2015年全国中考数学试卷解析分类汇编第一期专题9一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应一.选择 【答案】【解析】2（2015· 3（2015·900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为 B．C．D．4（2015·额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ x20（1+x）2=80，﹣﹣ax（1x=B（号选“+”下降时中间的“±”号选﹣”5．(2015•湖南株洲,第8题3分)有两个一元二次方程：Max2bxcac0，以下列四个结论中，错误的

cx2bxa0AMBM有两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；1C5M5

是方程的一个根；DM和方程xA．∵M即b24ac而此时的判别式△＝b24ac0B．M的两根符号相同：即xxc0， 的两根之积＝a＞0也大于0， 1C5M25a5bc05

代入方程看是否成立，代 入得 c ba0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立 DM与可得：

(ac)x2(ax2 x1或－1（2015•,第8题3分）关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等实数根，则k的（A）k

（B）k

（C）k

（D）k1且kk00，则有224(1)k0k1k1且k0D。（2015•凉山州,第7题4分）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取范围是（A．B．C．且D．且【答案】 泸州,103分）xx22xkb10有两个不相等的实数根,则ykxb的大致图象可能是yOyxOyOyxOxyOyOx 解答：解：∵x2﹣2x+kb+1=0kb＜0，A．k＞0，b＞0kb＞0A不正确；B．k＞0，b＜0kb＜0B正确；C．k＜0，b＜0kb＞0C不正确；D．k＞0，b=0kb=0D不正确；（1△＞0⇔（2△=0⇔（3△＜0⇔（2015•眉山，第8题3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是 A、△=0，方程有两个相等的实数根；10（2015•相同，预计2016年投资7.2亿元，那么每年投资的增长率为（） B． C． .专题：增长率问题．分析：首先设每年投资的增长率为x．根据2014年县已投资5亿元，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元，列方程求解．x，，20%．nn为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x11（2015• B C D12.分析：求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．（x﹣2﹣5）=0，12．12.（2015山东济宁，5，3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则角形的周长为 D.13【答案】试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为，那么根据三角形的三边关系，可知3＜第三边＜943+4+6=13．13（2015•兰州,第6题，4分）一元二次方程x28x10配方后可变形A.(x4)2 B.(x4)2C.(x4)2 D.(x4)2【答(ab)2a22abA：x28x1617，x28x10；B：x28x1615，x28x10；C：x28x1617，x28x10Dx28x1615x28x10，Cx0，此时，左边=－1，右边1x0A左=16，A右=17；B左=16，B右=15B(B被排除C左=16，C右=17；D左=16，D右=15DA、C我 一个x的值试试：取x1，那么原式左边=－8，原式右边x1时，A左=25≠A右－8C选项必为对的。【题目星级】14（2015• 省,8题，3分）xx2xa90a4值范围是 A.a≥

B.a≤

C.

【答案】【考点】一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式xx2xa90412－4a901＋4a－9＞0a＞2 4 1（2015•兰州,第1题4分每天的涨跌幅均不超过10%即当涨了的10%便不能再张叫涨停当了的10%后便不再跌叫做已一支某天后两天时间又涨回到，若这两天此股价的平均增长率为x，则x满足的方程是A.(1x)2C.12x

B.(1x)29D.12x9【答【知识准备】所谓某个量mp，意味着增长部分是mp，那么它就由原来的m，增长到了（mmpm(1p%)【思路点拔】我们可以将整个假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为a或m等与现有字母不突的任何字母，那么后的价格就是0.9。0.9x，那么就是到了0.9(1x0.9(1x，它是在0.9(1x的基础上增加到了(1x倍（请注意增加和增加到的区别，因此，现在的股价是[0.9(1x1x)，也就是0.9(1x)2。程0.9(1x)21B。【题目星级】16（2015•省,第6题，4分）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和环境20142013x，则下列方程正确的是（） 20142013xabxa（1±x）2=B．17.（2015•山东聊城,第13题3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解是 分析：本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“00．”，即可求得方程的18.（2015•53分x24x30的两根为x1，x

则x1x2的值 A. B. C. D.【答案】【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】∵一元二次方程x24x30的两根为x1x2∴xx33 （2015•南充,第10题3分）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正的根都是负根；②；③ （A）0 （B）1 （C）2 （D）3个【答案】二次方程根与系数的关系（2015•浙江滨州,第3题3分）一元二次方程的根的情况是 A.没有实数 【答案】（2015•浙江滨州,第5题3分）时，下列变形正确的为 A. B.C. D.【答案】22（2015•ABCABC的周长为（）A

．

10或 ．

8考点：解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等分析：x=2x2﹣2mx+3m=0m=4x2﹣8x+12=0，利用x1=2，x2=66是腰时，2是6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三解答 解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根6是腰时，2是等边，此时周长6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．14．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角23（2015•佛山,第9题3分如图将一块正方形空地划出部分区域进行绿化原空地一边减少了2m，3m20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A

．

．

考点 一元二次方程的应用专题 几何图形问题分析 解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3（x﹣2）=20，7m． 24（2015•3500x（A B C．

D ． 根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015年教育经费支出额， 故选B．点评：本题考查一元二次方程的应用﹣﹣为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为（1±x2=B（“﹣”25.（2015山东省德州市，7，3分）x2+2x+a=0a的取值范围是（ B. 【答案】……二.1．(2015•江苏南昌第11题3分)已知一元二次方程x2-4x-30的两根为m,n,m2-mn m＋n=4,mn=﹣3，又m2-mn+n2m+n)2∴原式4233252．(2015•江苏,第12题3分)已知方程的一个根是1，则它的另一个根 ，m的值是 【答案】3（2015• 武威,第16题3分）关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣6． 分析 （此时方程为二元一次方程）解答 解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，k≥﹣6，点评：ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实k=0k≠0两种情况进行讨论． 分析：先根据一元二次方程的解的定义得到 n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+ ，再利用完全解答：解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0， （根解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．+=3，则k的值是 a，bc的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利+ =（2015•省宜宾市，第11题，3分）关于x的一元一次方程x2–x+m=0没有实数根，则m的取值范 2015年房价为7600元.设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程 （2015•浙江省台州市，第15题）.关于x的方程mx2xm10，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解②当m0时，方程有两个不等的实数解③无论m取何值，方程都有一个负数解，其 泸州,153分）x、xx25x10x2x2 x1+x2=5，x1x2=﹣1x2+x2x2+x2=（x1+x2）2﹣2 解答：解：∵x1、x2x2﹣5x﹣1=0 ∴x2+x2=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27， （2015•,第25题4分）如果关于x的一元二次方程ax2bxc0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的 （写出所有正确说法的序号x2x20②若(x2)(mxn)0是倍根方程，则4m25mnn20③若点p，qy2xpx23xq0xax2bxc0M(1t，s，N(4t，syax2bxax2bxc054ax2bxc0t2tax2bxca(xt)(x2t)

b29ac0Kb29ac K0ax2bxc0

Kb29ac102对于②，mx2n2m)x2n0K(n2m)29m(2n)04m25mnn202pq2，而K329pq02对于④，由M(1t，s)N(4t，s)

1t4t5b

，由倍根方程的结论知b29ac0，从而有c50a，所以方程变为ax5ax0a x5 ， ，，则 ．值为 分析因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．解答解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，k=﹣3．故答案为13（2015•山东日照153分如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那2n2﹣mn+2m=2026．分析由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，nx2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m=2（n+3）﹣mn+2m=2n+6﹣mn+2m=2（m+n）﹣mn，然后就可以求解答：解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，m，nx2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，n2=n+3，14（2015·两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为5 （x﹣3（x﹣4）=0，x﹣3=0，x﹣4=0，则矩形ABCD的对角线长是：=5．15（2015• 市,14题，3分）xax2+bx1=04足条件的实数a，b的值 ab1（b2=a，a≠0即可，答案不唯一 兰州,第16题，4分）ax2bx20150x1a 【答x1a1)2b120150，ab20150ab2015【题目星级】（2015呼和浩特，15，3分）若实数a、b满足(4a+4b)(4a+4b－2)－8=0，则 1详解：－2这个题目比较简单，但是道理还是不错的。设a+b=w并代入，则原式为4w（4w－2）－8=0，再一看，还可以简单一下，设4a+4b=m=4（a+b）并代入，则原式为m（m－2）－8=0，易解得m=4或m=－2。下程的另一个根x2是 x2，则：1．(2015·15题分)xax2+2x－1=0a a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0a的xax2+2x﹣1=0∴a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，a＜﹣1，∴aa＜﹣1．a+bxc（a0的根的判别式△=24ac0=0义． 题分若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根则 x2﹣3x+m=0点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．21.（2015•山东莱芜,第15题4分）某公司在年的额为万元，预计年的额将达到万元，若每年比上一年额增长的百分率相同，那么该公司在年的额为 【答案】试题分析：根据题意可设每年比上一年 额增长的百分率为x，所以有，解得（舍去，所以该公司在2010年的额为万元.考点：一元二次方程的应用（增长率问题22.（2015湖南邵阳第16题3分）关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则 0m的值即可．xx2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，m=﹣1．故答案为23.（2015荆州第14题3分）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：分析：由题意mx=mm2+mm+n的解答：解：∵m，nx2+x﹣1=0点评：24.（2015•福建第12题4分）方程x2=2的解是±．三.1（2015关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根（1（4（2（4（1）k﹥（2）2.2.（2015荆州第24题12分）已知关于x的方程ky=kx2+（2k+1）x+2xkP（a，y1，Q（1，y2）y1＞y2a的取值范围；y=kx2+（2k+1）x+2考点：x分析：kx2+（2k+1）x+2=0k=1y=x2+3x+2解答：（1）k=0x+2=0x=﹣2k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0k（2）y=0解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣xk．y1＞y2时，a＞1（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立， 解得或（0，2（﹣2，03.（2015•南充,第20题8分（8分）已知关于x的一元二次方程，p为实数（2）p直接写出三个，不需说明理由二次方程根的判别式4.（2015•南充,第25题10分）已知抛物线与x轴交于点A（m－2，0）和1，0（M（x1，y1，(x2，y2（x1＜x2M和的坐标．O，B，P，CLOBxLO，BL【答案】y=－+2x+3；当最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)，(1,4)；当线段OB向左平移，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为： 试题分析：根据对称轴求出b的值，然后根据交点得出方程的解，然后利用一元二次方程的定理求m和c的值，从而得到抛物线解析式；根据函数的交点得出+ 和· 求出最小值，得出交点的坐标；根据线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变，得到要使L最小，只BP+COOCBC′OBC′CPxP′(1，－4)，连接C′P′xB′C′P′y=ax+ny=0段OB向左平移时，周长L最短.此时线段BP、CO之和最短为 、 ∴ ∴∴当k=2时，的最小值为即的最小值为 ∴ =1，=－1，即 ∴当最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)，、 O、B、P、C构成多边形的周长∵线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变 ∴要使L最小，只需BP+CO最短如图，平移线段OC到BC′ 四边形OBC′C是矩形 PxP′(1，－4)C′P′xB′C′P′∴解得 ∴y=当y=0时，x=∴B′( 有3－=故点B向左平移，平移到同时点O向左平移，平移到O′(－，0)即线段OB向左平移时，周长L最短.此时线段BP、CO之和最短为P′C′= CP=∴当线段OB向左平移，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为+考点：图形的平移、一元二次方程的定理、二次函数与方程5（2015•自贡,第20题10分）利用一面墙（墙的长度不限另三边用58m长的围成一个面积200m2的矩形场地求矩形的长和宽考点：列方程解应用题、矩形的面积、解一元二次方程分析本题要注意58m长的是三边靠墙围成一个面积为200m2的矩形场地.要求矩形的长和宽可以根xxxxxx582x解得x25,x

582x 850米258504米6.（2015•浙江滨州,2414分）根据下列要求,解答相关问题请补全以下求不等式的解集的过程二次函数的图象（只画出图象即可）.②求得界点，标示所需：当y=0时，求得方程的解为 示出函数图象中y≥0的部分.③借助图象,写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集 利用（1）中求不等式解集的步骤,求不等式的解集参照以上两个求不等式解集的过程,x的不等式 【答案（1）② .（2）②当y=4时，求得方程的解；③借助图象,直接写出不等式的解集: 试题分析（xy=0时的一元二次方程的解，xx的取值就是不等式的解集；②③ ，并画出图象②当y=4时，求得方程的解为③借助图象,直接写出不等式的解集:（说明：以上三步中某一步出现错误，则以后的各步均不得分；若把不等式化为，构造函数进行求解亦可，具体评分参照上述标准）或均可时，解集为 或亦可时，解集为全体实数方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.用含a的式子表示花圃的面积8

y（元、y（元）x(m2 图

（1）（1）（40﹣2a（60﹣2a：60×40﹣402a（602a）=，5y1=40x，y2=则y=y1+y2=x花圃=（40﹣2a（60﹣2a）=4a2﹣200a 42≤a≤10，800≤x花圃≤2016，384≤x通道≤1600，x384时，y204023040元，x=383384时，有﹣4a2+200a=384，2230408.（2015•江苏泰州,第18题8分）已知：关于的方程3，求的值【答案】(1)x2+2mx+m2－1=0有两个不相等的实数根；(2)m=－4（1）（2）x=3mm的值.（1（1）∵a=1，b=2m，c=m2－1，x2+2mx+m2－1=0（2）∵x2+2mx+m2－1=0解得:m=－4m=－2．（1）（2）解不等式组：（1）（x+1（x﹣3）=0，x+1=0x﹣3=0，x＞35265元．，假设2016年的均价仍然下调相同的百分率准备一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行30万元，的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算），（1）10%（2）的愿望可以实现（1），即（2）2016年的均价，算出总房款，即可知道能否实现.（1）（2）如果下调的百分率相同，2016/m2，∵20+30＞47.385∴的愿望可以实现考点：一元二次方程的应用11（2015•(x1)(x20x10x20∴x11，x22【考点】因式分解法解一元二次方程0把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）.12（2015•（2）x212(x【解答过程】(x1x12(x1)0

(x1)[(x1)2]0，(x1)(x3)0x11x2【题目星级】13（2015•a1a（1）aa（2）x1a的值和方程的另一根．（1）∵b2﹣4ac=（﹣224×1×（a2）=124a0，∴a，解得 a的值是﹣1，该方程的另一根