排列组合经典练习答案答案

排列组合二项定理排列组合二项定理知识要点一、两个原理.乘法原理、加法原理.可以有重复元素的排列.．．．．．．．从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m-m•…m=mn..例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解：m”种)二、排列.⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m<n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m．．．．．．个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n个不同元素中取出m(m<n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号Am表示.n⑷排列数公式：n!Am=n(n-1)•一(n-m+1)= (m<n,n,meN)(n-m)!规定C0=Cn=1nn注意：n-n!=(n规定C0=Cn=1nnn+1nmnnn-1Am=Am+AmCm-1=Am+mAm-1 Amn+1nmnnn-1含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n=n1且n=n1+n2+……nk,则S的排列个数等于n=n!n!n!...n!12k例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n=(1+2)!=3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个1!2!数n=3=1.3!三、组合.1.⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m<n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数公式：Cm=生=n57…("m+DCm= n!nAm m! nm!(n-m)!m⑶两个公式：①Cm=Cn-m；②Cm-n+cm=Cn+1nn nnn①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有Cm-1Cl=Cm-1一类是不含红球的选法有Cm)n1 n n②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有Cmt，如果不取这n一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C：种，依分类原理有Cm:+Cm=Cnm.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式C0+C1+C2+…0n=2mTOC\o"1-5"\h\znnn nC0+C2+C4+…=C1+C3+C5+…=2m-1nnn nnnCm+Cm+Cm…Cm=Cm+1n m+1 m+2 m+n m+n+1kCk=nCk-1n n-111Ck=Ck+1k+1nn+1n+1②常用的证明组合等式方法例..裂项求和法.如：-+2+-+…-^―=1--1-(利用七1= --)2!3!4! (n+1)! (n+1)! n! (n-1)!n!.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.V.递推法(即用Cm+Cm-1=Cm递推)如：Cj+C3+C3+…Cj=JJ.nnn+1 3 4 5 nn+1Vi,构造二项式.如：(C0)2+(C1)2+…+(Cn)2=Cmn n n 2n证明：这里构造二项式(％+1)n(1+%)n=(1+%)2n其中％n的系数，左边为C0-Cn+C1Cn-1+C2-Cn-2+…+CnC0=(C0)2+(C1)2+…+(Cn)2，而右边=Cnnnnnnn nnn n n 2n四、排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型：①直接法.②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列,它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m<n)个元素必相邻的排列有An-m+1-Am个.其中加-m+1是一个“整体排列”，而4m则是“局部排列”n-m+1m n-m+1 m又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为A2-A1.A2.n n-12②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An-1.A2.n-1 2③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有a2-An-1.nn-1

注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不22确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？A”-m.Am（插空法），当n-n-mn-m+1m+1>m,即m<n+1时有意义.2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有A”种，m（mYn）个n元素的全排列有Am种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到m去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有&种排列方法.Am

m例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？Cn-Cn••Cn⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有加（卜-1）n一■-.Ak

k例如：从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有C2=3（平均分组就用不着管组2!与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少？/ C8C2、（P=-18-2-）C10/2!20注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有An-m.4m/Am，当口—m+i>m，即m<n+1时有意义.n-mn-m+1m 2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：x+x+x+x=12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间1234形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x,x,x,x显1234然x+x +x +x =12，故（x ,x ,x ,x）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解（y ,y ,y,y），对应着惟1 2 3 4 1234 1234一的一种在层个球之间插入隔板的方式（如图:一的一种在层个球之间插入隔板的方式（如图:‘x* "*所示）故方程的解和插板的方法一一x1 x2 x3x4注意：若为非负数解的x个数对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数c3.，即用aaa中a等于+1，11有

a,a,...a x+12n i ix+x+x...+x=Ana-1+a-1+...a-1=A，进而转化为求a的正整数解的个数为CA-11 2 3n 1 2 n A+n⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有ArAn-r.例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：Am-1；不在某一位置上：Am—Am-1或Am+Ai-Am-1（一类是不取出特殊元素a,n-1 n n-1 n-1m-1n-1有Am，一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空n-1法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题..从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。先C后A策略，排列CrCk-rAk；组合CrCk-r.rn-rk rn-r.从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列CkAk；组合Ck.n-rk n-riii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先c后a策略，排列CrCn-rA；组合CsCn二.II.排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.2.组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以4.rk例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4,其分法种数为C2C4C4/A2=1575.若分成六组，各组人TOC\o"1-5"\h\z10 8 4 2数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为C1C1C2c2c2c2/A2•A410 9 8 6 4 2 2 4②非均匀编号分组:n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为a.Amm例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5去参加不同的劳动，其安排方法为：ROC8C5.A3种.若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4,参加不同的劳动，则安排方法有CC3C4.A3种10 8 5 3③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为A/Ar-Am.rmC2C4C4TOC\o"1-5"\h\z例：10人分成三组，人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动，分法种数为10J4-A3A2 32④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，cmkn-(m1+m2cmkn-(m1+m2+…+mk1)n n-m1例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5,其分法种数为C2c3C5=2520若从10人中选出6人分成三10 8 5组，各组人数分别为1、2、3,其分法种数为C1C2C3=12600.10 9 7五、二项式定理.1.⑴二项式定理：(a+b)n=C0anb0+C1an-1b+•••+Cran-rbr+•••+Cna0bn.nn n n展开式具有以下特点：①项数：共有n+1项；②系数：依次为组合数C0,C1,C2,…,Cr，…,Cn;nnnnn③每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.(a+b)n展开式中的第r+1项为：Tr+1=Cran-rbr(0<r<n,reZ).⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．.当n是偶数时，中间项是第-+1项，它的二项式系数C2最大；2n.当n是奇数时，中间项为两项，即第"1项和第胆+1项，它们的二项式系数。片=cT最大.2 2 nn③系数和：C0+C1+•••+Cn=2nnnnC0+C2+C4+…=C1+C3+…=2n-1nnn nn附：一般来说(a%+by)n(a,b为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解.当「4>4 「4<4a丰1或b牛1时，一般采用解不等式组1%>4+1,或1%—%+1(A为T的系数或系数的绝对值)的办法来A>AA<A k k+1kk-1 kk-1求解.⑷如何来求(a+b+c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,reN,且p+q+r=n把(a+b+c)n=[(a+b)+c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cr(a+b)n-rCr，另一方面在(a+b)n-r中含有bq的n项为Cqan-r-qbq=Cqapbq，故在(a+b+c)n中含apbqcr的项为CnrCnrqapbqcr.其系数为n-r n-r nn-rn! (n-r)! n!CrCq= = =CpCqCr.nn-rr!(n-r)!q!(n-r-q)!r!q!p! nn-pr近似计算的处理方法.当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n。1+na，因为这时展开式的后面部分C2a2+C3a3+•••+Cnan很小，可以忽略不计。类似地，有(1-a)nx1-na但使用这两个公式时应注意a的条nn n件，以及对计算精确度的要求.高二数学第十章《排列、组合和二项式定理》习题(一)

1.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A.40 B.50 C.60 D.70.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A.36种 B.48种 C.72种 D.96种.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A.6个 B.9个 C.18个 D.36个.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）A.2人或3人B.3人或4人C.3人 D.4人.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）A.45种 B.36种 C.28种 D.25种.某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A.24种 B.36种 C.38种 D.108种.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A.33 B.34 C.35 D.36.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A.72 B.96 C.108 D.144.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 （）A.50种 B.60种 C.120种 D.210种.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种.（用数字作答）.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的排法.（种不同的排法.（用数字作答）.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种..要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，相邻区域不同色，有 种不同的种法（用数字作答）.,分芸要求y.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种15.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种 C.1008种 D.1108种.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C）108 （D）144.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有o和I,则与信息ono至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）TOC\o"1-5"\h\zA.10 B.11 C.12 D.15.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）A.152 B.126 C.90 D.54.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（D）（A）150种（B）180种 （C）300种 （D）345种.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A18 A24 C.30 D36.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A.60 B.48 C.42 D.36.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（ ）A.85 B.56 C.49 D.28.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A.360 B.188 C.216 D.96.12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），