45三角函数模型的应用

..§4.5三角函数模型的应用1．如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以借助____________来描述．2．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的,我们可以利用搜集到的数据,作出相应的"散点图",通过观察散点图并进行____________而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．3．y＝eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<sinx>>是以______为周期的波浪形曲线．4．太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：________________.自查自纠：1．三角函数2.周期函数拟合3．π4.h0＝htanθ已知某人的血压满足函数解析式f<t>＝24sin160πt＋110.其中f<t>为血压<mmHg>,t为时间<min>,则此人每分钟心跳的次数为<>A．60B．70C．80D．90解：由题意可得f＝eq\f<1,T>＝eq\f<160π,2π>＝80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.某班设计了一个八边形的班徽<如图>,它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为<>A．2sinα－2cosα＋2B．sinα－eq\r<3>cosα＋3C．3sinα－eq\r<3>cosα＋1D．2sinα－cosα＋1解：四个等腰三角形的面积之和为4×eq\f<1,2>×1×1×sinα＝2sinα.再由余弦定理可得正方形的边长为eq\r<12＋12－2×1×1×cosα>＝eq\r<2－2cosα>,故正方形的面积为2－2cosα,所以所求八边形的面积为2sinα－2cosα＋2.故选A.在100m的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为<>A.eq\f<200,3>m B.eq\f<200\r<3>,3>mC.eq\f<100\r<3>,3>m D.eq\f<100,3>m解：如图,设塔高为hm,则有100tan30°＝<100－h>tan60°,∴h＝eq\f<200,3><m>．故选A.已知某种交流电电流I<A>随时间t<s>的变化规律可以拟合为函数I＝5eq\r<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100πt－\f<π,2>>>,t∈[0,＋∞>,则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为________次．解：∵f＝eq\f<1,T>＝eq\f<ω,2π>＝eq\f<100π,2π>＝50,∴0.5s内往复运动的次数为0.5×50＝25.故填25.某市的纬度是北纬21°34′,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3m,楼与楼之间相距15m,要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡,最低应该选择第______层的房<地球上赤道南北各23°26′处的纬线分别叫南北回归线．冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上>．解：设最低高度为h0,则由题意知,太阳的高度角为90°－eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<21°34′－〔－23°26′>>＝45°,∴15＝eq\f<21－h0,tan45°>,得h0＝6.∴最低应选在第3层．故填3.类型一建立三角模型如图,某大风车的半径为2m,每12s旋转一周,它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t<s>后与地面的距离为h<m>．<1>求函数h＝f<t>的关系式；<2>画出函数h＝f<t>的图象．解：<1>如图,以O为原点,过点O的圆O1的切线为x轴,建立直角坐标系,设点A的坐标为<x,y>,则h＝y＋0.5.设∠OO1A＝θ,则cosθ＝eq\f<2－y,2>,y＝－2cosθ＋2.又θ＝eq\f<2π,12>·t＝eq\f<πt,6>,所以y＝－2coseq\f<πt,6>＋2,h＝f<t>＝－2coseq\f<πt,6>＋2.5.<2>列表：t036912h0.52.54.52.50.5描点连线,即得函数h＝－2coseq\f<π,6>t＋2.5的图象如图所示：点拨：本题主要考查三角函数的图象和性质,以及由数到形的转化思想和作图技能,建立适当的直角坐标系,将现实问题转化为数学问题,是解题的关键．为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖指向位置P<x,y>．若初始位置为P0eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,秒针从P0<注：此时t＝0>开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为<>A．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,30>t＋\f<π,6>>>B．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,60>t－\f<π,6>>>C．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,30>t＋\f<π,6>>>D．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,30>t－\f<π,6>>>解：由题意,函数的周期为T＝60,∴ω＝eq\f<2π,60>＝eq\f<π,30>.设函数解析式为y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,30>t＋φ>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0＜φ＜\f<π,2>>><秒针是顺时针走动>．∵初始位置为P0eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,∴t＝0时,y＝eq\f<1,2>.∴sinφ＝eq\f<1,2>,φ可取eq\f<π,6>.∴函数解析式为y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,30>t＋\f<π,6>>>.故选C.类型二根据解析式建立图象模型画出函数y＝|cosx|的图象并观察其周期．解：函数图象如图所示．从图中可以看出,函数y＝|cosx|是以π为周期的波浪形曲线．我们也可以这样进行验证：|cos<x＋π>|＝|－cosx|＝|cosx|,所以,函数y＝|cosx|是以π为周期的函数．点拨：利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,这是研究数学问题的常用方法．<eq\a\vs4\al<经典题>>弹簧挂着的小球作上下振动,时间t<s>与小球相对平衡位置<即静止时的位置>的高度h<cm>之间的函数关系式是h＝2sin<2t－eq\f<π,4>>,t∈[0,＋∞>．<1>以t为横坐标,h为纵坐标,画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；<2>小球开始振动的位置在哪里？<3>小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？<4>小球经过多长时间往复振动一次？<5>小球1s能振动多少次？解：<1>画出h＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2t－\f<π,4>>>的简图<长度为一个周期>．按五个关键点列表：teq\f<π,8>eq\f<3π,8>eq\f<5π,8>eq\f<7π,8>eq\f<9π,8>2t－eq\f<π,4>0eq\f<π,2>πeq\f<3π,2>2π2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2t－\f<π,4>>>020－20描点并将它们用光滑的曲线连接起来,即得h＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2t－\f<π,4>>><t≥0>在一个周期的简图,如图所示．<2>t＝0时,h＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,4>>>＝－eq\r<2>,即小球开始振动时的位置为<0,－eq\r<2>><平衡位置的下方eq\r<2>cm处>．<3>t＝eq\f<3π,8>＋kπ<k∈N>时,h＝2；t＝eq\f<7π,8>＋kπ<k∈N>时,h＝－2.即最高点位置eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3π,8>＋kπ,2>>,最低点位置eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<7π,8>＋kπ,－2>>,k∈N,最高点、最低点到平衡位置的距离均为2cm.<4>小球往复振动一次所需时间即周期,T＝eq\f<2π,2>＝π≈3.14<s>．<5>小球1s振动的次数为频率,f＝eq\f<1,T>＝eq\f<1,π>≈eq\f<1,3.14>≈0.318<次/s>．类型三三角函数拟合受日月引力影响,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞；卸货后,在不至搁浅时返回海洋,某港口水的深度y<米>是时间t<0≤t≤24,单位：时>的函数,记作y＝f<t>．下面是该港口在某季节每XX深的数据：t<时>03691215182124y<米>10.013.09.97.010.013.010.17.010.0<1>根据以上数据,求出函数y＝f<t>的近似表达式；<2>一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的<船舶停靠时,船底只需不碰海底即可>,某船吃水深度<船底离水面距离>为6.5米,如果该船在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间<忽略进出港所需的时间>?解：<1>根据数据画出散点图,根据图象,可考虑用函数y＝Asin<ωt＋φ>＋h刻画水深与时间之间的对应关系,则周期T＝12,振幅A＝3,h＝10,∴y＝3sineq\f<π,6>t＋10<0≤t≤24>．<2>由题意,该船进出港时,水深应不小于5＋6.5＝11.5<米>,即3sineq\f<π,6>t＋10≥11.5,sineq\f<π,6>t≥eq\f<1,2>,2kπ＋eq\f<π,6>≤eq\f<π,6>t≤2kπ＋eq\f<5,6>π<k∈Z>,0≤t≤24,∴12k＋1≤t≤12k＋5<k∈Z>．在同一天内取k＝0或1,则1≤t≤5或13≤t≤17.所以该船最早能在凌晨1时进港,最晚下午17时出港,在港口最多停留16小时．点拨：<1>这是一道根据生活中的实例编拟的题目,由表中数据抽象出数学问题<求解析式、解不等式>,从而得出船在港内最多停留的时间,这一过程体现了数学建模的思想；<2>许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模拟函数,再结合几个关键数据求出解析式．某"帆板"集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y<米>随着时间t<0≤t≤24,单位：时>而周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t/时03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.51.0<1>试画出散点图；<2>观察散点图,从y＝at＋b,y＝Asin<ωt＋φ>＋b,y＝Acos<ωt＋φ>中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式；<3>如果确定在白天7时～19时当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间．解：<1><2>由<1>知选择y＝Asin<ωt＋φ>＋b较合适．由图知,A＝0.4,b＝1,T＝12,所以ω＝eq\f<2π,T>＝eq\f<π,6>,把t＝0,y＝1代入y＝0.4sin<eq\f<π,6>t＋φ>＋1,得φ＝0,所以所求的解析式为：y＝0.4sineq\f<π,6>t＋1<0≤t≤24>．<3>由y＝0.4sineq\f<π,6>t＋1≥0.8,得sineq\f<π,6>t≥－eq\f<1,2>,则－eq\f<π,6>＋2kπ≤eq\f<πt,6>≤eq\f<7π,6>＋2kπ<k∈Z>,即12k－1≤t≤12k＋7,所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.即应安排在11时到19时训练较恰当．1．三角函数模型的三种模式在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述．如：气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力变化等．研究这些应用问题,主要有以下三种模式：①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题；②给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数,再解决其他问题；③搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题．2．三角函数应用问题解题流程三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,利用三角函数的周期性、有界性等,可以解决很多问题,其解题流程大致是：审读题目,理解题意→设角,建立三角函数模型→分析三角函数的性质→解决实际问题．其中根据实际问题的背景材料,建立三角函数关系,是解决问题的关键．3．将图象和性质赋予实际意义在解决实际问题时,要具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活运用三角函数的图象和性质．1．如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s<cm>和时间t<s>的函数关系式为s＝6sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2πt＋\f<π,6>>>,那么单摆来回摆动一次所需的时间为<>A．2πs B．πsC．0.5s D．1s解：T＝eq\f<2π,2π>＝1,来回摆动一次所需时间即为一个周期．故选D.2．电流强度I<安>随时间t<秒>变化的函数I＝Asineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<ωt＋φ>><A>0,ω>0,0<φ<eq\f<π,2>>的图象如图所示,则t＝eq\f<1,100>秒时,电流强度I＝<>A．－5安B．5安C．5eq\r<3>安D．10安解：由图知A＝10,T＝2<eq\f<4,300>－eq\f<1,300>>＝eq\f<1,50>,ω＝eq\f<2π,T>＝eq\f<2π,\f<1,50>>＝100π,∴I＝10sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100πt＋φ>>.由于图象过点eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,300>,10>>,代入解析式得10＝10sin<100π·eq\f<1,300>＋φ>,即sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>＋φ>>＝1,从而eq\f<π,3>＋φ＝2kπ＋eq\f<π,2>,φ＝2kπ＋eq\f<π,6>,k∈Z.∵0<φ<eq\f<π,2>,∴φ＝eq\f<π,6>.∴I＝10sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100πt＋\f<π,6>>>.当t＝eq\f<1,100>时,I＝10sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100π·\f<1,100>＋\f<π,6>>>＝－5.故选A.3．动点A<x,y>在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周．已知时间t＝0时,点A的坐标是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,\f<\r<3>,2>>>,则动点A的纵坐标y关于t<单位：秒>的函数表达式为<>A．y＝sineq\f<π,6>tB．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>t＋\f<π,3>>>C．y＝sineq\f<π,3>tD．y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>t＋\f<π,6>>>解：该函数的最小正周期T＝12,ω＝eq\f<2π,T>＝eq\f<π,6>,可设此函数为y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>t＋φ>>,又当t＝0时,点A的坐标为eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,\f<\r<3>,2>>>,∴所求函数表达式为y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>t＋\f<π,3>>>.故选B.4．如图为一半径是3m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮自点A开始1min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y<m>与时间x<s>满足函数关系y＝Asin<ωx＋φ>＋2,则有<>A．ω＝eq\f<2π,15>,A＝3B．ω＝eq\f<15,2π>,A＝3C．ω＝eq\f<2π,15>,A＝5D．ω＝eq\f<15,2π>,A＝5解：∵水轮上最高点距离水面r＋2＝5m,即A＋2＝5,∴A＝3.又∵水轮每秒钟旋转eq\f<8π,60>＝eq\f<2π,15>rad,∴角速度ω＝eq\f<2π,15>.故选A.5．如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0<eq\r<2>,－eq\r<2>>,角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为<>解：据点P0的坐标可得∠xOP0＝－eq\f<π,4>,故∠xOP＝t－eq\f<π,4>.设点P<x,y>,则由三角函数的定义,可得sin∠xOP＝eq\f<y,r>,即sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<t－\f<π,4>>>＝eq\f<y,2>,故y＝2sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<t－\f<π,4>>>,因此点P到x轴的距离d＝eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<y>>＝2eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<t－\f<π,4>>>>>,据解析式可得C选项图象符合条件．故选C.<另用排除法易选C>6．已知函数y＝f<x>的图象如图所示,则函数y＝feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－x>>sinx在[0,π]上的大致图象是<>解：当0＜x＜eq\f<π,2>时,0＜eq\f<π,2>－x＜eq\f<π,2>,显然y＝feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－x>>sinx＞0,排除C,D；当eq\f<π,2>＜x＜π时,－eq\f<π,2>＜eq\f<π,2>－x＜0,显然y＝feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－x>>sinx＜0,排除B.所以只有A符合题意．故选A.7．某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t＝0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点间的距离deq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<cm>>表示成teq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<s>>的函数,则d＝_____________,其中t∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,60>>.解：如图所示,OA＝OB＝5eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<cm>>,秒针由B均匀地旋转到A的时间为teq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<s>>,则∠AOB＝eq\f<π,30>t,取AB中点为C,则OC⊥AB,从而∠AOC＝eq\f<1,2>∠AOB＝eq\f<π,60>t.在Rt△AOC中,AC＝OAsin∠AOC＝5sineq\f<π,60>t,∴d＝AB＝10sineq\f<π,60>t,t∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,60>>.故填10sineq\f<π,60>t.8．如图,塔AB和楼CD的水平距离为80m,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°,则塔高AB＝________m,楼高CD＝________m．<精确到0.01m><参考数据：eq\r<2>＝1.41421…,eq\r<3>＝1.73205…>解：在Rt△ABD中,BD＝80m,∠BDA＝60°,∴AB＝BD·tan60°＝80eq\r<3>≈138.56<m>．在Rt△AEC中,EC＝BD＝80m,∠ACE＝45°,∴AE＝CE＝80<m>．∴CD＝BE＝AB－AE＝80eq\r<3>－80≈58.56<m>．∴塔AB的高约为138.56m,楼CD的高约为58.56m.故填138.56；58.56.9．如图所示,在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中y＞x＞0.将十字形的面积表示为θ的函数．解：设S为十字形的面积,则S＝2xy－x2＝2sinθcosθ－cos2θeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＜θ＜\f<π,2>>>.10．已知,如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin<ωt＋φ><t≥0,－eq\f<π,2>＜φ＜eq\f<π,2>>的图象．<1>试根据图象写出I＝Asin<ωt＋φ>的解析式；<2>为了使I＝Asin<ωt＋φ>中t在任意一段eq\f<1,100>秒的时间内电流强度I能同时取得最大值eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<A>>与最小值－eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<A>>,那么正整数ω的最小值是多少？解：<1>由图知,A＝300,T＝eq\f<1,60>－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,300>>>＝eq\f<1,50>,∴ω＝eq\f<2π,T>＝eq\f<2π,\f<1,50>>＝100π.∵－eq\f<ω,300>＋φ＝2kπ,k∈Z,∴φ＝eq\f<ω,300>＋2kπ＝eq\f<π,3>＋2kπ.∵φ∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>,\f<π,2>>>,∴φ＝eq\f<π,3>.∴I＝300sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<100πt＋\f<π,3>>><t≥0>．<2>问题等价于T≤eq\f<1,100>,即eq\f<2π,ω>≤eq\f<1,100>,∴ω≥200π.∴最小的正整数ω为629.11．<eq\a\vs4\al<2014·XX>>某实验室一天的温度<单位：℃>随时间t<单位：h>的变化近似满足函数关系：f<t>＝10－eq\r<3>coseq\f<π,12>t－sineq\f<π,12>t,t∈[0,24>．<1>求实验室这一天的最大温差；<2>若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温？解：<1>f<t>＝10