叶盛标高数上

PAGEPAGE21前言只要两秒强行带入定型定法以洛为主单夹积导极限是微积分的基石；导数是微积分的关键；初等函数——公式搞定；分段函数——分段搞定；上限函数——导数搞定。第一章函数、极限与连续§0内容提要0、极限的定义（科学的语言——五句话）i)函数极限的定义（科学的语言——五句话）①的极限定义为：①（任给）；②（存在）；③当时；④总有成立；⑤则有。前4句话与第5句话等价的左极限定义为：①；②；③当时；④总有成立；⑤则有。结论：存在，即左极限与右极限存在且相等②的极限定义为：①；②；③当时；④总有成立；⑤则有。前4句话与第5句话等价的左极限定义为：①；②；③当时；④总有成立；⑤则有。ii)数列极限的定义（科学的语言——五句话）数列的极限定义为：①；②；③当时；④总有成立；⑤则有。前4句话与第5句话等价1、两个重要极限，这两个极限之所以重要，是因为几乎全部的基本初等函数求导公式都是由这两个重要极限推出的。2、极限存在的两个准则：i)夹逼定理;ii)单调有界数列有极限.3、连续与间断设函数在点的某邻域内有定义，如果存在，且，则称在点连续。破坏“设”、“如果”、“且”三条件之一者谓之间断，为间断点。若左极限及右极限都存在，那么称为的第一类间断点，否则为第二类间断点。保号定理，保命定理。保号定理，保命定理。保函数号定理证明：时，即，于是取，即保极限号定理中值定理，边值搞定，证明：反正即可。中值定理，边值搞定7、介值定理8、零点定理零点定理，边值搞定零点定理，边值搞定注意：。§1思维定势思维定势1洛必达前，要用三处（高等数学、初等数学、特例法）在春天就必须掌握的五个常用的麦克劳林公式生产出系列等价无穷小I)时,Iv)时,v)时,§2常考题型常考题型1强行带入，定顶星定法例2求极限洛必达前，要用三处。（初处）解：洛必达前，要用三处。（初处）超越函数，不再超越。超越函数，不再超越。超越函数：不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算，得到函数值的函数，谓之超越函数，指数函数、对数函数、三角函数为超越函数。例3求极限洛必达前，极限搞定。解：洛必达前，极限搞定。补充（全国2010，数一）极限A、1B、C、D、解：幂指函数，对数恒等。例4幂指函数，对数恒等。零与非零，泾渭分明。解：零与非零，泾渭分明。（）补充（全国2008数一、数二）高处求极限高处解：零与非零，泾渭分明。零与非零，泾渭分明。另解：解法三：拉氏弧形，不拉不行。拉氏弧形，不拉不行。补充（全国2009数二、数三）求极限解：零与非零，零与非零，泾渭分明。评注：求极限的最好办法：洛必达前，极限搞定。幂指函数，对数恒等。补充：求极限幂指函数，对数恒等。解：零与非零，泾渭分明。零与非零，泾渭分明。注意：此处不能直接利用等价无穷小（），应作如下处理。此处不能直接利用等价无穷小（），应作如下处理。补充处理：，而，刚才省略了这个步骤。补充（全国2011，数一，10分）求极限解：由于补充（全国1997，数二）求极限解：另解：补充（全国2011年，数三，10分）超越函数，不再超越。求极限超越函数，不再超越。解：看到根号，想到共轭。看到根号，想到共轭。补充（全国2011，数一）（答案：）补充（全国2005，数二）设函数连续，且分析：解：分子，分母，在此处如果继续这样处理：在此处如果继续这样处理：就是错误的，因为①在不可导；②导数不连续。考研数学的四个标准化：上限函数要标准化；微分方程要标准化；线性方程要标准化；随机变量要标准化。例6解：，练习：求下列极限①；②；（答案均为0）例8解：定理：（函数极限与数列极限的关系）例10求极限。分析：有理分式真分式部分分式（假的变真的，真的再分解）解：例13解：上述极限的左极限为上述极限的右极限为常考题型2导数、积分，可求极限例14.若的二阶导数存在，则错解：错因分析：的二阶导数存在，但在附近并不连续。补充：设处可微，一点可导，定义搞定。幂指函数，一点可导，定义搞定。幂指函数，对数恒等。例15求极限解法一：此种解法错误。解法二：令；则且有又有，；根据递推公式；有，故本题无法由本解法解出。解法三（采用定积分定义进行求解）：详见《叶盛标考研数学导学班讲义》。定积分是一种特殊的和式极限：i)ii）决定积分区间：；Iii)决定微分：；在本题中取例17求极限解：，而，，幂指函数，对数恒等。幂指函数，对数恒等。注意：，又。由本题可得结论：。由于数列由于数列离散，致使本题无法采用导数与积分定义的方法求该极限。常考题型3夹逼定理，谁来夹逼例18求极限解法一：则则有，；根据数列的递推公式，有，故本题无法由本解法解出。解法二（夹逼定理）：详见《叶盛标考研数学导学班讲义》。夹逼定理：i）（夹得住）；ii)（夹得紧）；则。夹逼定理是没有办法的办法，一般不要轻易使用。常考题型4递推极限，要看两头补充（全国1996，数学一）设分析：，逆向思维即逆向思维解：i）先证,;由数学归纳法，则数列。Ii)再证数列例19设由下式定义常考题型8渐近线里三种类补充（全国2010，数二）曲线的渐近线方程为_______解：i)，没有水平渐近线；ii)无垂直渐近线；iii），；故曲线仅有斜渐近线。导数与微分§0内容提要导数的定义导函数如果内可导，如果内可导，在处有右导数，在处有左导数；可导可微，其中与无关，这时称在点处可微，记作；可以证明。一般记作函数的可导性与连续性的关系在点处可导在点处连续；反之不成立。§2思维定势1、同名函数的三大用途：①求不定积分；②做证明题；③求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。原函导函，拉式定理。原函导函，拉式定理。§3常考题型常考题型9导数定义，永恒考题补充（全国1997，数一、数二）设连续，，且（为常数），求在处的连续性解：，，i)ii)初等函数——初等函数——公式搞定；分段函数——分段搞定；上限函数——导数搞定。i)ii)又，在处连续。在春天就要掌握的五个考研真题1（全国2001，数三、数四）设函数的导数在处连续，又，则是的极小值点是的极大值点是曲线的拐点不是的极值点，也不是曲线的拐点2（全国2005，数二）设函数连续，且。3（全国1997，数一、数二）设连续，，且（为常数），求在处的连续性。（）4已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解，i）证明方程组系数矩阵的秩，ii）求、的值及方程组的通解。例34设，则不存在补充（全国1998，数一、数二）函数不可导点的个数是定理：若在可导，在处连续但不可导，则函数在可导。证明：“”已知，证明函数在可导。“”函数在可导，证明，证毕。常考题型10函数求导，年年要考例43设，且，求解：，，补充，求解：，补充（全国2009，数二）设是由方程确定的隐函数，则-3初始条件，要抓出来。解：，初始条件，要抓出来。，当时，当时，。补充（全国2010，数三）设可导函数由方程确定，则解：，；当时，常考题型11阶导数，形式优美例46求的阶导数。（要求直接写出结果）解：详见《叶盛标考研数学导学班讲义》。例47，求分析：有理分式真分式部分分式（假的变真的，真的再分解）解：详见《叶盛标考研数学导学班讲义》。补充（全国2010，数二）函数在处的阶导数，。解：常考题型12切线法线，倒数搞定i)过曲线上一点，求过该点的切线：；ii)过曲线外一点，求过该点且与曲线相切的直线：补充（全国2011，数三）曲线在点处的切线方程为。解：当时，。第三章中值定理与导数应用§0内容提要1、对罗尔定理的证明在上连续，由最值定理有i)如果，则，，在内任取一点，总有；ii)如果，那么或中至少有一点在内取得，不妨假设，一点可导，定义搞定。一点可导，定义搞定。（保极限号定理）问题证明，结论开始。，证毕。问题证明，结论开始。2、对拉格朗日中值定理的证明欲证：——撇了再，即证：（某一函数在处的导数）——撇了再，高等数学，升阶降阶。，高等数学，升阶降阶。，中值定理，边值搞定。中值定理，边值搞定。，由罗尔定理，存在，使得，即有，证毕。3对柯西中值定理的证明欲证：，即证：，，，，，由罗尔定理，存在，使得，即有，证毕。4泰勒公式（略）对定积分中值定理的证明证法一：在上连续，由最值定理有，则最值介值，狼狈为奸。由介值定理，存在，使，最值介值，狼狈为奸。即有，证毕。证法二：在上连续，存在原函数，使得，牛莱拉氏，狼狈为奸。，其中。牛莱拉氏，狼狈为奸。评注：连续函数一定存在原函数，连续，则存在，使得，此即为微积分基本定理。§1思维定势——详见《叶盛标考研数学导学班讲义》。§2常考题型常考题型13函数性态，导数搞定补充（全国2010，数一、数二）求函数的单调区间与极值。解：函数的定义域为，，，令得驻点，——极小值极大值极小值函数的极小值为，极大值为。补充（全国2000，数二）设函数满足关系式，且，则（）是的极小值点是的极大值点是曲线的拐点不是的极值点，也不是曲线的拐点分析：这是一个可降解的二阶微分方程，令（缺）则有（一阶微分方程），无法求解！且，则（由此可知存在），由此可知存在，从而可知连续，且拐点补充（全国2011，数一、数二）曲线的拐点是（）解：对于可导函数，若存在拐点，使，必有在区间与上异号。对有：令，其中，则，，且则有，，不是曲线的拐点对有：令，其中，则，，且，不是曲线的拐点。对有：令，其中，则，，，则在的左右领域内异号，且，是曲线的拐点对有：令，其中，则，，，则在的左右领域内均大于0，且，不是曲线的拐点常考题型14证明不等，导数搞定补充（全国1999，数一）试证：当时，欲证：，即证：，，，，令，得。极小值，证毕。（一定要有用导数穷追猛打的革命精神！）补充：证明对自然数，有证明：先证，即证，即证，令则恒成立，在定义区间上单调递增，又，在定义区间单调递增，且，证毕。证明不等，导数搞定。问题证明，结论开始。再证，即证，即证，证明不等，导数搞定。问题证明，结论开始。即证，即证，，恒成立，单调递增，又，单调递增，且。常考题型15中值定理，边值搞定中值定理，函数搞定。中值定理，函数搞定。有了函数，利用函数。没有函数，制造函数。中值定理，边值搞定。有了边值，利用边值。没有边值，制造边值。例55原函导函，拉式定理。详见《叶盛标考研数学导学班讲义》。例56三值相等，两撇为零。详见《叶盛标考研数学导学班讲义》。补充（全国2010，数二）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：问题证明，结论开始。存在，，使得问题证明，结论开始。中值定理，边值搞定。欲证：，即证中值定理，边值搞定。即证：，，两个中值，两次搞定。，其中两个中值，两次搞定。，其中；，，证毕。补充（全国2010，数三）三值相等，两撇为零。最值介值，狼狈为奸。设函数在闭区间上连续，在开区间内存在二阶导数且，三值相等，两撇为零。最值介值，狼狈为奸。证明：i)存在，使；ii)存在，使。证明：，其中，则有；由于在闭区间上连续，由最值定理，则有，，，，由介值定理，存在，使，综上即有第四章不定积分§0内容提要求与求互为反问题。§1思维定势思维定势1不定积分，换元分部。思维定势2换元积分，同三倒万（同：化同名；三：三“正”代换；倒：倒代换；万：万能置换公式）。同：化同名（凑微分）；三：三“正”代换①正弦代换，令；②正切代换，令；③正割代换，令；倒：倒代换，令（注意倒回来）；万：万能置换公式，令，对于三角有理函数，万能置换公式是万能的。补充（全国2009，数二、数三，10分）求不定积分解：令，，则有。补充（全国2011，数三，10分）计算不定积分解：令，则§0内容提要定积分的性质可复制到二重积分. §1思维定势1.二重积分并不巧,五字方针就是好.被积函数要考虑,区域形状最重要!2.你说完了五个吗?如果是型积分区域,就要先对积分,用平行于轴的射线穿过积分区域,穿进去,等于什么?(下限)穿出来,等于什么?(上限)3.你说完了五个吗?如果是型积分区域,就要先对积分,用平行于轴的射线穿过积分区域,穿进去,等于什么?(下限)穿出来,等于什么?(上限)4.你说完了五个吗?如果是型积分区域,就要先对积分,用“闪金光”的穿过积分区域,穿进去,等于什么?(下限)穿出来,等于什么?(上限)§2常考题型常考题型1.积分换序，五字方针例1.（全国1990数一）积分例2．（南京气象学院1984，兰州大学1985，全国1988数二，天津大学1998）计算.例3．（全国2001数一）交换二次积分的积分次序：.常考题型2.二重积分,五字方针例4．（全国2011数一，数二）已知函数具有二阶连续偏导数