1直线与平面垂直

第十一章立体几何初步空间中的垂直关系直线与平面垂直课后篇巩固提升基础巩固1.如图所示,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为() 解析因为⇒BC⊥PC,所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.故选A.答案A2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()A.5 5 5 5解析由题PB=PC=82+52=89,则P到BC的距离d=PB2答案D3.下列命题中,正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面.⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.个 个 个 个解析②③④⑤正确,①中当这两条直线平行时,可能直线平行平面或在平面内.答案C4.一条直线和平面所成角为θ,那么θ的取值范围是()A.(0°,90°) B.[0°,90°]C.(0°,90°] D.[0°,180°]解析由线面角的定义知B正确.答案B5.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是() 解析仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线AA1垂直.答案B6.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于()° ° ° °解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.答案B7.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是()∥平面CB1D1⊥BD⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°解析∵BD∥B1D1,A正确;∵AC⊥BD,BD⊥CC1,∴BD⊥面ACC1,得BD⊥AC1,知B正确;由AC1⊥BD,∴AC1⊥B1D1.又B1C⊥BC1,B1C⊥AB,得B1C⊥平面ABC,∴B1C⊥AC1,得AC⊥平面CB1D1,故C正确;D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°.故选ABC.答案ABC8.空间四边形ABCD的四条边相等,则对角线AC与BD的位置关系为.

解析取AC中点E,连BE,DE.由AB=BC,得AC⊥BE.同理AC⊥DE,所以AC⊥面BED.因此,AC⊥BD.答案垂直9.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是.

解析由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案菱形10.如图所示,M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.(1)则MN与CD1所成的角为.

(2)则MN与AD所成的角为.

解析(1)由图易知MN∥AD1,∵△ACD1构成正三角形.∴AD1与CD1成60°角,∴MN与CD1成60°角.(2)AD1与AD成45°角,而MN∥AD1,∴MN与AD成45°角.答案(1)60°(2)45°11.线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为.

解析如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,∴MM1=4.答案412.如图,在三棱锥A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD,点E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.证明取AB的中点F,连接CF,DF.∵CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB.∵CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF.∵CD⊂平面CDF,∴AB⊥CD.又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE.∵AH⊂平面ABE,∴CD⊥AH.∵AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.能力提升1.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABCDEF,则下列结论不正确的是()∥平面PAF⊥平面PAF∥平面PAB⊥平面PAD解析由CD∥AF得CD∥平面PAF,A正确;由DF⊥AF,DF⊥PA得B正确;由CF∥AB得C正确;∵CF与AD不垂直,∴CF与平面PAD不垂直,得D不正确.答案D2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是(⊥BE∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等解析由AC⊥平面DBB1D1,BE⊂平面DBB1D1知A正确;由EF⊂平面A1B1C1D1且平面A1B1C1D1∥平面ABCD知B正确;由△BEF面积S=12×1×12=14.VA-BEF=13×22×14=224知答案D3.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD[如图(2)],则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.异面且垂直 D.异面但不垂直解析在图(1)中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,翻折后如图(2),AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段均与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC,选C.答案C4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列命題中正确的是()⊥B1C∥平面EFG⊥平面EPGD.异面直线FG,B1C所成角的大小为π解析如图,连接AD1,则EF∥AD1∥BC1,而BC1⊥B1C,则EF⊥B1C,故A正确;∵BC1∥EF,EF⊂平面EFG,BC1⊄平面EFG,∴BC1∥平面EFG,故B正确;A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E,∴A1C⊥平面EFG,故C正确;FG∥AB1,∴∠AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可得△AB1C为等边三角形,则∠AB1C=π3,即异面直线FG,B1C所成角的大小为π3,故D错误.故选答案ABC5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()° ° ° °解析如图,取BC的中点E,连接AE,则AE⊥平面BCC1B1.故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为a,则AE=32a,DE=12∴tan∠ADE=3.∴∠ADE=60°.答案C6.如图,三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,点P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于点H,则垂足H是△ABC的()A.外心 B.内心C.垂心 D.重心解析∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB.又∵AB⊂平面PAB,∴AB⊥PC.又∵AB⊥PH,PH∩PC=P,∴AB⊥平面PCH.又∵CH⊂平面PCH,∴AB⊥CH.同理BC⊥AH,AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心.答案C7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有条.

解析与AD1异面的面对角线分别为A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90°.答案18.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为.

解析如图,设C在平面α内的射影为O点,连结AO,MO,则∠CAO=30°,∠CMO就是CM与α所成的角.设AC=BC=1,则AB=2,∴CM=22,CO=1∴sin∠CMO=COCM∴∠CMO=45°.答案45°9.△ABC的三个顶点A,B,C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为.

解析如图,设A,B,C在平面α上的射影分别为A',B',C',△ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,又设E,G在平面α上的射影分别为E',G',则E'∈A'B',G'∈C'E',EE'=12(A'A+B'B)=52,CC'=4,CG∶GE=2在直角梯形EE'C'C中,取GC,G'C'中点H,H',设GG'=x1,HH'=x2,则x1=x2+522,答案3cm10.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M为AC的中点.(1)求证:PM⊥平面ABC;(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.(1)证明∵PA=PC,M为AC的中点,∴PM⊥AC.①又∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AM=MC=MB=12AC=5在△PMB中,PB=13,MB=5.PM=PC2-∴PB2=MB2+PM2,∴PM⊥MB.②由①②可知PM⊥平面ABC.(2)解∵PM⊥平面ABC,∴MB为BP在平面ABC内的射影,∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角.在Rt△PMB中tan∠PBM=PMMB11.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°.G为线段PC上的点.(1)证明:BD⊥平面APC;(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值;(3)若G满足PC⊥平面BGD,求PGGC的值(1)证明设点O为AC,BD的交点.由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.所以O为AC的中点,BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC.(2)解连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以