点. ∴==(+)=(+). 12.证明:如图8,因为向量与向量共线,根据向量共线定理，可知=λ. 即-=λ(-),=λ+-λ, =λ+(1-λ). 13.作法:(1)如图,任取一点O,作 =,=3e2. (2)作OACB. 故就是求作的向量. 14. 15.解:设=λ,=μ. ∵=,即-=-, ∴=(+). 又∵=λ=λ(-), ∴==+.① 又∵=μ,即-=μ(-), ∴(1+μ)=+μ,=+. 又=,∴=+.② 比较①②,∵、不共线, ∴解之,得 16. 17. 18. 19.证明:因为＝−8e−2f＝2(−4e−f)＝2，即＝2． 所以根据数乘向量的定义得，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形． 20.由三角形中位线定理，知BC，故＝，即＝a， ＝＋＋ ＝−a＋b＋a＝−a＋b， ＝＋＋＝＋＋＝−a＋a−b＝a−b． 21.解:如下图所示，首先在平面内任取一点O．作向量，再作向量，则得向量，然后作向量，则向量即为所求． 22.解:如题图所示． ∵，， ， ∴． 同理，． ∵， ， ∴， ． ∴， ∴是一个与λ无关的常向量． 23.证明:方法一:如下图，过点C在平面内作CG∥AB，且CG＝AB，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG的中点．∴EF是△ADG的中位线．∴．∵，∴． 方法二:如下图，连接EB，EC，则有，， ∴．又∵E是AD的中点，∴，即．以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC的中点，可得F也是EG的中点．∴． 方法三:如下图所示，，． 故有，．两式相加，得．又E、F分别为AD、BC的中点，故，．因此，，即． 方法四:如图所示，在平面上取点O，作，．∵E、F分别为AD、BC的中点，∴，．又∵，∴． 24.解:由平行四边形法则可得，． （1）当|a|＝|b|时，a+b与a−b垂直． （2）当ABCD为矩形时，|a+b|＝|a−b|． （3）不可能．因为ABCD中两条对角线AC与DB不可能平行，故对应向量不可能相等． 25.a＋b＋c＝＋＋＝＋，延长到E，使＝，连接，由于＝＝，所以四边形是平行四边形，所以＝，所以＋＝＋＝，即|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝． 26.由位置向量的定义可知＝a，＝b，＝c，＝d．由向量加法的三角形法则可得＋＝(＋)＋(＋)，又在□ABCD中，与是共线且方向相反，模相等的向量，即＋＝0，所以＋＝＋，即a＋c＝b＋d． 27.如下图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b−c． 28.如下图，由向量加法法则，有＝＋，＝＋．由ABCD为平行四边形得，＝，又＝，且，方向相同，可得＝，从而＋＝＋，所以＝，即与平行且相等，所以四边形AECF也是平行四边形． 29.(1)利用三角形法则作a＋b＋c，如图所示，作＝a，以A为起点，作＝b，再以B为起点，作＝c，则＝＋＝＋＋＝a＋b＋c． 利用平行四边形法则作a＋b＋c，如下图所示，作＝a，＝b，＝c，以、为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b，再以、为邻边作平行四边形，则＝＋＝a＋b＋c． (2)如下图所示，适当选取比例尺，作＝a(向北2km)，＝b(向东2km)．则＝＋＝a＋b． 因为△OAB是直角三角形， 所以||＝＝2(km)， 又∠AOB＝45°，所以a＋b表示向东北走2km． 30.如右图，以向量、为邻边作平行四边形GBEC，则＋＝＝2． 又由G为△ABC的重心，知＝2， 从而＝−2． ∴＋＋＝−2＋2＝0． 31.如下图，根据正六边形的性质，设A1A4，A2A5相交于点O，连接A6A3．由已知 ＝＝p，＝＝q． 所以＝＋＝p＋q， ＝＝q， ＝＋ ＝2＝2(p＋q)， ＝＋＝2＝2q． 32.如下图，因为四边形ABCD为菱形，所以||＝||＝1． 又因为∠BAC＝60°，所以△ABC是等边三角形． 因为＋＝，所以|＋|＝||＝1，即|a＋b|＝1． 33.(1)原式＝(＋)＋＝＋＝； (2)原式＝(＋)＋＝0＋＝． 34.如下图，设△ABC的三边对应的向量为a＝，b＝，c＝，那么a＋b＋c＝0． 设D、E、F分别为三边BC，CA，AB的中点，于是中线对应的向量分别为 ＝＋＝c＋a， ＝＋＝a＋b， ＝＋＝b＋c． ∴＋＋＝a＋b＋c＋(a＋b＋c)＝0． ∴＋＋＝0． 35.由题意可知四边形OADB为平行四边形， ∴＝＋＝a＋b， ∴＝−＝c−(a＋b)＝c−a−b． 又∵四边形ODHC为平行四边形， ∴＝＋＝c＋a＋b， ∴＝−＝a＋b＋c−b＝a＋c． 36.如右图，设＝a，＝b，则＝＝a，＝＝b． ∴＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a． ∴＝，又∵点B不在上， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 37.如右图，设＝a，＝b，则＝＝a，＝＝b． ∴＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a． ∴＝，又∵点B不在上， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 38.(1)①原式＝16a−8b＋8c−6a＋12b−6c−4a−2c ＝(16−6−4)a＋(−8＋12)b＋(8−6−2)c ＝6a＋4b． ②原式＝(m＋n)(a−b−a−b) ＝−2(m＋n)b． (2)①原式可化为:5x＋5a＋3x−3b＝0，8x＝−5a＋3b， ∴x＝−a＋b． ②原式可化为:x−a−a＋x＋2b＝0，2x−2a＋2b＝0， x＝a−b． 39.∵E是对角线AC与BD的交点， ∴＝＝−，＝＝−． 在△E中，＋＝， 同理:＋＝，＋＝，＋＝， 相加可得:＋＋＋＝4． 40.由已知得＝＝＝(−)＝(a−b)， ∴＝＋＝B＋(a−b)＝a＋b． 又＝＝， ∴＝＋＝＋＝ ＝(a＋b)． 故＝−＝(a＋b)−(a＋b)＝a−b． 41.(1)＝−＝3e2−3e1， ∴＝e2−e1＝． ∴＝＋＝3e1＋e2−e1＝2e1＋e2； ＝＋＝2e1＋e2＋(e2−e1)＝e1＋2e2． (2)＝3e2−3e1，＝e2−e1， ＝＋＝3e1＋e2−e1＝e1＋e2，此时，＝＝(3e2−3e1)＝e2−e1，＝＋＝3e1＋e2−e1＝e1＋e2． 42.(1)原式 ＝ ＝ ＝ ＝a−b． (2)原式＝a−b−a＋b＋2b−a ＝(−1−1)a＋(−1＋＋2)b ＝−a＋b ＝−(3i＋2j)＋(2i−j) ＝(−5＋)i＋(−−)j ＝−i−5j． (3)把第一个方程的−2倍与第二个方程相加，得y＝−2a＋b，从而y＝−a＋b． 代入原来的第二个方程，得x−(−a＋b)＝b，移项并化简，得x＝−a＋b． ∴ 43.设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(−)＝＋＝a＋b＝(a＋b)，＝＋＝＋＝a＋b． ∴＝． ∴向量与共线，且有公共点M． 故M、N、C三点共线． 44.证明因为D、E、F分别是△ABC三边的中点， 所以四边形ADEF为平行四边形． 在平行四边形ADEF中，＝＋；① 在平行四边形BEFD中，＝＋；② 在平行四边形CFDE中，＝＋．③ 将①②③式相加，得＋＋＝0． 45. 46. 解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线, 故=. (2)因, 故与方向相同,长度为的长度的2倍, 故=. (3)因, 故=0. 47.解:原式=(+)+(+)=(-)+0=. 48. 解:如图所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且=0,过A作AEOD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形. 设OE与AD的交点为M,过B作BFOC,则四边形BOCF为平行四边形. 设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点. ∵=0,,, ∴+=0,即与的长度相等,方向相反. ∴M、O、N三点共线,即点O在AD与BC的中点连线上. 同理,点O也在AB与DC的中点连线上. ∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形. 49.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b, 同样,由向量的减法,知=-=a-b. 50. 如图,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线. 由平行四边形法则,得 =a+b,=-=a-b. 由此问题就可转换为: ①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|) ②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直) ③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等) ④a+b与B-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同) 51. 52.解:在平面上任取一点O,作=a,=b,则=a-b. 再作=c,并以BA、BC为邻边作BADC, 则=+=a-b+c(如图). 53. 54.解:原式=+-=-=0. 55.证明:已知0≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca, (1)必要性:作=a,=b,则由假设=c, 另一方面a+b=+=. 由于与是一对相反向量, ∴有+=0,故有a+b+c=0. (2)充分性:作=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0, ∴+c=0.等式两边同加,得++c=+0. ∴c=,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形. 解析:一、单选类（共204分）1.∵，∴||=|+|， 以线段AB和AC为邻边画出平行四边形， 则等于起点为A的平行四边形的对角线， ∵||=|+|， ∴平行四边形的两条对角线相等， ∴平行四边形是矩形， ∴∠BAC是直角， ∴ΔABC是直角三角形， 故选B．2.||=||， 可得， 它的几何意义是：以AB、AC为邻边的平行四边形的对角线相等， 所以AB⊥AC， ΔABC是直角三角形． 故选B．3.无解析4.无解析5.无解析6.无解析7.设BC的中点为F，由于ΔBCD是正三角形，且E为其中心， 故==--=-=， 故选C．8.无解析9.无解析10.∵ ∴ ∴== 即 故=2：1 故选D.11.无解析12.由知，点M为ΔABC的重心，设点D为底边BC的中点， 则==， 所以有， 故m=3， 故选B．13.无解析14.∵在△ABC中，DC=2AD，AE=2EB，，， ∴=-=-=+.15.由题知故选A.16.无解析17.无解析18.无解析19.无解析20.无解析21.无解析22.无解析23.无解析24.无解析25.无解析26.无解析27.无解析28..29.无解析30.无解析31.无解析32.无解析33.无解析34.∵(2x−2y)＋(2x−3y)＝6＋3， ∴解得 ∴x＋y＝6＋3＝9．35.①是假命题．当＋＝0时，命题不成立；②是真命题；③是假命题．当A、B、C三点共线时也可以有＋＋＝0；④是假命题．只有当与同向时才相等，其他情况均为．所以只有一个真命题，应选B．36.利用平面几何知识得出DF:FC＝1∶2，然后利用向量的加减法可求得＝＋，故应选择B．37.∵2＋＝， ∴2(−)＋(−)＝， ∴＋−2＝， ∴＝2−．38.由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka+b＝λa−λb，∴(k−λ)a+(λ+1)b＝0．又a与b不共线．∴k−λ＝0，且λ+1＝0．∴k＝−1．此时c＝−a+b＝−(a−b)＝−d．故c与d反向，选D．39.a+λb=(0,1,-1)+(λ,λ,0)=（λ,1+λ,-1）,由(a+λb)⊥a,知（a+λb）·a=0. 所以λ×0+(1+λ)×1+1×1=0,解得λ=-2.40.略41.无解析42.略43.略44.略45.略46.略47.略48.略49.(3＋1)＝−3−2＋2＋＋2＝0，∴＝0．50.∵＝−＝(4，2)，∴＝(2，1)．51.A表示的是向量加法，符合结合律，B表示数量积形式下的分配律，C表示数乘向量，均正确，而D中，（·）·表示与共线的向量，·(·)表示与共线的向量，故不正确.52.无解析53.A显然正确；由平行四边形法则,可知B正确；C中,-=错误；D中,+=+=正确.54.如图,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是、、,结合图形有=+=+=+-=-+. 55.无解析56.由向量求和的三角形法则知，选项A是正确的；＋＋＝2，所以选项B错误；D，E，F分别是△ABC各边的中点，由平行四边形法则，可知＋＝＝，不等于，所以选项C，D错误．57.∵，，∴．58.∵，∴．∴．设，，如下图所示，则与共线且同向，与共线且同向；和均是单位向量． 设，则四边形ADGE是菱形，．∴点G在∠BAC的平分线上．又∵λ∈[0，+∞)，∴点P在射线AG上，∴点P的轨迹是∠BAC的平分线上，一定过△ABC的内心．59.．60.无解析61.以，为邻边作□ABCD，对角线的交点为O，如下图，则＋＝＝2，又＋＝2，所以O，P重合，所以＋＝＋＝． 62.63.很容易看出A是不正确的；−＝，故B错误，D正确；又−＋＝＋＋＝2≠，故C是错误的，故选D．64.由题意可知||＝，而且＋＝，＋＝，所以＋＋＋＝2，所以|＋＋＋|＝．65.根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则及运算律，可得．66.无解析67.由平行四边形法则可得，又在直角三角形ABC中，，所以．68.无解析69.无解析70.∵＝−＝(4，2)，∴＝(2，1)．71.无解析72.无解析73.根据向量的加法法则，在菱形ABCD中＋＝＝，所以选C．74.无解析75.连接BD交AC于O(图略)，则O为AC中点，G为OC中点，∴AG＝AC，∴＝＝(＋)＝(＋)．76.当λ＜0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|应该是一个非负实数，而非向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．77.本题题意新颖，先弄清题意，依题意知点A、C、B共线，点A、B、D共线． 依题意，若C，D调和分割点A，B，则有＝λ，＝μ，且＋＝2．若C是线段AB的中点，则＝，此时λ＝．又＋＝2，所以＝0，不可能成立．因此A不对，同理B不对． 当C，D同时在线段AB上时，由＝λAB，AD＝μAB知0＜λ＜1，0＜μ＜1，此时＋＞2，与已知条件＋＝2矛盾，因此C不对． 若C，D同时在线段AB的延长线上，则＝λAB时，λ＞1，AD＝μAB时，μ＞1，此时＋＜2，与已知＋＝2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上．78.．79.∵点P落在第Ⅲ部分, ∴在直线上的分向量与同向,在直线上的分向量与反向.∴a.＞0,b＜0.80.无解析81.考虑向量加法的三角形法则． 解Rt△ABC得＝，＝．即＝＝(−)＝a−b，故选D．82.当a、b不共线时，如下图．有 |||−|||＜||＜||＋||，即||a|−|b||＜|a−b|＜|a|＋|b|，所以A错； 当a、b同向时，有||a|−|b||＝|a−b|，|a|＋|b|＝|a＋b|，所以B、C错．83.由a＋b＝，知＝a＋b，①正确； 由＝a−b，从而②错误； ＝＋b，故＝a−b，③正确； ＝＋2b＝a＋b，④错误． 故正确的为①③，故选C．84.利用＝来化简． 由于＝，故＋＋＝＋＋＝． 点评:注意结合问题实际，正确地运用向量加法、减法法则．85.本题利用向量的加法，也可选择用特例法来进行解答．因为a1＋a2＋a3＝0，所以a1，a2，a3构成封闭的图形．为三角形，则bi实际上是将三角形顺时针旋转30°后再将其各边长变为原来的两倍，仍为封闭的图形——三角形，所以应选择D．86.可以通过特殊情况，猜想证明． 从特例入手，不妨令A1，A2，A3，A4，A5五点共线，且||＝||＝||＝||，则满足题意的点M恰好为的中点，存在且唯一，猜想知:满足条件的点M的个数是唯一的，下面用反证法证明如下． 假设满足条件的点除M外还有点N，那么 ＋＋＋＋＝，① ＋＋＋＋＝，② ①−②得5＝，∴＝，则N点与M点重合，与假设矛盾．∴满足条件的点M只有一个．87.，分别是与，同向的单位向量． 如右图，设为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)， ∴λ(＋)的方向与＋的方向相同． ∵＝＋λ(＋)， ∴点P在上移动． ∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选B．88.∵在平行四边形中，|＋|＝|−|，∴||＝||，即平行四边形ABCD对角线相等，∴平行四边形ABCD为矩形．89.(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝，故排除A；(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝，故排除B；−＋＝＋＝，故排除D，故选C．90.＋＋＝＋＋＝＋＝．91.易知−＝，−＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以−＝−，即b−a＝c−d，也即a−b＋c−d＝0．所以应选B．92.如下图可知＝＋＝＋＝＋·(−)＝＋． ∴λ＝． 93.−−＝−(＋)＝−＝0．二、填空类（共33分）1.∵G是三角形ABC的重心， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴λ=3.2.∵， ∴． ∴， ∴=2．3.无解析4.无解析5.无解析6.∵G是ΔABC的重心， ∴取过G平行BC的直线EF. ∵， ∴，， ∴==3.7.∵，∴Ｏ为线段BC中点，故BC为圆Ｏ的直径，∴，∴与的夹角为。8.如图所示，在平行四边形ABCD中，，∴λ＝2. 9.无解析10.无解析11.无解析12.无解析13.无解析14.3(x+a)+2(x−2a)−4(x−a+b)＝3x+3a+2x−4a−4x+4a−4b＝x+3a−4b＝0，∴x＝−3a+4b．15.16.无解析17.由矩形的对角线相等且互相平分可知:△ABC的形状必定为直角三角形．18.略19.略20.略21.无解析22.=23.∵＝， ∴C为AB的一个5等分点(如下图)， ∴＝， ∴＝−，即λ＝−．24.由解得＝3a−4b，＝−2a+3b．25.①−＋＝＋