《变化率与导数》冲刺3

《变化率与导数》试卷一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山模拟)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t，那么速度为零的时刻是 ()A．0秒 B．1秒末C．2秒末 D．1秒末和2秒末解析∵s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，令v＝0，得t1＝1，t2＝2.答案D2．(2009·临沂模拟)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 ()A．1 \r(2) \f(\r(2),2) \r(3)解析过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P(x0，xeq\o\al(2,0)－lnx0)，则k＝y′|x＝x0＝2x0－eq\f(1,x0)，∴2x0－eq\f(1,x0)＝1，∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)(舍去)．∴P(1,1)，∴d＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).答案B3．(2009·潮州一模)若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析y′＝4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.答案A4．(2010·聊城模拟)曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()\f(9,4)e2 B．2e2 C．e2 \f(e2,2)解析∵点(2，e2)在曲线上，∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)．即e2x－y－e2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，∴S△＝eq\f(1,2)×1×e2＝eq\f(e2,2).答案D5．(2009·全国Ⅰ理，9)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1 B．2 C．－1 解析设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y′＝eq\f(1,x＋a)，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0))＝eq\f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.答案B6．(2009·安徽文，9)设函数f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，则导数f′(1)的取值范围是 ()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2] D．[eq\r(2)，2]解析由已知f′(x)＝sinθ·x2＋eq\r(3)cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，又θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12))).∴eq\f(π,3)≤θ＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,4)，∴eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))≤1，∴eq\r(2)≤f′(1)≤2.答案D二、填空题(每小题6分，共18分)7.（2010·厦门调研）如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=；0eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝________.(用数字作答)解析由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB所在直线的方程为f(x)＝－2x＋4(0≤x≤2)．同理BC所在直线的方程为f(x)＝x－2(2<x≤6)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4(0≤x≤2)，,x－2(2<x≤6)，))所以f(0)＝4，f(4)＝2.答案2－28．(2009·福建理，14)若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，x∈(0，＋∞)，∴由题知5ax4＋eq\f(1,x)＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－eq\f(1,5x5)在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－eq\f(1,5x5)∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．答案(－∞，0)9．(2009·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．解析设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知：y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)－10＝2，∴xeq\o\al(2,0)＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P点的坐标为(－2,15)．答案(－2,15)三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·衡阳模拟)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．解f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2，①又k＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，②由①②得x0＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,4).∴所求曲线的切线方程为y＝－eq\f(1,4)x.11．(13分)(2010·绍兴月考)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.解因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因为t≠0，所以a＝－t2.g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f′(t)＝g′(t)．而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.将a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t3.故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.12．(14分)(2010·厦门模拟)设有抛物线C：y＝－x2＋eq\f(9,2)x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．解(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1.①y1＝－xeq\o\al(2,1)＋eq\f(9,2)x1－4.②①代入②得xeq\o\al(2,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(9,2)))x1＋4＝0.∵P为切点，∴Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(9,2)))2－16＝0，得k＝eq\f(17,2)或k＝eq\f(1,2).当k＝eq\f(17,2)时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝eq\f(1,2)时，x1＝2，y1＝1