三角函数知识点归纳(填空型)

三角函数知识点归纳(填空型)华侨中学数学组1、角的概念的推广后，包括、、.与角终边相同的角可以表示为.(1)象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角.(用集合表示)终边在x轴上；终边在y轴上;第一象限角;第二象限角;第三象限角;第四象限角;终边在坐标轴上;终边在直线yx上;终边在直线y舜x上.(2)区间角：将角 |l20ogc30o 120ogc60o,kZ在坐标系①中表示出来，并在坐标系中作好必要的标记；把坐标系②中终边在阴影部份的角用集合表示出来是.2、弧度制：把叫做1弧度白^角.公式：;换算：180°弧度;1弧度度；1o弧度;扇形：弧长l,扇形面积S.3、任意角的三角函数：(1)定义：①②以角的顶点为坐标原点，始边为 x轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个异于原点的点P(x,y),点P到原点的距离记为 r,则sinP(x,y),点P到原点的距离记为 r,则sin；costan (2)三角函数的符号(3)三角函数线：①正弦线MP(sin②余弦线OM(cos一全，二正弦，三切，四余弦(取正)MPOPOMOPMP)“站在x轴(起点在x轴上)”；OM)“躺在x轴上(起点是原点)”；一.“ AT③正切线AT(tan AT)“站在点A(1,0)处(起点是A)”.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"比较x(0,—),sinx,tanx,x的大小关系： ^2(4)特殊角的三角函数：0643万32sincostan4、同角三角函数的关系：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"平方关系：sin2 1cos2,cos2 1sin2 ;商式关系：.同角三角函数的基本关系式的主要应用是：已知一个角的三角函数，求此角的其它三角函数值 .在应用平方关解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数时，一般可不用同角三角函数的基本关系式，而是利用三角函数定义直接求值 ^5三角函数的诱导公式：角xsinxcosxtanx角xsinxcosxtanx22322322k推导以上公式的工具：助记口诀同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象取加以讨论②求任意角的三角函数值：步骤：公式二、四、五、六、七、八、九公式二、四、五、六、七、八、九③已知三角函数值求角：注意，所得的解不是唯一的，而是有无数多个步骤：i)确定角所在的象限；TOC\o"1-5"\h\zii)如函数值为正，先求出对应的锐角 1;如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角 1;iii)根据角 所在的象限，得出0~2间的角一一如果适合已知条件的角在第二限；则它是 1;如果在第三或第四象限，则它是 1或2 1；iv)如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合 ^3 15如tanm,贝Usin ,cos ；sin(一 ) ；cot( )2 2注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度： (3, 4, 5); (6,8, 10); (5,12, 13); (8,15, 17)等等.6、和角与差角公式、二倍角公式、升降哥公式：(1)和、差角公式：sin()；cos()；tan() (2)二倍角公式(升塞公式)：sin2 ;cos2(3)倍角公式的变形(降哥公式)：sincos;sin22(sincos) .7、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：(1)角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：3①2是的二倍；4是2的二倍； 是万的二倍；万是一的二倍；3是3■的二倍；F是%的二倍；一2是一的二倍。TOC\o"1-5"\h\z2 430°15o45o30o60o45o——；问：sin—;cos—;2 12 12( ) ；④一 一(一 )；4 2 4⑤2 ( )( )(1)(；);等等.(2)…函数名称变换二三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。(3)常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“ 1”的代换变形有：2 2 2 2 o o1sincossectantancotsin90tan45(4)哥的变换：降哥是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降哥处理的方法。常用降哥公式有：;。降哥并非绝对，有时需要升哥，如对无理式 J1cos常用升哥化为有理式，常用升塞公式有：;;（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。1tan1tan如： 1tantantantantan2tan1tan;-1tan ,;1tantan;1tantan1tan2 ;tan20otan40o .3tan20otan40osincos=；asinbcos=；（其中tan；）1cos；1cos;（6）三角函数式的化简运算通常从： “角、名、形、哥”四方面入手；..基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化 .①基本思路：一角二名三结构 .即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构.②基本技巧有：i）巧变角，已知角与特殊角的变换，已知角与目标角的变换，角与其倍角的变换，两角与其和差角的变换等等；ii）三角函数名互化（切弦互化）；iii）公式变形使用；iv）三角函数次数的升降；v）式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同） ；vi）常值变换主要指"1”的变换（1sin2 cos2 tan—sin—cos0等等）；4 2vii）正余弦基本对称式"sincos,sincos,sincos”的内在联系，知一可求二.8、辅助角公式的应用：asinbcos 4a_b^sin（ ）（其中角所在的象限由a、b的符号确定，角的值由tan-a确定）在求最值、化简时起着重要作用 .9、三角函数的性质

定义域值域最值当x2k—k 时，2ymax1；当x2k -2k 时，ymin 1.当x2kk 时，Ymax1；当x2kk 时，ymin 1.既无最大值也无最小值周期性奇偶性单调性在2k—,2k —2 2k 上是增函数；在 k 上是减函数.在 上是增函数；在2k,2kk上是减函数.在k一，k一2 2k 上是增函数.对称性对称中心k,0k对称轴xk—k2对称中心k一,0k2对称轴xkk对称中心—,0k2无对称轴(2)有关三角函数的最值的类型：①yasinxbcosx型；②yasin2xbsinxc型；③关于sinx、cosx的齐次式型;asinxc制 型bcosxd10、函数yAsin(x)的图像和性质(函数yAcos(x)与ytan(x)的性质类似给出)(1)作图：五点法，依次取x;(2)周期：T；(3)单调区间：当 0时，增区间由解不等式x而得到；减区间由解不等式x而得到；当 0时，增区间由解不等式 (x)而得到；减区间由解不等式 (x)而得到;(4)最大值：当A 0时， x时，y取最大值 A.最小值：当A 0时， x时，y取最小值 A.(5)对称轴由解等式x而得到.(6)对称中心由解等式 x而得到.

（7）奇偶性：当时，函数是奇函数；当时，函数是偶函数.（8）振幅,周期T,频率f,初相,相位.（9）根据图像求函数f（x）Asin（x）B的解析式：1 i）由周期求 ；ii） —ymaxymin， —YmaxYmin；m）由某个点的坐标求 的值（一2般最高或最低点）^11、三角函数变换（A0, 0, 0）：（1）将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数ysinx 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数ysinx 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象.（2）函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数 ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx 的图象；再将函数ysinx的图象；再将函数 ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx 的图象；再将函数ysinx 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysin的图象.注意：在对横坐标进行伸缩或平移时，只对12注意：在对横坐标进行伸缩或平移时，只对12、正余弦定理：进行变换.（1）正弦定理，在4ABC中有,sinAsinBsinC2R（R为△ABC的外接圆半径）；2RsinA正弦定理的变形： b2RsinB2RsinC（2）余弦定理，在^ABC中有,（1）正弦定理，在4ABC中有,sinAsinBsinC2R（R为△ABC的外接圆半径）；2RsinA正弦定理的变形： b2RsinB2RsinC（