有限元4-薄板弯曲问题

有限单元法第4章

弹性薄板弯曲问题的

有限元法1薄板是一种常见的工程构件形式机械、航空和土建工程应用广泛特殊形式——小挠度薄板薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义，并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平板理论》）。象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。2板壳结构板和壳是指厚度比其他尺寸要小得多的平面或曲面构件。由于它的这种几何特点，三维单元并不适合用来分析它们的变形。因为三维单元在三个方向的尺寸应尽量接近，否则求解精度由于“剪切自锁”(shearlocking)或系统矩阵病态而大大降低，甚至得到错误的结果。所以必须采用很细密的网格来适应板和壳的几何特征，但是这将导致有限元模型的自由度疯狂地增长。3平板上所承受的荷载分类平板上所承受的荷载通常有两种:1.面内拉压荷载。由面内拉压刚度承担,属平面应力问题。2.垂直于板的法向荷载。弯扭变形为主，具有梁的受力特征，即常说的弯曲问题。平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度w。板的面内变形与弯曲变形相互独立，一般单独推出各自的单元，然后再组装在一起。平板壳体单元平面应力单元弯曲板单元4当最大挠度w远小于t时,称为小挠度问题（or刚性板）当最大挠度w与t相差不大时,称为大挠度问题（or柔性板）大挠度问题与小挠度问题工程定义:

为刚性板；为柔性板；为绝对柔性板。5薄板与中厚板在板的分析中，常取板的中性面为xoy平面(如图)。平板结构按其厚度t与短边a的比值大小而分为:中厚板（Middle-Thickplate）和薄板（Thinplate)两种。当时称为薄板薄板——宽度与厚度比值在15以上6中厚板薄板膜厚度与边长之比较小很小非常小理论Mindlin板理论Reissner板理论Kirchhoff板理论膜理论特点考虑横向剪切变形忽略横向剪切变形忽略弯曲变形与梁比较深梁细长梁弦7当最大挠度w远小于t时,称为小挠度问题（or刚性板）当最大挠度w与t相差不大时,称为大挠度问题（or柔性板）工程定义:为刚性板；为柔性板；为绝对柔性板。8一、基本假定１、略去垂直于中面的法向应力。（），并以中面上沿Z方向的挠度w代表板的挠度。２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。（─法向假定,）３、板弯曲时，中面不产生平面内应力。(─中面中性层假定，)上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or柯克霍夫Kirchhoof假定）。符合上述假定的平板即为刚性板。4.1基本理论,和梁对比理解9二、基本方程

以上述假定为基础，板分析中常用挠度w(x,y)作为基本未知量。１、几何方程（应变─挠度关系）①弹性曲面沿x,y方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD，如图所示，设其边长为dx,dy，变形后弯曲成曲面A'B'C'D'10设A点挠度为w,则沿x方向倾角(绕y轴)B点挠度沿y方向倾角(绕x轴)D点挠度11②沿x,y方向位移作平行于xoz平面,设中面上点A到A1的距离为z，变形后，A点有挠度w,同时发生弯曲，曲面沿x方向的倾角为,根据法线假定,则A1点沿x方向的位移:(负号为方向与x相反)同理取

yoz平面得，12③z平面的应变分量和曲、扭率基本假定，由于

,

故板内任意点的应变与平面问题相同:将u,v代入此为z平面的应变─挠度几何方程。(4-1-2)13上式中的,,为曲面在x,y方向的曲、扭率。这三个参数称作弹性曲面的弯扭变形分量，它们完全确定了薄板内各点的应变分量。记为：所以,chi凯，器，西14２、物理方程（应力─挠度关系）由于忽略σz对变形的影响,因此z平面的应力─应变关系具有与平面问题相同的形式:将(4-1-2)代入15或简写为：式中弹性矩阵（平面应力问题）:(4-1-4)16板与梁的比较M17３、内力方程（内力─挠度关系）从板内取微元体tdxdy,由其上正应力σx,σy和剪应力τxy，可在截面上合成合力矩:Mx（yoz面上由σx产生的绕y轴弯矩）My（xoz面上由σy产生的绕x轴弯矩）扭矩:Mxy（由剪应力产生）18应力符号：正面正向为正弯矩和扭矩Mx,My,Mxy,Myx按右手螺旋法则用双箭头矢量来表示力偶，如图所示（图中所示各力偶的方向均为正）19假定Mx,My,Mxy分别表示单位宽度上的内力矩。于是，内力矩阵：20简写成(4-1-5)前面推导了(4-1-4)由此可见，平板上、下表面处的应力最大：(4-1-4)比较(4-1-4)和(4-1-5)可得用内力矩表示的平板应力:214、板的平衡方程薄板弯曲的弹性曲面方程：式中：以上是薄板弯曲问题中的基本公式，从中可见其挠度w是弯曲问题中的基本未知函数。且由于忽略了z方向的变化，因此它只是x，y的函数:

w=w(x,y)。若w已知，则位移、内力、应力均可按上述相应公式求出。在经典解析法中，w(x,y)常设为三角级数形式。22在经典解析法中，w(x,y)常设为三角级数形式。例如，四边简支矩形板的w(x,y)设为:(纳维尔解)式中Amn为待定系数。假定荷载则可得位移函数:234.2有限元分析方法

一、矩形单元的典型形式

将图示矩形薄板沿x,y方向划分成若干小矩形(常取等分)。从中取出一小矩形(单元)，共有四个结点，此时不能象在平面问题中一样，将结点视为“铰”，而是“刚性的”，即每个结点有三个位移分量：

24即结点i的位移

同理,相应的结点力方向和正负号问题？右手螺旋法则25符号重新定义是为了有限元表示的方便，由此得单元结位移向量节点力26二、位移模式（函数）１、位移模式的选取插值多项式取为：

(4-2-1)在上式中,前10项取到了三次项的全部,最后两项则是从五个四次项中选用了两个。没选是因为它没有多一项与其配对，没选,它们在边界上给出的挠度函数是四次的，比和要高一次,较之更难满足边界的协调条件。27２、位移模式的检验（三个基本要求：刚体位移，常应变，尽可能的边界协调）①前三项含单元的刚体位移状态：第一项α1与坐标x,y无关,表示z方向的挠度是─常量,刚体移动②二次项代表均匀变形状态:曲率扭率28③能保证相邻单元在公共边界上挠度的连续性以单元的１～２边界为例，在此边界上y=-b，为常量，代入位移模式(4-2-1)，可知边界上的挠度w是x的三次函数，合并整理后可得：两个端点共有4个边界条件(结点1,2的挠度w1,w2,和转角θy1,θy2）。利用他们可唯一确定四个常数C1～C4。因为相邻单元在结点1,2的w,θy对应相同，则两个单元依据四个条件得到的C1～C4亦相同，即两单元在边界具有同一挠度函数w。xyzbbaa29④不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的连续性仍以1-2边界为例，将y=-b代入后，此时但对θx来讲，1,2结点只能提供2个已知条件，不能完全确定上式中的四个待定常数，故边界的法线转角不能保证连续性。因此，这种单元是非协调元，但可以验证这种非协调元是能通过分片试验的。因而当单元划分不断缩小时，计算结果仍能收敛于精确解。

分片试验可以看作：在常应变情况下，位移的不协调部分对势能有无贡献30三、形函数和形函数矩阵

分别将单元结点1,2,3,4的坐标值代入(4-2-1)，并事先求出,便可得到各结点的位移值。一共可得12个关于αi的方程组，联立求解可得αi。如果采用局部坐标（ξ，η）并用单元节点位移值来表示位移函数，则

31形函数矩阵:(4-2-2)写成矩阵形式:32式中形函数:(i=1234)(4-2-3)在上面的推导中，我们仍然选用了局部坐标(无因次坐标)。局部坐标与整体坐标的关系为:

33四、单元的几何矩阵[B]和内力矩阵[S]1．几何矩阵[B]由前可知,将（4-2-2）的w代入,得到几何矩阵：（4-2-4）[B}以子块形式表示：[B]=[B1B2B3B4]。则应变可以表示为：3435362.内力矩阵[S]由基本方程（4-1-5）可得到：（4-2-6）[S]称为内力矩阵，把单元的四个结点坐标分别代入(4-2-4)，求得[B]后，即可获得[S],内力矩阵[S]的显式如下：其中薄板弯曲问题的弹性矩阵：内力向量，和结点力向量不同373839五、单元刚度矩阵由一般公式得:将几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]的表达式代入，积分可得薄板弯曲问题矩形单元的单元刚度矩阵的显式公式：40414243六、荷载等效变换由荷载等效变换的一般公式可得1．法向均布荷载q代入上述公式得：442．单元内部点受法向集中力(或力偶)如：单元中心点受法向集中力

代入上述公式可得：45七、位移边界条件对称、固定边和简支边上支点的已知位移条件如下：对称轴:法线转角=0固定边:挠度=0(或已知值)边线转角=0(或已知值)法线转角=0(或已知值)简支边:挠度=0(或已知值)边线转角=0(或已知值)自由边上节点的挠度、边线和法线转角均为特定参数，同内部节点一样。与板铰接的固定立柱，其节点挠度w=0，也可以是已知值。46八、计算例题例题1计算图示四边固定方板。方板的边长为l，厚度为t，弹性模型量为E，波松比μ=0.3，全板承受均布法向荷载ｑ，求薄板中的挠度和内力。单元划分：为了说明解题方法，采用最简单的网格2×2，即把方板分成四个矩形单元。由于对称性，只需计算一个单元，例如，计算图中有阴影的单元，单元的节点编号为１，２，３，４。47此时，单元的a,b是:a=b=l/4

计算节点荷载:由前面的均布荷载计算公式得：边界条件：边界23和34为固定边，因此节点2,3,4的挠度、边线和法线转角均为零。边界12和14为对称轴，因此θx1=0、θy1=0。于是，在4个节点12个位移分量中，只有一个待求的未知量w1。48解出其中：结构的代数方程组：这是一个单元的计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵。引入支承条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元素。于是结构的代数方程为：49内力:利用式(4-2-6)可求得单元4个节点力矩为：位移向量仅有w150由表看出，网格越密，计算结果越接近于精确答案。还可看出，位移的精度一般比内力的精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出的，而内力则是根据位移间接求出的。514.3薄板有限元程序设计

一、总框图根据弯曲板有限元分析方法的解题过程，可写出其总框图如下：52二、子框图１、单元坐标结点编号及单刚形式为了取挠度向下为正，又能与前述坐标系统统一，特将前述坐标前翻180°xzy53程序中单刚数组为DK(20,20),子程序:SubroutineDG(A,B,E,T,U)为其形成单刚的子程序。为了能适用板的弹性分析,程序采用了应力元和弯曲元的组合形式，即每个结点考虑5个位移分量:u,v,w,θx,θy,前2个为平面应力问题的未知量,后3个为弯曲板的结点未知量。当只作弹性分析时，平面应力元和弯曲元是非藕连的，即单刚的两个副块恒为0,单刚的形式为：54２、自动形成单元编号信息（单元信息数组：[IB]）。３、结点定位向量。４、形成荷载列向量。（a.结点力；b.非结点力(只考虑均布力)）５、总刚，SubroutineZG(M,N,LD,A,B,E,T,U)６、解方程。FJZG(),HUD()７、算单元力。SubroutineDYL()８、算等效结点力。９、弹性矩阵[D]。10、几何矩阵[B]。55三、输入数据说明１、总信息。共11个(见程序)２、结点约束信息数组[JB]JB(I,1)──i结点的结点号JB(I,2)──i结点的约束分量号(1～5)结点约束信息应根据支承条件或对称条件决定，如算例中所给出的四边简支方板，承受满布均布力，此时可只取板的1/4作为分析对象，如下图只取右上角1/4板，采用6×6网络，则每个单元的边长为1米(a=0.5,b=0.5)。56设结点编号如图示:在y=0的边界上(1-7结点):挠度w=0(第3个分量)绕y轴转角θy=0(第5个分量)同理,在平行于y轴的x=6m边界上:w=0,θx=0(3,4分量)57在对称轴x=0边界上u=0,θy=0在对称轴y=6m边界上v=0,θx=0中点(43点)除W外,其余均=0同时，在简支边上,也可设u和v均为0这样便共有77个约束。另外，也可通过改变约束信息来改变计算简图，如同样网格数的1/2、1/4板，固支边界板等。5