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第5章角动量守恒定律自然界中常见物体绕某中心运动的情况.这些情况下,仅仅用动量来描述物体的运动是不够的,有必要引入另一个物理量──角动量来描述物体的转动.

第5章角动量守恒定律§5-1角动量与角动量守恒定律§5-2力矩质点的角动量定理本章内容：§5-3质点系的角动量定理及应用§5-4对称性与守恒定律5-1-1质点的角动量§5-1角动量与角动量守恒定律5-1-2质点系的角动量5-1-3角动量守恒定律本节内容：质点：惯性运动——动量是守恒量；匀速圆周运动——动能是守恒量；椭圆运动——守恒量？第一定律：行星在一个平面内做椭圆运动，太阳位于焦点位置。6-1-1质点的角动量Keplerlaw

2.第二定律：太阳到行星的位矢单位时间扫过的面积（掠面速度）相同。说明：1.角动量是矢量（kg·m2·s-1）3.角动量的方向：

与同方向定义：对O点的角动量：2.角动量对不同点是不同的。OXYZ质点的角动量点积的微商点积叉积的微商叉积数学补充知识：Sunrrvv大小：方向：

L垂直于r和p平面横向速度L在某方向(如z轴)的投影为对该轴的角动量:可见,Lz完全由r和p在垂直于z轴的平面内的分量确定I=mr2称为质点对z轴的转动惯量.当质点m绕z轴作半径r的圆周运动,x=rcosq,y=rsinq,即得:例质点直线运动对某定点的角动量：大小：方向：思考:什么情况下L=0？Omd等于零吗？5-1-2质点系的角动量各Li对同一参考点而言当质点系中任一质点均绕z轴以同一角速度w

作圆周运动,质点系对z轴的角动量为各质点对z轴的角动量Liz=miri2w之和质点系对z轴的转动惯量

Om1m2H由两个相互作用质点组成的孤立体系的动量守恒。那么该体系的角动量是不是也是一个守恒量呢？由动量守恒定律5-1-3角动量守恒定律Om1m2H注意到叉积的方向,所以：由两个相互作用的质点构成的孤立体系,除了动量之外,角动量也是一个守恒量.孤立体系对任意一点的总角动量保持恒定,即相互作用过程中,角动量等量地从一个质点转移到另一个质点这就是角动量守恒定律.它与动量守恒定律一样,也是物理学中最基本的普适原理之一.以后将说明,从现代物理的高度来看,角动量守恒定律是空间各向同性(旋转对称性)的直接推论.5-2-1力矩§5-2力矩质点的角动量定理5-2-2质点的角动量定理5-2-3质点在有心力作用下的运动本节内容：方向用右手螺旋法规定ZXYO——定义为力f对O点的力矩。5-2-1力矩有心力对力心的力矩恒为零中学的表达式：对O点的力矩Mao对Z轴的力矩*微分公式质点的角动量定理考虑：注意：（1）用于惯性系

（2）相对于同一点5-2-2质点的角动量定理对于绕z轴做圆周运动的质点质点绕定轴的转动定理

例质量为m的圆锥摆摆球,以速率V运动时,试分别对参考点O和参考点C,写出其角动量和力矩.解:m受力为T和mg,合力F指向O.

对O点有mVlCOR对C点:一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。o由两个相互作用的质点构成的孤立体系,角动量守恒：由于角动量守恒,质点1的角动量的增加来源于质点2的角动量的减少,角动量在质点间的传递正是通过力矩来实现的.

质点在有心力场中，它对力心的角动量守恒。以行星运动为例看出，虽然行星的动量时刻在变，但其角动量可维持不变，这就大大简化了对其运动

的描述。可见，在研究质点受有心力作用的运动时，角动量将代替动量起着重要的作用。当力作用于参考点上,或当力的作用线通过参考点时,力对参考点的力矩为零.我们把力的作用线始终通过某定点的力称为有心力,该定点称为力心.显然,有心力对力心的力矩恒为零。则角动量守恒。5-2-3质点在有心力作用下的运动例行星的运动.设太阳质量为M,近日点和远日点为r1,r2求近日点和远日点的速率v1,v2解法一:[m],对M角动量守恒:[m+M],机械能守恒:联立解得:解法二:[m],牛顿定律:解得:注意:作业：5.2;5.4;5.6;5.8;5.95-3-1质点系的角动量定理§5-3质点系的角动量定理及应用5-3-2质点系角动量守恒的条件5-3-3质心系中的角动量定理本节内容：证明：一对作用力、反作用力对定点（定轴）的

合力矩等于零。o5-3-1质点系的角动量定理质点系角动量定理·······FiPio由于一对作用力、反作用力的合力矩等于零。质点系对某定点的角动量对时间的变化率,等于作用于该质点系上所有外力对该点的力矩的矢量和,称为质点系的角动量定理。质点系对某定点的角动量对时间的变化率,等于作用于质点系的外力矩的矢量和(1)内力矩的矢量和恒为零.内力矩不改变总力矩,但改变角动量在质点间的分配(2)外力的矢量和为零时,外力矩的矢量和可不为零力偶(3)

L与M是对同一参考点同一时刻而言的质点系角动量定理的积分形式。

是外力矩的矢量和对时间的累积,称为角冲量或冲量矩.质点系(对质点也一样)角动量的变化是力矩的矢量和对时间累积作用的结果.解:取Oxz坐标系,转动为z轴方向,棒上元段dx所受摩擦力:

对O点力矩均沿z轴的负方向:

当直棒旋转的角速度为w时,它的角动量为

由角动量定理Mz=dLz/dt可得

可见棒作匀减角速度转动.例质量为m,长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴旋转,棒与桌面间的摩擦系数为m,求摩擦力矩和棒的角速度的变化率.

即：虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.3.由分量式：角动量守恒的几种可能情况：1.孤立系.2.有心力场,对力心角动量守恒.常量5-3-2质点系角动量守恒的条件地球会掉到太阳上去吗?星系为什么成扁盘状?1.孤立系。为什么星系是扁状，盘型结构？18世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚集成一个个行星、卫星及太阳本身。但是万有引力为什么不能把所有的天体吸引在一起而是形成一个扁平的盘状？康德认为除了引力还有斥力，把向心加速的天体散射到个方向。19世纪数学家拉普拉斯完善了康德的星云说，指出旋转盘状结构的成因是角动量守恒。我们可以把天体系统看成是不受外力的孤立系统。原始气云弥漫在很大的范围内具有一定的初始角动量J，当r变小的时，在垂直J的横方向速度要增大，而平行J方向没有这个问题，所以天体就形成了朝同一个方向旋转的盘状结构。例:

质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周求：v2=？

v1r1r2FOv2解：作用在小球的力始终通过O点（有心力）由质点角动量守恒：2.有心力场,对力心角动量守恒.3.虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.在刚体中经常用到例题半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其上穿过一条轻绳,质量相同的两人A、B以不同的爬绳速率vA、vB从同一高度同时向上爬,试问谁先到达O处？对滑轮的轴的外力矩为零,则对该轴系统总角动量是守恒的.可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何,二人对O的速率相同,解:对象:滑轮+绳+A+B,则受外力:mAg=mBg=mg,N,对z轴的合力为0.对z轴,系统角动量守恒,A,B对O点速率v'A,v'B,初始时刻系统角动量为零,则:z轴正向:O点向外.故将同时到达O点.总结：4.角动量守恒定律只适用于惯性系。2.守恒指过程中任意时刻。3.角动量守恒定律是独立于牛顿定律的自然界中更普适的定律之一。1.角动量守恒条件：合外力矩为零。外力为零，力矩不一定为零，反之也然。1.角动量2.角动量定理形式上与惯性系一样仅受重力作用的物体,对质心的角动量不变(抛体),跳水:缩-快,展-慢5-3-4质心系中的角动量定理对称性-----物体的状态在一定的变换下具有的不变性。艺术中的对称性§5-4对称性与守恒定律

文学中的对称性

上海自来水来自海上南山长生松生长山南物理学中的对称性*状态的对称性*规律的对称性客上天然居，居然天上客(乾隆上联)人过大佛寺，寺佛大过人(纪晓岚下联)僧游云隐寺，寺隐云游僧(张琏下联)研究物理规律的对称性的意义：

在探索未知的物理规律的时候,可以以普遍的对称性作为指引；

物理规律的对称性----物理规律在一定变换下的不变性。即某种物理状态或过程在一定的变换下(例如转动、平移等等)，它所服从的物理规律不变。

空间平移不变性……………动量守恒空间转动不变性……………角动量守恒时间平移不变性……………能量守恒空间反演不变性……………宇称守恒整体规范不变性……………电荷守恒

物理规律的每一种对称性(即不变性)通常都相应于一种守恒定律。空间反演不变性

空间反演:ｒ

-ｒ，

(ｘ,ｙ,ｚ）（－ｘ,－ｙ,－ｚ）空间反演实质上和镜象变换等价。镜象变换把左手变成右手，左右对称。

左右对称的两个状态或两种过程都服从同样的物理规律。它们在自然界中都同样能够存在或发生。

尽管在镜象变换下，物理过程的状态变化了，但它们服从的物理规律却没有变，这就是物理规律的空间反演不变性