山东省泰安市第十三中学2021年高二数学理月考试卷含解析

山东省泰安市第十三中学2021年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则的最小值为（）A．4 B．12 C．16 D．6参考答案：D【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；J9：直线与圆的位置关系．【分析】利用已知条件求出m，n的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：圆（x+3）2+（y+1）2=1的半径为1，圆心（﹣3，﹣1）直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，直线经过圆的圆心．可得：3m+n=2．则=（）（3m+n）=（3+3++）≥3+=6．当且仅当m=，n=1时取等号．故选：D．2.函数的一个零点所在的区间是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)参考答案：B【分析】先求出根据零点存在性定理得解.【详解】由题得，，所以所以函数的一个零点所在的区间是.故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3.下列命题中的真命题是（）A．是有理数 B．是实数 C．e是有理数 D．{x|x是小数}?R参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】首先判断出是无理数，是实数，e是无理数，{x|x是小数}为实数，然后结合选择项逐一判断命题的真假．【解答】解：A．因为是无理数，所以A为假命题．B．因为属于无理数指数幂，结果是个实数，所以B为真命题．C．因为e是无理数，所以C为假命题．D．因为{x|x是小数}=R，所以D为假命题．故选B．4.双曲线的渐近线方程为A.

B.

C.

D.参考答案：B5.已知，则的大小关系为A． B． C． D．参考答案：A略6.下列关系式中，正确的是(

)A.

B.C.

D.参考答案：D7.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n＋3）＝(n∈N*)，验证当n＝1时，左端应取的项是

（

）A.1

B.1+2

C.1+2+3

D.1+2+3+4参考答案：D略8.知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A． B． C．﹣2 D．2参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．

【专题】直线与圆．【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，故选C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．9.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（ ）A.2400 B.2700 C.3000 D.3600参考答案：C试题分析：（人），故选C.

10.的展开式中，的系数是（）A． B． C．297 D．207参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．参考答案：略12.若在R上可导,,则____________.参考答案：-1813.用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是．（注：结果请用数字作答）参考答案：48【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】对数字4分类讨论，结合数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得出结论．【解答】解：数字4出现在第2位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第3，4位或者4，5位，共有C32A22A22=12个，数字2出现在第4位时，同理也有12个；数字4出现在第3位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第1，2位或第4，5位，共有C21C32A22A22=24个，故满足条件的不同五位数的个数是48．故答案为：48．【点评】本题考查分类计数原理，考查排列、组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．14.已知,：（）,若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________.参考答案：

15.计算_______．参考答案：－20略16.△ABC的三个内角为A、B、C，且2C–B=180°，又△ABC的周长与最长边的比值为m，那么m的最大值为

。参考答案：17.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=．参考答案：考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a3a9=2a52，结合等比数列的性质可求q，然后由可求解答：解：∵a3a9=2a52，由等比数列的性质可知，∴?a5∵an＞0∴q=∵a2=2∴=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）当时，求函数的零点个数；（2）若，使得，求实数m的取值范围.参考答案：(1)见解析；(2)(2,+∞)【分析】（1）利用的符号讨论函数的单调性，结合零点存在定理可得零点的个数.（2）不等式有解等价于对任意恒成立即，构建新函数，求出后分和分类讨论可得实数的取值范围.【详解】解：（1），即，则，令解得.当在上单调递减；当在上单调递增，所以当时，.因为，所以.又，，所以，，所以分别在区间上各存在一个零点，函数存在两个零点.（2）假设对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.①当，即时，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增.又，所以对任意恒成立.故不符合题意；②当时，令，得；令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即当时，存在，使，即.故符合题意.综上可知，实数的取值范围是.【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．含参数的不等式的有解问题，可转化为恒成立问题来处理，后者以导数为工具讨论函数的单调性从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.19.已知正数、满足.（1）求的范围；（2）求的范围.参考答案：解：（1）、为正数即从而（2）、为正数即略20.已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．参考答案：【考点】解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式，得到cos（B+C）的值，由B+C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B+C的度数，然后由三角形的内角和定理求出A的度数；（Ⅱ）根据余弦定理表示出a的平方，配方变形后，把a，b+c及cosA的值代入即可求出bc的值，然后由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴又∵0＜B+C＜π，∴，∵A+B+C=π，∴．（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc?cosA得即：，∴bc=4，∴．【点评】此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．21.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，且EF分别是BC，B1C1中点.（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）求直线AF与平面AEC1所成角的正弦值.参考答案：解：（1）证明：连接交于点，连接∵为正方形，∴为中点又为中点，所以为的中位线∴又平面，平面∴平面（2）作于，连接∵，为的中点∴又∵平面平面，且平面平面，平面∴平面，而平面∴平面平面∴平面∴即为直线与平面所成角设，则在中，，∴

22.已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x﹣2y﹣6=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】