高中数学竞赛专题之数列

..高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列,也是各年高考、竞赛的重点,现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若是等差〔等比数列,那么仍是等差〔等比数列。性质2：若为等差数列,且,那么〔脚标和相同则对应的项的和相同；若为等比数列,且,那么〔脚标和相同则对应的项的积相同。性质3：若为等差数列,记,那么仍为等差数列,为等比数列,记,那么仍为等比数列。性质4：若为等比数列,公比为q,且|q|〈1,则。例1、若、为等差数列,其前n项和分别为,若,则〔A.1B.C.D.例2、等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项的和为〔A.130B.170C.210D.260例3、、为等差数列,其前n项和分别为,若〔1求的值,〔2求使为整数的所有正整数n。例4、在等差数列中,若,则有等式成立,类比上述性质,相应地：在等比数列中,若,则有等式成立。例5、一个正数,其小数部分、整数部分和其本身成等比数列,则该数为。例6、设},是的元素个数,是所有元素的和,则。例7、设A={1,2,…n},是A的所有非空真子集元素的和,表示A的子集个数,求的值。例8、设数列的前n项和为,数列满足,求数列的前n项和。方法：首先找出的通项式,在找出的通项式例9、设为等差数列,为等比数列,且,又,试求的通项公式。例10、设是等差数列的前n项和,且,数列的通项式为,〔1求数列的通项公式,〔2若,则称d为数列与的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列,证明：的通项公式为。例11、个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比相等,已知,求+++的值。作业：1、将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按n组有<2n-1>个奇数进行分组：{1}、{3,5,7}、{9,11,13,15,17}….,则1991位于组中。2、在等差数列中,公差,的等比中项,已知数列成等比数列,求数列的通项公式。3、设正数数列满足,〔1求数列的通项公式,〔2设,试求M的最小值。二、数学归纳法数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：〔1从整体上直接领悟数学对象本质的能力；〔2从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；〔3从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。第一数学归纳法：设是一个关于自然数n的命题,满足以下条件：〔1是成立的,〔2假设成立能推出成立,则命题对一切自然数n都成立。第二数学归纳法：设是一个关于自然数n的命题,满足以下条件：〔1是成立的,〔2假设,,…成立能推出成立,则命题对一切自然数n都成立。解题思维过程：尝试——观察——归纳、猜想——证明,即从特殊关系中概括一般规律,建立猜想,给出严格证明。解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。例1、已知对任意自然数n,有,求证〔1989年高中例2、用表示的各数的最大奇数因子之和,求证：例3、设是正数数列且满足,求数列的通项公式。方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明例4、已知数列满足：,当时,有,试求数列的通项公式。方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明例5、一个数列定义如下：,证明：对于自然数n,有。这里表示不超过的最大整数。〔IMO18-6方法：变化形式例6、设数列满足：,这里,求证：对所有的自然数n,有。〔1977年加拿大数学奥林匹克例7、已知是n个正数且满足,求证：例8、已知a,b是正实数,且满足,试证：对每一个自然数n,有三、递推数列,热点问题是求递推数列的通项公式1、转化：最常见的转化为等差〔等比数列的通式和求和类型：〔1,化归成型；〔2,化归成型；〔3,化归成型；〔4,化归成型；〔5,化归成型；〔6型例1、、已知数列满足：,,试求数列的通项公式。方法：开方转化成等差数列的形式例2、设数列满足：,求的通项公式。例3、设数列满足：,求。例4、设数列满足：,求。2、变换〔代换：三角代换、代数代换例1、已知,求。方法：观察特点,联想到正切公式例2、数列满足：,求方法：含根式,通过代换转化为不含根式的递推式例3、设满足关系式,则方法：倒数关系不易求解,通过代换转化为熟悉的形式例4、给定正整数n和正数M,对于满足条件：的所有等差数列,试求的最大值。方法：根据特点,三角代换3、特征方程及特征根求解递推式对于二阶线性递推数列数列满足：..〔1其中为常数,若有等比数列满足等式〔1,则x必满足相应的方程：…….〔2,称此方程〔2为〔1的特征方程。数列的通项公式与特征方程的根有如下关系：当时,方程〔2有两个不相同的实数根,则数列、均是〔1的解,并且对任意常数有也是〔1的解〔通解,由初值确定。当时,方程〔2有两个相同的实数根,则数列、均是〔1的解,并且对任意常数有也是〔1的解〔通解,由初值确定。当时,方程〔2有两个共轭复根,则数列、均是〔1的解,并且对任意常数有也是〔1的解〔通解,由初值确定。求斐波那锲数列的通项公式：。方法：利用特征方程求解注：设数列是k阶线性递推数列,其特征方程为,设其前n项的和,则是k+1阶线性递推数列,其特征方程为例2、已知数列满足：,求此数列的前n项和。例3、设数列、满足：且〔,求证：是完全平方数〔n=0,1,2,…方法：将其转化为只与有关的递推式4、利用函数不动点原理求解数列通项公式定理1：设,数列由初始值确定,那么当且仅当是的不动点时,数列是公比为a的等比数列。定理2：设数列由递推关系确定,设函数有两个不动点,则：〔1当时,则数列是等比数列,公比为；〔2当时,则数列是等差数列,公差为。例1、设数列满足：,求证：。例2、设数列满足：,前n项和为,则满足不等式的最小整数n=。例3、设正数列满足,且,求数列的通项公式。方法：变形、转化形成熟悉结构例4、运动会连续开了n天,一共发了m枚奖牌,第一天发1枚加上剩下的,第二天发2枚加上剩下的,以后每天均按此规律发放奖牌,在最后一天,即第n天发n枚而无剩余,问运动会开了几天？共发多少枚奖牌？5、利用高阶差分数列求数列通式定义1：〔差分数列对于数列,称为的一阶差分,为数列的的一阶差分数列；数列的一阶差分：,称为数列的的二阶差分数列；一般地,称为的k阶差分,称为数列的的k阶差分数列。例1、求数列0,1,4,11,26,57,…的通项公式。例2、求数列-2,1,7,16,28,…的通项公式。定义2〔高阶等差数列若数列的的k阶差分数列是一个非零常数列,而k+1阶差分数列是一个零常数列,则称的的k阶等差数列。定理1：设是m阶等差数列,则,约定。定理2：数列是m阶等差数列的充要条件是是一个关于n的m次多项式。定理3、数列是m阶等差数列,它的前n项之和为,则是m+1阶等差数列,且例3、求的求和公式,并给出证明。定理4：给定,其中为关于n的函数,则此一阶非线性齐次递推数列所确定的数列的通项公式为：例4、已知数列满足：,求数列的通项公式。例5、已知数列满足：,求数列的通项公式。四、数列的性质〔反证法、周期性、有界性、整数性1、数列中的反证法问题例1、设等差数列包含1和,证明：数列中任意三项均不构成等比数列。例2、设是定义在自然数集且取自然数值的严格递增函数,,当m,n互质时,有,求证：对任意自然数n,都有。例3、数列为正数数列,满足条件,求证：对一切自然数k,为无理数。2、数列的周期性例1、已知整数数列满足,如果前1492项之和为1985,而前1985项之和为1492,则该数列前2006项之和是多少？方法：考察数列的周期性例2、设数列满足,为的个位数,求的值。方法：考察数列的周期性例3、已知数列满足：,求证：对一切自然数n,有。方法：考察数列的