2020版高考数学大二轮复习7.1概率学案文

第1讲概率考点1古典概型.古典概型的概率:_m_事件A中所含的基本事件数P（A）=n= 试验的基本事件总数.古典概型的两个特点：（1）所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等.［例1］ （1）［2019•全国卷H］生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）3B-53B-5A-3（2）［2019•全国卷出］两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）1A.61B41A.61B41C,31D2【解析】 （1）本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解能力；考查的核心素养是数学运算与数据分析.记5只兔子分别为 A, B, C, D, E,其中测量过某项指标的 3只兔子为A, B, C,则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABGABDABEACDACEADEBCDBCEBDE，CDE共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABDABEACQACEBCDBCE共6种,所以所求事件的概率63所以所求事件的概率63P=77=3105（2）本题考查古典概型，以现实生活中常见的学生排队问题为背景，考查学生对数学知识的应用意识.设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列，所有可能的结果用树状图表示为

TOC\o"1-5"\h\z共24种结果，其中两位女同学相邻的结果有 12种，121，p(两位女同学相邻)=24=2,故选d【答案】 (1)B(2)Df~O技法领悟■■■■ 1古典概型求解的三步(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为 A;(2)分别计算基本事件的总个数 n和所求的事件A所包含的基本事件个数 m；(3)利用古典概型的概率公式 P(A)=7求出事件A的概率.『对接训练』[2019•广东深圳模拟]抛两个各面上分别标有1,2,3,4,5,6的质地均匀的骰子，向上一面的两个数字之和为 3的概率是( )1A31b1A31b61C.二361D.—18解析:向上的两个数之和为 3的有(1,2),(2,1)两种情况，抛掷两个骰子一共有 36种情解析:况，故向上一面的两个数字之和为 3的概率是1-,故选D18答案：D[2019•四川成都一诊]齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为 ( )A. B-9 9

C.2D73 9解析：设齐王的上等、中等、下等马分别为 A,B,C,田忌的上等、中等、下等马分别为a,b,c,现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有 (A,a),(A,b),(Ac),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c),共9种，二•有优势的马一定获胜，，齐王的马获胜包含的基本事件有 (A,a),(A,b),(A,c),(B,b),(B,c),(C,c),共 6 2种，，齐王的马秋胜的概率 P=~=~,故选C93答案：C考点2几何概型.几何概型的概率公式构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度 (面积或体积j几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性.[例2] (1)[2018•长沙联考]长郡中学夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进的圆，该运动员总能将铁饼圆心扔在矩行扔饼训练，该矩形长为6,宽为4,铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心扔在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为.兀A—247tC7tC，3D"8(2)[2019•陕西汉中二模]某电视台每天中午12:30到13:00播放当地新闻，在此期间将随机播出时长5分钟的当地文化宣传片.若小张于某天12:50打开电视，则他能完整收看到这个宣传片的概率是( )2A51B312A51B31C51D6(1)由题意，得该运动员总能将铁饼圆心扔在矩形区域内，即铁饼圆心所在区域为矩形EFGH由几何概型ABCDEFGH由几何概型4X21的概率公式，得该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为 P=—=不，故选C6X43(2)他能完整收看到这个宣传片的时间是 12:50到12:55,共5分钟，12:30到12:55,共25分钟，，所求概率P=57=7.故选C255【答案】(1)C(2)Cf一~O技法领悟■■■■ ,(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 ^『对接训练』[2019•江西上饶“山江湖”协作体三模 ]如图，若将一个质点随机投入正方形 ABCD中，其中AB=2,则质点落在以AB为直径的半圆内(阴影部分)的概率是( )兀A—12_兀D.—16解析：根据几何概型概率的计算公式，可知所求概率为2X2故选解析：根据几何概型概率的计算公式，可知所求概率为2X2故选C.答案：C[2019•山东青岛调研]有一底面圆的半径为 1,高为2的圆柱，点。为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 A,则点A到点。的距离大于1的概率为( )3C-43C-41D4… E的"5 l"求1…解析：设点A到点。的距离小于或等于1的概率为R,则Pi=V-=7S<rx7=3,故点A到点。的距离大于1的概率P=1—1=2,故选B.33答案：B考点3概率与其他知识的交汇概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，多与统计、函数、方程、数列、平面向量、不等式(线性规划)等知识交汇命题.[例3] [2019四四川成都摸底]2018年央视大型诗词文化音乐节目《经典咏流传》热播，掀起了全民诵读诗词的热潮.某大学社团调查了该校文学院 300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读的时间不超过两小时 )，并按时间(单位：min)分成六个组：[0,20),[20,40),[40,60),[60,80)[40,60),[60,80)，出0,100)图.(1)求频率分布直方图中 a的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )；(2)若2名同学诵读诗词的时间分别为x,v,当x,y满足|x—y|>60时，这2名同学组成一个小组，已知从每天诵读时间小于 20min和大于或等于80min的所有学生中用分层抽样的方法抽取5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的2人能组成一个小组的概率.【解析】(1)各组数据的频率之和为 1,即所有小矩形的面积和为 1,故(a+a+6a+8a+3a+a)X20=1,解得a=0.0025,所以该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间为10X0.05+30X0.05+50X0.3+70X0.4+90X0.15+110X0.05= 64(min).(2)由频率分布直方图知诵读诗词的时间在 [0,20)，出0,100),[100,120]内的学生人数的频率之比为1:3:1,故抽取的5人中诵读诗词的时间在[0,20)，出0,100),[100,120]内的学生人数分别为1,3,1.设在[0,20)内的1名学生为A,在[80,100)内的3名学生分别为B,C,D,在[100,120]内的1名学生为E,则抽取2人的所有基本事件有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10种.选取的2人能组成一个小组的情况有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},共4种.故选取的2故选取的2人能组成一个小组的概率为4 2P= =—105四技）去领悟■■■■1 解决概率与统计综合问题的一般步骤TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"弄清题意，理顺条件和结论，找到关键数量I关系 ：找准公式，据图表数据代入公式计算数值依据数据，借助数表作出正确判断\o"CurrentDocument"把图形语言转化为数字，将图表中的数字转，化为公式中的字母 :找准公式，据图表数据代入公式计算数值依据数据，借助数表作出正确判断『对接训练』[2019•贵州贵阳监测]互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两家网络外卖企业 （以下简称外卖A外卖B）的服务质量进行了调查，从使用过这两家外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数种类[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]外卖A人数）50150100400300外卖R人数）100100300200300表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意.若得分不低于 60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高.现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：分数[0,40)[40,60)[60,80)[80,100]

服务质量指标0123从参与调查的市民中随机抽取 1人，试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖 B的“服务质量指标”的差的绝对值等于 2的概率.解析：记外卖A的“服务质量指标”为事件A,外卖B的“服务质量指标”为事件B,70,1,2,3},则其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于 2的概率为P(A2&+A3B1+A0B2+A1B3)=P(A2B)+P(A3Bi)+P(A03)+P(Ai&)=0.4X0.2+0.3X0.3+0.2X0.2+0.1X0.3=0.24.课时彳^业16概率[2019•新疆生产建设兵团二中模拟 ]有一枚质地均匀的骰子，抛掷两次，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生的概率最大的是 （ ）A.点数都是偶数 B.点数的和是奇数C.点数的和小于13D.点数的和小于2解析：画出树状图如下：1 2 3113456 ][3456 123456123456 123456I23456由图可知共有36种情况，其中点数都是偶数的情况有 9种，点数的和为奇数的情况有18种，点数和小于13的情况有36种，点数和小于2的情况有0种，故选C答案：C[2019•湖北宜昌联考]某次下课后，某教室里还剩下 2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2个走出的是女同学的概率是（ ）1A21C-41C-41D5解析:由题意知共有6个基本事件，第2个走出的是女同学包含 2个基本事件，所以第2解析:、一一1个走出的是女同学的概率是；.3

答案：B[2019•山东青岛调研]已知某运动员每次投篮投中的概率是 40%.现采用随机数法估计该运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生0〜9中的整数，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.现产生了如下10组随机数；907966191925271431932458569683. 估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为（ ）9D—10解析：随机模拟产生了10组随机数，在这10组随机数中，表示三次投篮恰有两次投中3的有191,271,932，共3组，故所求概率为记，故选C答案：C[2019•广东佛山调研]将一根长为6m的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的 2倍的概率为（ ）2C53D5解析:绳子的长度为6E剪成两段后，设其中一段的长度为2C53D5解析:绳子的长度为6E剪成两段后，设其中一段的长度为xm,则另一段的长度为（6-x）m,记"其中一段的长度大于另段长度的2倍”为事件A,则A=0<x<6,{x|i|0<x<6,{x|i|x>2(6—x76—x>2x}={x[0<x<2或4Vx<6},•.P(A)=2故选B.3答案：B5.[2019•河北九校联考]如图，矩形的长为6,宽为4,在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的黄豆数为 96,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为 （ ）A.16.32 B,15.32C.8.68 D.7.6896解析：由题意，可估计椭圆的面积为 [1—300心6X4=16.32.故选A答案：A

r,,, 、，…，，一4,, 6.[2019•河南中原名校联盟一模]市场调查发现，大约£的人喜欢在网上购买家用小电5器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小 17 .、 ,、一 9 、一.、一电器的合格率约为27■，而实体店里的家用小电器的合格率约为得.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是6A.75b64C.-5解析:4;大约5的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为17・•.某家用小电器是在网上购买的， 且被投诉的概率约为6A.75b64C.-5解析:4;大约5的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为17・•.某家用小电器是在网上购买的， 且被投诉的概率约为5X（1—17 3201=—,又实体店里的家用小9 电器的合格率约为10,.•.某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为1-4)9 1*卜布厂如故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电325 6器是在网上购买的可能性 P=---=-.3I725+50答案：A7.[2019•湖北六校联考]在长为10cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积小于16cm2的概率为（ ）1A52B5C・|解析:设AC=x,则BC=10—x,由题意知x(10—x)<16,所以x<2或x>8,又0Vx解析:<10,所以该矩形的面积小于 16cm2的概率为4-=2105答案：B[2019•黑龙江齐齐哈尔模拟]随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地.在计算机应用领域,图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分.第一部分为外部的八个全等的矩形， 每一个矩形的长为3、宽为1;第二部分为圆环部分，大圆半径为 3,小圆半径为2;第三部分为圆环内部的白色区域.在整TOC\o"1-5"\h\z个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为 （ ）A 兀 C4兀A24+9兀B-24+9%兀 4兀C18+9兀口18+9兀解析：图标第一部分的面积为8X3X1=24,图标第二部分的面积和第三部分的面积和为兀X32=9兀,图标第三部分的面积为 兀X22=4兀,故此点取自图标第三部分的概率为424+9%答案：B.[2019•河北省级示范联合体联考]袋子中有四个小球，分别写有“和”“平”“世”“界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到才算完成.用随机模拟的方法估计恰好取三次便完成的概率. 利用电脑随机产生。到3之间取整数值的随机数，0,1,2,3代表的字分别为“和”“平”“世”“界”，以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果，随机模拟产生了以下24组随机数组:232321230023之间取整数值的随机数，0,1,2,3代表的字分别为“和”“平”“世”“界”，以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果，随机模拟产生了以下24组随机数组:232321230023123021203331100231130133122103233221020132132231220031011320由此可以估计，恰好取三次便完成的概率为A81C-65D241C-65D24解析:由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1,且0与1不能同时出现，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的 1或0,易知符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率P=亮;1.故选A248答案：A[2019•云南昆明摸底]法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论,内容如下：在半彳至为1的圆内随机地取一条弦，问：其长超过该圆内接等边三角形的边长J3的概率为多少？基于对“随机地取一条弦”的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释：固定弦的一个端点A(如图)，另一端点在圆周上随机选取，其答案为(1A21B.31C-1A21B.31C-41d6解析:记圆内接等边三角形为^ABC弦的另一个端点为 P.如图，若弦AP的长超过AB的长，则点P落在劣弧BC上，所以所求概率为1.故选B3答案：B[2019•广东肇庆联考]已知某条线的地铁每10分钟一班，每站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是.解析：由于地铁每10分钟一班，每站停1分钟，故所求概率P=-1—0=工；.10—0101答案：W _ 1 1…[2019•贵州贵阳监测]甲、乙两人下棋，和棋的概率为乙获胜的概率为则甲2 3不输的概率为.解析：设“乙获胜”为事件A,则P(A)=1.因为甲输便是乙获胜，所以甲不输的概率是1312-P(A)=1-3=3.2答案：73[2019•河北张家口模拟]已知四棱锥P—ABCD的所有顶点都在球。的球面上，PAL底面ABCD底面ABCM正方形，PA=AB=2.现在球。的内部任取一点，则该点取自四棱锥 P—ABCD'J部的I^率为.解析：将四^^锥P-ABCD#形为正方体，则正方体白^体对角线的长是球 。的直径，设球O的半径为R则2m=2R即R=73,则四棱锥的体积V=^X2X2X2= 球。的体积为g3 3 38兀X(J3)3=4J3兀，则该点取自四棱锥P—ABCD勺内部白^概率P=3=婴.43兀9兀[2019•百校联盟培优训练]在一个正五边形的顶点中随机选取三个不同的顶点，则正五边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为解析：如图，设正五边形的5个顶点分别为A,B,C,D,E任选三个，情况有10种，为ABCABDABE,ACDACEADEBCDBCEBDECDE其中符合正五边形的中心位于所选三5 1个点构成的三角形内部的情况有 ABDACDACEBCEBDE共5种，故所求的概率为元=万.- 1答案：2[2019•广东汕头第一次联考]某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取 6人对绩效工资情况进行调查.(1)求从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名进行进一步分析，求抽取的 2名教师均为初级教师的概率.…一 6 1~ 1 1 1 解析：(1)抽样比为21+14+7=7，则21X7=3,14X'=2,7X亍=1,所以从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为 3,2,1.(2)在抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A,A2,入,2名中级教师分别记为A4,A5,1名高级教师记为 A6,则抽取2名教师的所有可能结果有{A1, A},{A1, A3}, {A1, A4}, {Ai, A5},{Ai,A},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A},{A3,A4},{A3,A},{A3,A6},{A4,A},{A4,A6},{A5,A},共15种.将“从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师”记为事件 B,则事件B发生的所有可能结果有{Ai,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.所以P(B)=：3=!155[2019•河南洛阳市尖子生第二次联考]某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：时)，停靠时间不足半小时按半小时计，超过半小时且不足 1小时按1小时计，以此类推，统计结果如下表：

停靠时间/时2.533.544.555.56轮船数量/艘12121720151383(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为 a小时，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位各停靠 a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待的概率.1解析：(1)a=X(2.5X12+3X12+3.5X17+4X20+4.5X15+5X13+5.5X8+0<xW24,0<xW24,0<yw24,(2)设甲船到达的时间为x,乙船到达的时间为 y,则“若这两艘轮船在停靠时有一艘需要等待，则|y—x|<4,符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x,y轴)所示.记“这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待”为事件 A,贝UP(A)=24X24-2X-X20X20224X2411贝UP(A)=24X24-2X-X20X20224X241136.故这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待的概率为1136.[2019•黑龙江哈尔滨六中段考]如图是某市3月1日至3月14日的空气质量指数折线图.空气质量指数小于100表示空气优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(包括到达当天).救舞曲照r棚0救舞曲照r棚0I日俎384FI5日6H7日80901嘱11—231301明日期(1)求此人到达当日空气优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续 3天的空气质量指数方差最大. (直接写出结论，不要求证明)

解析：(1)由图看出，1日至13日这13天内，空气优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日，共6天.由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气优良的概率 P=6Z.13(2)此人在该市停留的两天的空气质量指数可能为 (86,25),(25,57),(57,143),(143,220),(220,160),(160,40),(40,217),(217,160),(160,121),(121,158),(158,86),(86,79),(79,37),共13种情况.其中只有1天空气重度污染的是(143,220),(220,160),(40,217),(217,160),共4种情况，所以，此人在该市停留期间只