山东省聊城市阳谷县师范中学2021年高二数学理下学期期末试卷含解析

山东省聊城市阳谷县师范中学2021年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.参数方程（为参数）所表示的曲线是

（

）

A

B

C

D参考答案：Ｄ2.设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

（）参考答案：D略4.在极坐标系中，A为直线上的动点，B为曲线上的动点，则的最小值为（

）A．1

B．2

C.

D．3参考答案：A利用平面直角坐标系与极坐标系间的转化关系，可得直线方程，曲线．圆心到直线的距离，则．故本题答案选．

5.已知数列为等差数列，为数列的前项和，，则下列结论错误的是（

）A．

B．

C． D．均为的最大值参考答案：B6.将两个数交换,使,下面语句中正确的一组是（

）a=cc=bb=a

b=aa=b

c=bb=aa=c

a=bb=a

A.

B.

C.

D.

参考答案：B7.在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间和分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1﹣=，故选B．8.如果sinx+cosx=-,且0<x<π,那么cotx的值是(

)

A.-

B.-或-

C.-

D.或-

参考答案：A9.设，则导函数等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列．则数列{an}的公比为q的值等于（）A．﹣2或1 B．﹣1或2 C．﹣2 D．1参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】S5、S4、S6成等差数列，可得：2S4=S5+S6成等差数列．当q=1时，不成立，舍去．当q≠1时，0=2a5+a6，解出即可得出．【解答】解：∵S5、S4、S6成等差数列，∴2S4=S5+S6成等差数列，∴当q=1时，不成立，舍去．当q≠1时，0=2a5+a6，∴a5（2+q）=0，解得q=﹣2．则数列{an}的公比为q=﹣2．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（几何证明选讲选做题）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为________．参考答案：

2设圆的半径为R,由得解得R=2．12.集合，，若，则实数的值为

参考答案：13.在等差数列中,=2，=8，则=_______参考答案：17略14.已知函数的定义域为，部分对应值如下表：的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题：①函数的值域为；②函数在上是减函数；③如果当x∈时，的最大值是2，那么t的最大值为5；④当1<a<2时，函数有4个零点．其中真命题为________(填写序号)．参考答案：②③试题分析：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，可得：函数f（x）在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增；在区间上单调递减．结合表格可得函数f（x）的图象：由图象可得：①函数f（x）的值域为，正确；②函数f（x）在上是减函数，正确；③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，因此不正确；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点，正确．综上可得：正确命题的个数为：3考点：命题的真假判断与应用15.已知正方体棱长为2，与该正方体所有的棱都相切的球的表面积是_________，该正方体的外接球的体积是____________.参考答案：

8π,

4π

16.命题“若，则”的逆否命题为__________．参考答案：则．【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若则，故答案为：则．17.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在数列中，，（Ⅰ）求出,，

（II）猜想数列通项，并证明你的结论.参考答案：(1)(2)略19.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．（1）求分数在[120,130)内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为＝105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．参考答案：（1）分数在[120,130)内的频率为：；（2）估计平均分为：（3）由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)．[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，20.已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且|AF|=4．（1）求抛物线的方程；（2）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）根据抛物线的定义求出p，即可求抛物线C的方程；（2）法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8，与抛物线方程联立，利用向量知识求解即可；法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣8），与抛物线方程联立，利用向量知识求解即可．【解答】（1）解：设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），由其定义知|AF|=4=2+，所以p=4，y2=8x；（2）证明：法一：设B、C两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），因为直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=ky+8，由方程组得y2﹣8ky﹣64=0，y1+y2=8k，y1y2=﹣64，因为，所以=（k2+1）y1y2+8ky（y1+y2）+64=0所以OB⊥OC．法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，﹣8），即，有，所以OB⊥OC．②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣8），方程组得k2x2﹣（16k2+8）x﹣64k2=0，ky2﹣8y﹣64k=0，所以x1x2=64，y1y2=﹣64，因为，所以，所以OB⊥OC，由①②得OB⊥OC．21.已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：x﹣y﹣2=0相切（Ⅰ）求直线l2：4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．（Ⅱ）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程（Ⅲ）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由直线与圆相交的性质可知，（）2=r2﹣d2，要求AB，只要求解圆心到直线4x﹣3y+5=0的距离．即可求直线l2：4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．（Ⅱ）求出圆C的方程以及以G（1，3）为圆心，QM为半径的圆，利用圆系方程求直线MN的方程．（Ⅲ）设直线l的方程为：y=﹣x+b联立x2+y2=4，设直线l与圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2），利用△＞0，以及韦达定理，通过∠POQ为钝角，求出﹣2＜b＜2，当与反向共线时，直线y=﹣x+b过原点，此时b=0，不满足题意，即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：圆心（0，0）到直线l1：x﹣y﹣2的距离为圆的半径，r==2，所以圆C的标准方程为：x2+y2=4，…所以圆心到直线l2的距离d=

…∴…（Ⅱ）因为点G（1，3），所以，所以以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程：（x﹣1）2+（y﹣3）2=6（1）又圆C方程为：x2+y2=4（2），由（1）﹣（2）得直线MN方程：x+3y﹣4=0…（Ⅲ）设直线l的方程为：y=﹣x+b联立x2+y2=4得：2x2﹣2bx+b2﹣4=0，设直线l与圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2），由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得b2＜8，x1+x2=b，（3）…因为∠POQ为钝角，所以，即满足x1x2+y1y2＜0，且与不是反向共线，又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b所以（4）由（3）（4）得b2＜4，满足△＞0，即﹣2＜b＜2，…当与反向共线时，直线y=﹣x+b过原点，此时b=0，不满足题意，故直线l纵截距的取值范围是﹣2＜b＜2，且b≠0

…22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PC上的一点．（1）求证：PA⊥DE；（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为﹣，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】几何法：（1）推导出CD⊥平面PAD，从而PA⊥CD，进而PA⊥平面PCD，由此能证明PA⊥DE．（2）取AD的中点O，连接PO，CO，设CO与BD交于点F．推导出CD⊥平面ABCD，从而∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．向量法：（1）取AD的中点O，连接PO，OB，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA⊥DE．（2）求出平面BDA的一个法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．【解答】（本小题满分12分）几何法：证明：（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD∴CD⊥平面PAD（面面垂直的性质定理），∴PA⊥CD（线面垂直的定义），又∵PA⊥PD，CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD（线面垂直的判定定理）∴PA⊥DE（线面垂直的定义）．解：（2）如图，取AD的中点O，连接PO，CO，设CO与BD交于点F．等腰直角三角形PAD中，PO⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性质定理）．∴PO⊥CO，PO⊥BD（线面垂直的定义）由题意知四边形BCDO是正方形，CO⊥BD，∴BD⊥平面POC（线面垂直的判定定理），∴BD⊥EF（线面垂直的定义），∴∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，∴，∴，由题意知PO=1，，∴注意到直角△POC中，，∴∠EFC+∠ECF=90°，即EF⊥CE，∴，∴，即．故棱PC上存在一点E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值为，并且．向量法：证明：（1）取AD的中点O，连接PO，OB∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性质定理），由题意知四边形BCDO是正方形，OA⊥O